实际问题与一元一次方程应用题归类汇集

1、实际问题与一元一次方程应用题归类汇集一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）（2）设设出未知数：根据提问，巧设未知数（3）列列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系 列出方程（4）解解方程：解所列的方程，求出未知数的值（ 5）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案 （注意带上单位）二、各类题型解法分析 一元一次方程应用题归类汇集： 行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题） ， 等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，

2、增长率问题， 数字问题，方案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等。第一类、行程问题基本的数量关系：（ 1）路程速度×时间 速度路程÷时间 时间路程÷速度要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少） 常用的等量关系：1、甲、乙二人相向相遇问题 甲走的路程乙走的路程总路程 二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题甲走的路程乙走的路程提前量 二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返 各段路程和总路程 各段时间和总时间 匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题 顺水速度静水速度水流速

3、度 逆水速度静水速度水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题 将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。6、时钟问题： 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。常用数据： 时针的速度是 0.5°/分 分针的速度是 6°/ 分 秒针的速度是 6°/秒 一、一般行程问题（相遇与追击问题）1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6 小时，已知步行速度为每小时 8 千米，公交车的速度为每小时 40 千米，设甲、乙两地相距 x 千米，则列方程为。解：等量关系 步行时间乘公交车的时间

4、 3.6 小时列出方程是： x x 3.68 402、甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发，相向而行， 那么在乙出发 1小时 30 分相遇，当甲比乙每小时快 解：等量关系 甲行的总路程乙行的路程总路程1 小时 48 分相遇，如果甲比乙早出发 40 分钟，1 千米时，求甲、乙两人的速度。（18 千米 ）设乙的速度是 x 千米 /时，则列出方程是：2 1 1132 112 (x 1) 112 x 183、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15 千米，可比预定时间早到 15 分钟；若每小时行 9 千米，可比预定时间晚到 15 分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 速度 15 千

5、米行的总路程速度 9 千米行的总路程 速度 15 千米行的时间 15 分钟速度 9 千米行的时间 15 分钟 老师提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。x 15 x15 60 91560280 米，两人同时同地同向起跑，方法一 ：设预定时间为 x小/时，则列出方程是： 15（ x 0.25） 9（x0.25）方法二： 设从家里到学校有 x 千米，则列出方程是：4、在 800 米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320 米，乙每分钟跑t 分钟后第一次相遇， t 等于 分钟。老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击问题（且为第一次相遇）等量关系：快者跑的路程慢者跑

6、的路程 800 （俗称多跑一圈） 320t280t 800t20 5、一列客车车长 200 米，一列货车车长 280 米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过 16 秒，已知客车与货车的速度之比是 3： 2，问两车每秒各行驶多少米？ 老师提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程慢车行的路程两列火车的车长之和设客车的速度为 3x 米/ 秒，货车的速度为 2x 米 /秒，则 16×3x16× 2x2002806、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km ，骑自行车的人

7、的速度是每小时 10.8km 。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是 22 秒，通过骑自行车的人的时 间是 26 秒。 行人的速度为每秒多少米？ 这列火车的车长是多少米？老师提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系： 两种情形下火车的速度相等 两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解： 行人的速度是： 3.6km/时 3600 米÷ 3600 秒1 米/秒问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？提示：此题为典型的追击问题）骑自行车的人的速度是：10.8km/时 10800 米÷

8、 3600 秒3 米/秒 方法一：设火车的速度是x 米/ 秒，则 26×（x 3）22×（x1） 解得 x4方法二：设火车的车长是x 22 1 x 26 3x 米，则22 267、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1 小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追我们， 如果我和妈妈每小时行 2 千米， 从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟，解：设爸爸用 x 小时追上我们，则 6x 2x2×1解得 x0.5 0.5 小时 1 小时 45分钟 答：能追上。8、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分

9、人同地出发。汽车速度是60 千米 / 时，步行的速度是 5 千米/时，步行者比汽车提前 1 小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发 地到目的地的距离是 60 千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间 忽略不计）老师提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈 即 步行者行的总路程汽车行的总路程60× 2解：设步行者在出发后经过 x 小时与回头接他们的汽车相遇，则5x60（x1）60×29、一列火车长 150 米，以每秒 15 米的速度通过 600 米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道 所需时间

