全国高考数学理科立体几何部分解析汇编

1、【全国卷·新课标I·第19题】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C（1）证明：AC=AB1；（2）若ACAB1，CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值解：（1）面BB1C1C为菱形BC1B1C，O为B1C和BC1的中点ABB1CB1C面ABC1令BC1与B1C交于点O，连接AOAO面ABC1B1CAOB1O=COAO是B1C的中垂线AC=AB1（2）因为AO、BC1、B1C两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系令|OB|=1，由ACAB1，CBB1=

2、60°，AB=BC易得：A（0，0，），B（1，0，0），B1（0，0），C（0，-，0）=（0，），=（-1，0，），=（-1，-，0）设向量(x，y，z)是平面AA1B1的一个法向量，则：由此，可取(1，)同理可得，平面A1B1C1的一个法向量为：(1，)二面角A-A1B1-C1的余弦值为【全国卷·新课标II·第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（1）证明：PB平面AEC；（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积解：（1）连接BD交AC于O，连接OE底面ABC

3、D为矩形O为BD的中点E为PD的中点PBOEOE面AEC，PB面AECPB平面AEC（2）PA平面ABCDPAAB，PAAD又ABAD，即PA、AB、AD两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系平面ADE与平面yOz重合可取平面ADE的一个法向量为(1，0，0)设CD=a，由AD=，则C（a，0）=（a，0）由AP=1，易得E（0，）=（0，）设向量(x，y，z)是平面ACE的一个法向量，则由此，可取(，3)二面角D-AE-C为60°解得：，即CD=SACD=AD·CD=过点E作EFAD于F则EF=AP=，EFAPPA平

4、面ABCD，即PA平面ACDEF平面ACDEF是三棱锥E-ACD的高VE-ACD=·SACD·EF=××=【全国卷·大纲版·第19题】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2（1）证明：AC1A1B；（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小解：（1）点A1在平面ABC内的射影D在AC上A1D平面ABCA1D平面ACC1A1平面ACC1A1平面ABCACB=90°，即BCACBC平面ACC1A1AC1平面AC

5、C1A1AC1BC连接A1C，由AC=CC1知，侧面ACC1A1为菱形AC1A1CBC、A1C平面A1BCAC1平面A1BCA1B平面A1BCAC1A1B（2）过点D作DFAB于F，连接A1FA1D平面ABC，AB平面ABCABA1DAB平面A1DFA1FABA1FD是二面角A1-AB-C的平面角过点A1作A1ECC1于E则A1E平面BCC1B1AA1平面BCC1B1A1E为直线AA1到平面BCC1B1的距离A1E=AC=CC1=2，A1DAC由菱形ACC1A1的面积得，A1D=A1E=在RtA1DA中，A1A= CC1=2AD=易得AFDACB，则AB=DF=tanA1FD=二面角A1-AB

6、-C的大小为【北京市·第17题】如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H（1）求证：ABFG；（2）若PA底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长解：（1）ABDE，DE平面PDE且AB平面PDEAB平面PDE平面AFGB平面PDE=FGAB平面AFGB，FG平面PDEABFG（2）由题知，AP、AM、AE两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AM=AE=PA=2，易得：B（1，0

7、，0），F（0，1，1），C（2，1，0），P（0，0，2）=（1，1，0），=（1，0，0），=（0，1，1），=（2，1，-2）设向量(x，y，z)是平面ABF的一个法向量则由此，可取(0，1，-1)设直线BC与平面ABF所成角为，则直线BC与平面ABF所成角=设H（a，b，c），点H在棱PC上，不妨=k，其中0k1=（2，1，-2），=（a，b，c-2）（a，b，c-2）=k（2，1，-2）a=2k，b=k，c=2-2k=（2k，k，2-2k）(0，1，-1)为平面ABF的一个法向量且AH平面ABFk-2+2k=0，得k=|PC|=|PH|=2【天津市·第17题】如图，在四棱锥

8、P-ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（1）证明：BEDC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角F-AB-P的余弦值解：（1）由题意知，AP、AB、AD两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系易得：B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2）=（2，0，0）E是PC的中点 E（1，1，1）=（0，1，1）·=0 BECD（2）=（-1，0，2），=（-1，2，0）设向量(x，y，z)是

9、平面PBD的一个法向量则由此，可取(2，1，1)设直线BE与平面PBD所成角为，则直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（3）点F在PC上，不妨设=k，其中0k1设F（a，b，c），由=（2，2，-2）得：（a，b，c-2）=k（2，2，-2）a=2k，b=2k，c=2-2kF（2k，2k，2-2k）=（2k-1，2k，2-2k）BFAC，且=（2，2，0）·=0即2(2k-1)+4k=0，得=（2k，2k，2-2k）=（，）又=（1，0，0）设向量(x，y，z)是平面ABF的一个法向量则由此，可取(0，3，-1)因为平面ABP与平面xOz重合，则可取平面ABP的一个法向量为（0，1，

