第十八章第1讲几何证明选讲

1、第十八章 选考内容第1讲几何证明选讲考纲要求考纲研读1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理3会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理4了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).有关线段的比值问题，除了用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线与圆有关的比例线段问题通常要考虑相交弦定理、切割线定理、相似三角形的判定定理弦切角、圆周角定理可解决圆内有关等角问题四点共圆对角互补.1平行线分线段成比例定理成比例三

2、条平行线截两条直线，所得对应线段_推论 1：平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段_成比例对应成比例推论 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边_2射影定理的结论BDBCCDCBBDCD在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D.则：AB2_；AC2_；AD2_.3相似三角形的判定与性质三边对应成比例(1)相似三角形的判定定理：平行两角夹角预备定理：_于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理 1：_对应相等，两三角形相似判定定理 2：_对应成比例且_相等，两三角形

3、相似判定定理 3：_的两个三角形相似判定定理 4：两直角三角形有一个_对应相等，则它们相似锐角两直角边判定定理 5：两直角三角形的_对应成比例，则它们相似两边判定定理 6：如果一个直角三角形的_和_与另一个直角三角形的_和_对应成比例，则它们相似斜边一条直角边一条直角边(2)相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_；相似比相似三角形周长的比等于_；相似比相似三角形面积的比等于_4(1)圆内接四边形的对角_互补(2)圆内接四边形的外角等于它的_共圆(3)如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_斜边相似比的平方内对角5直线与圆一半度数(1)圆周角定

4、理、圆心角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_圆心角的度数等于它所对弧的_(2)弦切角定理：弦切角等于_(3)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等它所夹的弧所对的圆周角(4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_比例中项积1在同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x70)和 90，则 x_.552如图 1811，已知圆心角AOB 的度数为 100，则圆)周角ACB 的度数是(A80B100C120D130 图 1811D3如图 1812，AB 是O 的直径，点 C，D，E 都在O135上，若CDE，则AB

5、_.图 18124(2010 年广东)如图 1813，在直角梯形 ABCD 中，DCAD 的中点，则 EF_.a2图 1813解析：连接 DE，可知为直角三角形则 EF 是斜边上的中线，等于斜边的一半，5如图1814，AD 是O 的切线，AC 是O 的弦，过 C作 AD 的垂线，垂足为 B，CB 与O 相交于点 E，AE 平分CAB，且 AE2，则 AB_，AC_，BC_.图 18143考点1相似三角形例 1：(2011 年广东)如图 1815，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且 EF3，EFAB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比

6、为_图 1815本题的关键在于延长AD，BC，交点为P，从而将我们从不太熟悉的梯形转化到三角形中解决，反复运用相似三角形的面积比等于相似比的平方当然证明三角形相似是基础，主要方法有：两角相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例的中点，AE交BC于 F，则_.【互动探究】1如图 1816，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BDBFFC图 1816122如图 1817，在半圆 O 中，AB 为直径，CDAB，AF平分CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，则图中相似三角形一共有_对图 18173(2011 年广东广州测试)在梯形 ABCD 中，ADBC，AD则 EF 的长为_.

7、5237考点2与圆有关的角例 2：如图 1818，已知 AB 是O 的弦，AC 切O 于点 A，BAC60，则ADB 的度数为_图 1818120 如图 1819，已知 PA ，PB 是O 的切线，A，B 分别为切点，C 为O 上不与 A，B 重合的另一点，若ACB120，则APB_度解析：连接 AO，BO，由ACB120得ACB 所对的弧为240，AOB120.又PAOPBO180，APB180AOB60.60图 1819借用等弦或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等，可进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(圆心角)所对的弧相等，可进行弧(或弦)的等量代换【互动探究】4

8、如图 18110，四边形 ABCD 内接于O，BC 是直径，115MN 切O 于 A，MAB25，则D_.图 18110考点3 与圆有关的比例线段例3：(2011 年北京)如图 18111，AD，AE，BC 分别与圆O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是()图 18111A B C D解析：正确由条件可知，BDBF，CFCE，可得ADAEABBCCA.正确通过条件可知，ADAE.由切割定理可得AFAGAD2ADAE.错误连接FD，若AFBADG，则有ABFDGF.通过图可知ABF

9、BFDBDF2DGF，因而错误答案选A.答案：A相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的切线和割线就要想到切割线定理【互动探究】5如图 18112，M 和O 交于 A，B 两点，点 M 在O 上，O 的弦 MC 分别与弦 AB，M 交于 D，E 两点，若MD1，DC3，则M 的半径为_.2图 181126AB 是O 的直径，OA2.5，C 是圆上一点，CDAB，垂足为 D，且 CD2，则 AC_.1圆内接四边形的判定和性质(1)四点共圆判定方法：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆(2)性质：对角互补；外角等于