10、是【 】（ A） 60 秒（B） 50 秒（ C）40 秒（ D） 30 秒老师提醒：将车尾看作一个行者，当车尾通过600 米的隧道再加上 150 米的车长时所用的时间，就是所求的完全通过的时间，哈哈！你明白吗？解：时间 （600 150）÷1550（秒） 选 B。10、某人计划骑车以每小时 12 千米的速度由 A 地到 B 地，这样便可在规定的时间到达 B 地，但他因事将原计划的 时间推迟了 20 分，便只好以每小时 15 千米的速度前进，结果比规定时间早4 分钟到达 B 地，求 A、B两地间的距离。解：方法一：设由 A 地到 B 地规定的时间是 x 小时，则12x 1520 x6

11、0460方法二：设由 A、B 两地的距离是x x 20 412 15 60 60x212 x12×224（千米 ）x 千米，则 （设路程，列时间等式）答： A、 B两地的距离是 24 千米。x 24温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。11、甲、乙两人相距 5 千米，分别以 2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12 千米/时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。注：此为二题合一的题目，即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。只是他们的开始与结束时间是一样的， 以此为联系，使本题顿生情趣，

12、为诸多中小学资料所采纳。12 5 15（千米 ）45解：设甲、乙两人相遇用 x 时，则 2x2x5x 12x4答：小狗所走的路程是 15 千米。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照12、一列火车匀速行驶，经过一条长300m 的隧道需要 20s 的时间。在火车上的时间是 10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。 老师解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过 300 米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。 此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。x 米，根据题意，得解：方法一：设这列火车的长度是x30

13、0答：这列火车长 300 米。300 x xx 米 /秒，根据题意，得 20x 30010x x30 10x300 答：这列火车长 300 米。13、甲、乙两地相距 x 千米，一列火车原来从甲地到乙地要用 15 小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来 加快了 60 千米，因此从甲地到乙地只需要 10 小时即可到达，列方程得 。 答案：20 10方法二：设这列火车的速度是xx6010 156x206014、列车在中途受阻，耽误了 6分钟，然后将时速由原来的每小时 40 千米提高到每小时 50 千米，问这样走多少千 米，就可以将耽误的时间补上？xx 解：设走 x 千米就补上耽误的时间，则 x

14、x40 50答：走 20 千米就补上耽误的时间。100 米，慢车车长 150 米，已知当两车相向而行时，15、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为 快车驶过慢车某个窗口所用的时间为 5 秒。 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？ 如果两车同向而行，慢车速度为 8 米 / 秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到 快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？老师解析： 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的 相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！ 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的

15、 相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的 追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！解： 两车的速度之和 100÷ 5 20 （米 /秒）慢车经过快车某一窗口所用的时间 150÷ 207.5（秒） 设至少是 x 秒，（快车车速为 208）则 （ 208）x 8x100150x62.5答：至少 62.5 秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。16、甲、乙两人同时从 A地前往相距 25.5千米的 B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快 2 千米 /时，甲先到达 B 地后，立即由 B 地返回，在途中遇到乙，

16、这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。解：设乙的速度是 x 千米 /时，则3x3 （2x2）25.5×2 x52x212答：甲、乙的速度分别是 12千米/时、 5 千米/时。17、一辆汽车上午 10： 00 从安阳出发匀速行驶，途经曲沟、水冶、铜冶三地，时间如下表，地名安阳曲沟铜冶时间10：0010：1511：00水冶在曲沟和铜冶两地之间，距曲沟 10 千米，距铜冶 20 千米，安阳到水冶的路程有多少千米？解：设安阳到水冶有 x 千米，则 x 10 x 20 或 x 1010 200.7518、甲骑自行车从 A 地到 B 地， 到上午 10 时，两人还相距 解：设 A、方法一：

17、B两地间的路程是x 36 x 36乙骑自行车从 B到 A地，两人都匀速前进，已知两人在上午 8时同时出发， 36 千米，到中午 12 时，两人又相距 36 千米，求 A、B 两地间的路程。x 千米，则24x3636×2×2方法二：二、环行跑道与时钟问题：解，得x 108答： A、B 两地间的路程是 108 千米。0.25 1 0.25 解，得 x20答：安阳到水冶的路程有 20 千米。1、在 6 点和 7 点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？ 老师解析： 6： 00 时分针指向 12，时针指向 6，此时二针相差 180°， 在6：007：00之间，经过 x分钟当

18、二针重合时，时针走了 0.5x°分针走了 6x° 以下按追击问题可列出方程，不难求解。解：设经过 x 分钟二针重合，则 6x 1800.5x 解得 x 360 32 811 112、甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240 米，乙每分钟跑 200 米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。解： 设同时同地同向出发 x 分钟后二人相遇，则240x 200x400x101 设背向跑， x 分钟后相遇，则 240x 200x 400x解： 设分针指向 3 时 x 分时两针重合。