10、0）二面角F-AB-P的余弦值为【重庆市·第19题】如图，四棱锥P-ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MPAP（1）求PO的长；（2）求二面角A-PM-C的正弦值解：（1）连接BD、AC底面ABCD是菱形，中心为O且PO底面ABCDOP、AC、BD两两互相垂直以O为坐标原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AB=2，BAD=，易得A（，0，0），C（-，0，0），B（0，1，0）=（-，-1，0）BM=，BC=2=（-，-，0）M（-，0）设P（0，0，a），则=（-，0，a），=（，

11、-，a）APMP·=-+a2=0a=，即PO的长为（2）由(1)知：=（-，0，），=（，-，）设向量(x，y，z)是平面APM的一个法向量则由此，可取(1，2)同理可得，平面CPM的一个法向量为：(1，-2)二面角A-PM-C的正弦值为【江苏省·第16题】如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC解：（1）D、E分别是PC、AC的中点PADEDE平面DEF，PA平面DEF直线PA平面DEF（2）D、E分别是PC、AC的中点DE=PA=3E、F分别

12、是AC、AB的中点EF=BC=4DF=5DE2+EF2=DF2DEF=90°，即DEEFDEPA，PAACDEACACEF=E DE平面ABCDE平面BDE平面BDE平面ABC【浙江省·第20题】如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDE=BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=（1）证明：DE平面ACD；（2）求二面角B-AD-E的大小解：（1）在直角梯形BCDE中，易求得BC=在ABC中，AC=，AB=2AB2+BC2=AB2ACB=90°，即ACBC平面ABC平面BCDE且AC平面ACDAC平面BCDEDE平面BCD

13、EACDECDE=90° DECDCD平面ACDDE平面ACD（2）由题，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系易得E（1，0，0），B（1，1，0），A（0，2，）= （1，0，0），=（0，2，）= （1，1，0）设向量(x，y，z)是平面ADE的一个法向量则由此，可取(0，-1，)同理可得，平面ADB的一个法向量为：(1，-1，)二面角B-AD-E的大小为【山东省·第17题】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点（1）求证：C1M平面A1ADD1；（2）若CD1垂直于平面

14、ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值解：（1）连接AD1.M是线段AB的中点，AB=2AM=1C1D1=CD=1 C1D1=AMAMCD，CDC1D1C1D1AM四边形AM C1D1是平行四边形C1MAD1C1M平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1C1M平面A1ADD1（2）过点C作CEAB于E，则CECDCD1平面ABCDCD1CD，CD1CE以C为坐标原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由CD1=得，D1（0，0，）由DAB=60°，AB=2CD=2，在等腰梯形ABCD中，易求得CE=，EM=M（，0）=

15、（，-）易得C1（-1，0，），则=（1，0，0）设向量(x，y，z)是平面C1D1M的一个法向量则由此，可取(0，2，1)因为平面ABCD与平面xOy重合，则可取平面ABCD的一个法向量为（0，0，1）平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值为【江西省·第20题】如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD（1）求证：ABPD；（2）若BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值解：（1）底面ABCD是矩形 ABAD平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=ADAB

16、平面PADPD平面PAD ABPD（2）BPC=90°，PB=，PC=2BC=过点P作POAD于O平面PAD平面ABCD PO平面ABCDVP-ABCD=AB·BC·PO过点O作OEAD交BC于E，连接PE在RtBPC中，BC·PE=PB·PCPE=设AB=x，则OE=xPO=VP-ABCD=当，即时，VP-ABCD有最大值故，AB=时，四棱锥P-ABCD的体积最大由前述，可建立如图所示的空间直角坐标系PO= P（0，0，）BE=，CE=B（，0），C（-，0）D（-，0，0）=（，），=（，0，0）=（-，0，），= （0，0）设向量(x，y

17、，z)是平面PBC的一个法向量则由此，可取(0，1，1)同理可得，平面PDC的一个法向量为：(-1，0，2)平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【广东省·第18题】如图，四边形ABCD为正方形PD平面ABCD，DPC=30°，AFPC于点F，FECD，交PD于点E（1）证明：CF平面ADF；（2）求二面角D-AF-E的余弦值解：（1）PD平面ABCD，AD平面ABCDADPD四边形ABCD为正方形 ADCDPD、CD平面PCDAD平面PCDCF平面PCD CFADAFPC，即CFAF且AD、AF平面ADFCF平面ADF（2）因为PD、CD、AD两两互相垂直，以D为坐标原点，

