B样条曲线曲面的一种光顺算法

1、第卷第期年月合肥工业大学学报（自然科学版）收稿日期：；修回日期：作者简介：秦贤杰（），男，安徽安庆人，合肥工业大学硕士生；黄有度（），男，广西贺县人，合肥工业大学教授，硕士生导师：样条曲线曲面的一种光顺算法秦贤杰，黄有度（合肥工业大学数学学院，安徽合肥）摘要：文章给出了一种新的样条曲线曲面光顺算法，该算法以型值点的变动量为未知量，以型值点变动量的变动范围为约束条件，给出能量函数；通过遗传算法对能量函数最小化求解，直接得到光顺后的新的型值点；最后给出实例，表明该样条曲线曲面光顺算法是一种有效的光顺算法。关键词：样条；曲面；遗传算法；光顺；能量函数中图分类号：文献标识码：文章编号：（），（，）：，

2、：；在工业设计和反求工程中，样条曲线曲面是一种进行形状设计和数据拟合的重要工具。样条曲线曲面的光顺性对最终产品外观有着直接影响。光顺处理包括曲线、曲面的光顺性检查和光顺准则制定以及曲线、曲面的修正，现将分别讨论这个问题。国内外已有大量文献研究曲线曲面的光顺问题，但以型值点作为优化变量的文献较少。文献用应变能最小作为光顺准则，加上约束条件对曲线曲面进行局部光顺，其最优化变量为曲线曲面的控制顶点。文献将控制顶点作为优化变量，尽管其光顺准则有所不同。以控制顶点为优化变量的光顺方法，曲线曲面光顺后仍需曲线曲面与直线求交，然后求得光顺后型值点。与现有方法相比，本文方法直接以型值点变动量作为优化变量，光顺

3、后直接得到型值点的变动量及新的型值点，这在船舶型线放样中有较强的实用性。样条曲线的光顺曲线的光顺性检查在实际工作中，经常会要求根据给定的型值点用样条攀成一条经过这些型值点的曲线，即数学中所说的按顺序插值型值点生成相应曲线。设给定型值点，本文用次样条曲线按顺序插值这些型值点。型值点的参数化为累加弦长参数化，即令：，；，。其中，。设，为次样条的节点空间。样条基函数的递推公式为：，（），；，其他，（），（），（），。给定边界条件，反算出控制顶点，。则（），（）为插值于，的次样条曲线。现在检查各型值点（即）附近的曲率变化情况，）附近曲率变化记作）。令，其中，。（）为次样条曲线（）的曲率，令）（）（）（

4、）（）。）附近曲率变化）作为曲线光顺性的检查。）大者说明型值点）点附近曲率变动大，相反，）小者说明型值点点附近曲率变动小。此处认为）小者附近曲线比）大者附近曲线更为光顺。找出），假设为），则将、作为待光顺的 型值点。曲线的光顺准则样条曲线的应变能为（），其中，为样条的刚度系数；为曲率；为弧长参数。本文将其离散化，用（×）代表曲线的应变能。本文将应变能最小作为曲线的光顺准则。曲线的光顺算法算法的基本步骤如下：（）找出“瑕点”，即型值点中型值点附近曲率变化最大的型值点。设），为），则即为所对应的“瑕点”。（）将、作为待修改的型值点。（）给定修改约束，设为新型值点，为给定的约束范围。（）利

5、用基本遗传算法求解新型值点、。遗传算法求解步骤如下：（）设型值点、的变动量、为基因，种群数为，进化代数为。（）令；，重新插值生成经过新型值点的次样条曲线，将作为适应度函数。（）经过选择、交叉、变异等操作后，终止进化，最终得到型值点的变动量、及新的型值点，即：，。（）插值新型值点生成光顺后的次样条曲线。（）判断是否继续修改曲线，此时既可以设定为人工判断，也可以设定为计算机自动根据条件完成判断。曲线光顺效果图所示为某工程船型线图中条站线的部分曲线图，图所示为带有噪声的曲线图，图所示为用本文算法对图进行次光顺后的曲线图。可以看出本文曲线光顺算法十分有效。图图中上方为曲线上离散点的曲率图。样条曲面的光

6、顺曲面的光顺性检查对曲面的光顺一般可以转化为对曲面的网格曲线或曲面的、方向参数曲线的光顺。本文将曲面的光顺转化为对曲面的网格曲线的光顺。给定型值点列，。根据上述插值曲线的方法，可以生成组曲线，一组以，每一横列的个型值点生成条次样条曲线组，此处称为水线组；另一组以，每一竖列的个型值点生成条次样条曲线组，此处称为站线组。现在检查各型值点，附近网格曲率变化情况。，为第条水线与第条站线的交点，附近网格曲率变化记作（，），）分别代表，在第条水线和第条站线上参数化后的数值。令，其中，；，；（）为次样条曲线（）的曲率，令（，）（）（）（）（）（）（）（）（）。，附近网格曲线的曲率变化（，）作为网格曲线光顺性

7、的检查。（，）大者说明型值点，点附近网格曲率变动大；（，）小者说明型值点，点附近网格曲率变动小。（，）小者附近网格曲线比（，）大者附近网格曲线更为光顺。找出（，），；，假设为（，），则将，、，、，、，、，作为待光顺的型值点。曲面的光顺准则曲面光顺过程中，可以将 （） 作为曲面光顺程度的判定，其中，、为曲面的主曲率。本文按照上述曲线光顺中的方法，将组样条曲线组的应变能总和最小作为光顺准则，即（），其中，为第条站线的应变能；为第条水线的应变能，其求法与上文相同。曲面的光顺算法算法的基本步骤如下：（）找出“瑕点”，即型值点列中型值点附近网格曲率变化最大的型值点。（，），设为（，），则，即为所对应的“

8、瑕点”。（）将，、，、，、，、，作为待修改的型值点。（）给定修改约束，设，为新型值点，为给定的约束范围。（）利用基本遗传算法求解新型值点，、，、，、，、，。遗传算法求解步骤如下：（）设型值点，、，、，、，、，的变动量，、，、，、，、，为基因，种群数为，进化代数为。（）令，重新插值生成经过新型值点的次样条曲线网格，将作为适应度函数。（）经过选择、交叉、变异等操作后，终止进化，最终得到新的型值点的变动量，、，、，、，、，及新型值点，即，。（）插值新型值点生成光顺后的次样条曲线网格。（）判断是否继续修改曲线网格，此时既可以设定为人工判断，也可以设定为计算机自动根据条件完成判断。（）根据光顺后的型值点

9、及样条曲线网格，用蒙皮法生成样条曲面。曲面光顺的效果图所示为某工程船部分水线、站线网格图。图水线、站线网格图所示为带有噪声的网格图，图所示为用本文算法对图进行次光顺后的网格图。从中可以看出本文算法是十分有效的。 结束语本文提出了一种新的样条曲线曲面的光顺算法，以型值点的变动量为未知量，以型值点变动量的变动范围为约束条件，给出能量函数，通过遗传算法对能量函数最小化求解，直接得到光顺后的新的型值点。该算法的优点在于以型值点变化量作为变量，光顺处理后直接得到光顺后的型值点，这在船舶放样等工业工程中有较强的实际应用。本文的不足之处在于，给定的修改约束过大或过小将影响光顺效果。过大则光顺后的曲线趋于平缓，过小则光顺的次数需增加。通过实例，可以看出本文算法是十分有效的。参考文献席平，刘勇反向工程中的曲面光顺算法北京航天航空大学学报，（）：，：，（）：屠静，檀结庆参数次样条曲线的一种局部光顺方法合肥工业大学学报：自然科学版，（）：