19、x531x180 x16 41211114答：在 3 时 16 分时两针重合。11 设分针指向 3 时 x 分时两针成平角。x53 1 x60 21x 493、在 3 时和 4 时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：重合；成平角；成直角；12 11111 答：在 3 时 49 分时两针成平角。11 设分针指向 3 时 x 分时两针成直角。 x 5 3 1 x 60 4 x 32 812 11 8答：在 3 时 32 分时两针成直角。114、某钟表每小时比标准时间慢 3 分钟。若在清晨 6 时 30 分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间x38060（603）6：306：40 13：10为 1

20、2 时 50 分时，准确时间是多少？ 解：方法一：设准确时间经过 x 分钟，则 解得 x400 分 6 时 40 分方法二：设准确时间经过 x时，则 3 x 61 x 12 560 2 6三、行船与飞机飞行问题：1、 一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米 /时，顺水航行需要 2小时，逆水航行需要 3小时，求两码头之间的距离。解：设船在静水中的速度是 x 千米 /时，则 3×（x3）2×（x3）解得 x15 2× （ x 3） 2× （15 3） 36（千米）答：两码头之间的距离是36 千米。2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24 千米，

21、顺风飞行需要 2小时 50 分钟，逆风飞行需要 3小时，求两城市间的距离。5解：设无风时的速度是 x千米/时，则 3×（x24）25 ×（x24）63、小明在静水中划船的速度为10 千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了 6 小时，求该河的水流速度。解：设水流速度为x千米/时，则 9（10 x） 6（10 x） 解得 x2 答：水流速度为 2 千米/时.C 码头，共行 20 小时，已知船在静水中的速度 2.5千米/时，若 A与C的距离比 A与 B的距离短 40千米，求 A与 B的距离。 （请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程）404、某船从 A 码头顺流航

22、行到 B码头，然后逆流返行到为 7.5 千米 / 时，水流的速度为解：设 A与 B的距离是 x千米， 当 C在 A、B 之间时，7.5 2.5 7.5 x20 解得2.5x x 40 207.5 2.5x120 当 C 在 BA的延长线上时，7.5 2.5答：A与 B的距离是 120千米或 56千米。第二类：工程问题 工程问题的基本关系：工作量 =工作效率×工作时间 ；工作效率 =工作量÷工作时间解得 x56；工作时间注意： 一般情况下把总工作量设为 1，完成某项任务的各工作量的和总工作量 1、做某件工作，甲单独做要 8 小时才能完成，乙单独做要 12 小时才能完成，=工作

23、量÷工作效率1问：甲做 1 小时完成全部工作量的几分之几？乙做 1 小时完成全部工作量的几分之几？112甲、乙合做 1 小时完成全部工作量的几分之几？118 12甲做 x 小时完成全部工作量的几分之几？甲、乙合做 x 小时完成全部工作量的几分之几？甲先做 2 小时完成全部工作量的几分之几？1x81(1818112)x乙后做 3 小时完成全部工作量的几分之几？112甲、乙再合做 x 小时完成全部工作量的几分之几？(1812)x三次共完成全部工作量的几分之几？2、一项工程，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 还需要几天完成？1212113 （ ）x 18 1215 天完成，两人合做 4

24、 天后，剩下的部分由乙单独做，结果完成了工作，则可列出方程：解：设还需要 x 天完成，依题意，得 （ 1 1 ）10 153、食堂存煤若干吨，原来每天烧煤4吨，用去 15 吨后，求原存煤量 .14 x 1 解得 x=515改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了答：还需要 5 天完成10 天，解：设原存煤量为 x 吨，依题意，得 x 15 x 15 10244、一水池，单开进水管 3 小时可将水池注满，单开出水管时，然后打开出水管，使进水管、出水管一起开放，问再过几小时可将水池注满？解得 x=55 答：原存煤量为 55 吨4 小时可将满池水放完。现对空水池先打开进水管2小解：设再过 x小时可

25、将水池注满，依题意，得 1 2 （1 1）x 1 解得 x=4 答：再过 4 小时可将水池注满。3 3 45、甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后 ,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单2独做所需天数是乙队单独做所需天数的,问甲、乙两队单独做 ,各需多少天 ?32 答：常规解法：设乙队单独做要x天完成，那么甲队单独做要 2 X天完成。由题意得3，由题意得：巧解：设乙队每天完成的工作量为x，那么甲队每天完成的工作量为6、一项工程 300 人共做 ,解：由已知每人每天完成需要 40 天,如果要求提前 10 天完成 ,问需要增多少人 ? 11 ，设需要增 x 人 ,40 30