18、建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则AD=CD=1A（0，0，1），则=（0，0，1）由(1)知，DFPC，在RtPDC中，由DPC=30°，易求得DF=；由EFCD，在RtDEF中，易求得DE=，EF=E（，0，0），F（，0）=（0，0），=（，0，-1）=（，0）设向量(x，y，z)是平面AEF的一个法向量则由此，可取(4，0，)同理可得，平面ADF的一个法向量为：(，-1，0)二面角D-AF-E的余弦值为【湖南省·第19题】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形B

19、DD1B1均为矩形（1）证明：O1O底面ABCD；（2）若CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值解：（1）四边形ACC1A1为矩形A1AAC由题知，四边形ABCD和A1B1C1D1是菱形点O是AC、BD的中点点O1是A1C1、B1D1的中点OO1A1AOO1AC同理可证：OO1BDAC、BC底面ABCDO1O底面ABCD（2）底面ABCD是菱形ACBD由（1）知，AC、BD、O1O两两互相垂直以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。设四棱柱所有的棱长为2由CBA=60°，可求得OC=O1C1=1，OB=OD=O1B1=O1D1=C1（0，1，2），B1（，0

20、，0）=（0，1，2），=（，0，2）设向量(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量则由此，可取(2，2，-)因为平面OB1D与平面xOz重合，故可取平面OB1D的一个法向量为：(0，1，0)二面角C1-OB1-D的余弦值为【辽宁省·第19题】如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点（1）求证：EFBC；（2）求二面角E-BF-C的正弦值解：由题条件，以B为坐标原点，在平面BCD内作BC的垂线，并以之为x轴；以BC为y轴；在平面ABC内作BC的垂线，并以之为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。由BC

21、=2得，C（0，2，0）= C（0，2，0）由AB=BC=2，E为AC的中点，ABC=120°得：EBC=60°，BE=1过点E作EHBC于H则BH=，EH=E（0，）同理可得：F（，0）=（，0，）（1）·=0EFBC（2）有=（0，），=（，0）设向量(x，y，z)是平面BEF的一个法向量则由此，可取(1，-，1)因为平面BEC与平面yOz重合，故可取平面OB1D的一个法向量为：(1，0，0)二面角E-BF-C的正弦值为【湖北省·第19题】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点

22、，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=（02）（1）当=1时，证明：直线BC1平面EFPQ；（2）是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1）连接AD1.AD1、BC1是立方体相对侧面的对角线AD1BC1当=1时，P、Q为DD1、BB1的中点F为AD的中点PFAD1AD1平面EFPQ，PF平面EFPQAD1平面EFPQBC1平面EFPQBC1平面EFPQ（2）以D为坐标原点，分别以、为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。易得P（0，0，），Q（2，2，），F（1，0，0），N（1，0，2）=（2，2，

23、0），（1，0，-），=（1，0，2-）设向量(x，y，z)是平面EFPQ的一个法向量则由此，可取(1，-1，)设向量(x，y，z)是平面PQMN的一个法向量则由此，可取(1，-1，)当面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角时，有=01+1+=0整理得：解得：，均满足02故，当时，面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角【福建省·第17题】在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值解：（1）平面ABD平面BCD平面ABD平

24、面BCD=BDAB平面ABD，ABBD，AB平面BCDCD平面BCD ABCD（2）以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A（0，0，1），D（0，1，0）=（0，1，-1）M为AD的中点M（0，）=（0，）CDBD，CD=1C（1，1，0）=（1，1，0）设向量(x，y，z)是平面MBC的一个法向量则由此，可取(1，-1，1)设直线AD与平面MBC所成角为，则【安徽省·第20题】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为，BB1与的交点为Q（1）证明：Q为BB1的中点；（2）求此四

25、棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小解：（1）ADBC，AD平面A1D1DABC平面QBC平面QBC平面A1D1DA平面A1CD面QBC=QC平面A1CD平面A1D1DA=A1DQCA1DA1AB1BAA1D=BQCRtAA1D=RtBQCA1A=B1BBQ=B1BQ为BB1的中点（2）连接QA，QD。设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积为V1、V2。设BC=a，则AD=2aVQ-ABCD=VQ-A1AD=V2= VQ-ABCD+ VQ-A1AD=V四棱柱=V1= V四棱柱-V1=故，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为（3）过点A作APCD于P，连接A1PAPCD，A1ACDCD平面A1APA1P平面A1APA1PCDA1PA是平面与底面ABCD所成二面角的平面角连接AC，由AD=2BC得：SACD=2 SABC梯形ABCD的面积为6即SACD+SABC =6SACD=4CD·AP=4，由CD=2得，AP=4AA1=4tanA1PA=A1PA=平面与底面ABCD所成二面角的大小为【陕西省·第19题】如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于