26、01x 300 30 1 解得 x=100 40 300答：需要增 100 人则列出方程为11，乙每小时灌池子的 。238、1112152列方程： × 0.5+( + )x= , + x=22334631x= =0.52答：一共需要 1小时。x+0.5=1小时)水池有一个进水管 ,4 小时可以注满空池5x=6,池底有一个出水管12,6 小时可以放完满池的水 .如果两水管同时打开,那7、某工作 ,甲单独干需用 15 小时完成 ,乙单独干需用 12 小时完成 ,若甲先干 1 小时、乙又单独干 4 小时 ,剩下的答：4工作两人合作 ,问 :再用几小时可全部完成任务 ?解：设甲、乙两个龙头齐

27、开 x 小时。由已知得，甲每小时灌池子的么经过几小时可把空水池灌满出水管每小时放水1 解：令水箱为 1，进水管每小时注水，4设两水管同时打开 , 经过 x 小时可把空水池灌满11 则由题意列出方程为( ) x=1 , 解得 x=12469、某工厂计划 26 小时生产一批零件，后因每小时多生产 5 件，用 24 小时，不但完成了任务，而 且还比原计划多生产了 60 件，问原计划生产多少零件？X ( 5) 24 60 X ， X=78026 10、某工程，甲单独完成续 20 天，乙单独完成续1 再做几天可以完成全部工程 ?1 - 6(2012 天，甲乙合干 6 天后，再由乙继续完成，乙11)= X

28、 X=2.412 1225 天独立完成，乙 20 天独立完成，甲、乙二人合 5 天后，X=1111、已知甲、乙二人合作一项工程，甲甲另有事，乙再单独做几天才能完成？1 ( 1 1 )5 1 X25 20 201 1 ab12、 某工人原计划每天生产 a 个零件，现实际每天多生产 完成一项工程甲需要 a 天，乙需要 b 天，则二人合做需要的天数为 1/（ （ ） a b a b b 个零件，则生产 m 个零件提前的 天13、14、数为 ( m m bma a b a(a b)）。一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开 12h 注满水池， 如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？1 1 1（ -

29、） X 1 X=612 8 24 甲、乙两个水池共蓄水 50t,甲池用去 5t ，乙池又注入 8t 问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？乙单独开 8h 注满,丙单独开 24h 可排掉满池的水，后，甲池的水比乙池的水少 3t ，X-5+3=50-X+8 X=27 50-27=2315、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？1 1 11- （6 2 61 114)X ， X=5 ， 2小时 12分6 小时，乙独做需 4 小时，甲先做 30二、市场经济问题1.某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放 1 个大餐

30、厅、 2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐； 同时开放 2 个大餐厅、 1个小餐厅，可供 2280 名学生就餐（ 1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若 7个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由解：（1）设 1个小餐厅可供 y名学生就餐，则1个大餐厅可供（ 1680-2y）名学生就餐，根据题意，得 2（1680-2y） +y=2280 解得： y=360（名）所以 1680-2y=960（名）（ 2）因为 960 5 360 2 5520 5300， 所以如果同时开放 7 个餐厅，能够供全校的 5300 名学生就餐2.工艺商场按标价销售

31、某种工艺品时，每件可获利45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等 .该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是 x 元,标价是（ 45+x）元 .依题意，得 :8（45+x）× 0.85-8x=（ 45+x-35）× 12-12x 解得： x=155（元）所以 45+x=200（元）3. （ 2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波 与售货员的对话：李小波：阿姨，您好！ 售货员：同学，你好，想买点什么？ 李小波：我只有 100

32、 元，请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本 . 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，退你 5 元，请清点好，再见 . 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？解：设笔记本每本 x 元，则钢笔每支为 （x+2）元，据题意得10 （ x+2） +15x=100-5解得， x=3（元）所以 x+2=5（元）答： （略） .4. 某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦则超过部分按基本电价的 70%收费（1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a（2）若该用户九月份的平均电费为0.36 元，则九月份共用电多少千瓦？

33、 ?应交电费是多少元？ 解：（ 1）由题意，得 0.4a+（84-a）× 0.40×70%=30.72 解得 a=60（2）设九月份共用电 x 千瓦时， 0.40× 60+（ x-60）× 0.40×70%=0.36x 解得 x=90 所以 0.36×90=32.40（元）答： 90千瓦时，交 32.40 元5. 某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3?种不同型号的电视机，出厂价分别 为 A 种每台 1500 元， B 种每台 2100 元， C 种每台 2500 元（1）若家电商场同时购进两种不同

34、型号的电视机共50台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案（2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B种电视机可获利 200 元， ?销售一台 C种电视机 可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？解：按购 A， B两种， B， C两种， A， C两种电视机这三种方案分别计算，设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台1）当选购 A， B 两种电视机时，B 种电视机购（ 50-x）台，可得方程1500x+210050-x)=90000x=25 50-x=25当选购 A，C 两种电视机时，C 种电视机购（

35、 50-x）台，可得方程1500x+250050-x)=90000x=35 50-x=15当购 B， C 两种电视机时， C 种电视机为（ 50-y）台可得方程2100y+2500（50-y）=900004y=350 ，不合题意可选两种方案：一是购 A，B两种电视机 25台；二是购 A种电视机 35台， C种电视机 15 台2）若选择（ 1），可获利 150× 25+250×15=8750（元）若选择（ 1），可获利 150× 35+250× 15=9000（元） 故为了获利最多，选择第二种方案60 元，八折出售后，商家6. 某商店开张为吸引顾客，所有商

36、品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为所获利润率为 40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？利润率 = 利润成本40%=80%X 6060X=105 105*80%=84 元7. 某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270 元，问该商品原标价多少元？现销售价是多少？X（1+40%）80% - X=270X=22502250（1+40%）80%=2520 元8. 甲乙两件衣服的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按 40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲乙两件服装成本

37、 各是多少元？ 甲 X 乙 50 X109X（1+50%） X+（500-X）（1+40%）90% - （500 - X）=157 X=300 某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出 1000 张门票，已知成人票每张 8 元，学生票每张 5 元， 共得票款 6950 元，成人票和学生票各几张？8X+5（1000-X）=6950 X=650 1000-650=350利润问题利润问题的基本关系：获利 =售价进价打几折就是原价的十分之几 1 某商场按定价销售某种电器时，每台获利 48 元，按定价的 9 折销售该电器 6 台与将定价降低 30 元销售该电器 9台所获得的利润相等，该电器每台

38、进价、定价各是多少元？(48+X)90%*6 6X=(48+X-30)*9 9X X=162 162+48=2102、甲、乙两种商品的单价之和为 100 元，因为季节变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 5%，调价后，甲、乙两商 品的单价之和比原计划之和提高 2%，求甲、乙两种商品的原来单价？x(1-10%)+(100-x)(1+5%)=100(1+2%) x=20四、分配问题1 某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个在这 16 名工人中，一部分人加工甲种 零件，其余的加工乙种零件 ?已知每加工一个甲种零件可获利16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元若此

39、车间一共获利 1440 元， ?求这一天有几个工人加工甲种零件解：设这一天有 x 名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有 5x 个，乙种零件有 4( 16-x)个根据题意，得 16× 5x+24×4(16-x) =1440解得 x=62 有两个工程队，甲工程队有 32 人，乙工程队有 28 人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2 倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？32+X=(28-X)*2 X=83 某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组 7 人还余 1 人，若每组 8 人还缺 6 人，问该班分 成几个小组，共有多少名同学？7X+1=8X-6 X=74

40、. 将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米， 300 毫米和 80?毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1 毫米， 3.14)解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，得·( 200 ) 2x=300×300×80 x229.325 有某种三色冰淇淋 50 克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5， ?这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为 2x 克， 那么红色和白色配料分别为 3x 克和 5x 克根据题意，得 2x+3x+5x=50 得 x=

41、5 于是 2x=10，3x=15， 5x=25五、数字问题数字问题的基本关系：数字和数是不同的，同一个数字在不同数位上，表示的数值不同 .1 一个两位数，个位数字比十位数字小1，这个两位数的个位十位互换后，它们的和是33 ，求这个两位数 .10(X+1)+X+10X+X+1+33 x=1 为 212 已知三个连续偶数的和是 2004 ，求这三个偶数各是多少？ X+2+X+X-2=2004 x=668 666 668 670 年龄问题(1)某同学今年 15岁，他爸爸今年 39岁，问几年以后， 爸爸的年龄是这位同学年龄的 2倍？ (15+x)*2=39+x x=9(2) 三位 同学甲乙 丙，甲 比

42、 乙大 1 岁，乙 比丙大 2 岁，三人 的年龄 之和为 41，求乙 同学的 年龄 .x+1+x+x-2=41 x=14( 3)今年哥俩的岁数加起来是 55 岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟 弟岁数的两倍 .哥哥今年几岁？曾经：哥哥 弟弟曾经：哥哥 弟弟XXXX22X 今年： X+X X今年： 55-XX2XX+X +X =55X=22X55-x-x= X-XX=2222（4）兄弟二人今年分别为 15岁和 9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2 倍？解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍，则 x 年后兄的年龄是 15+x ，弟的年龄是 9+x由题意，

43、得 2×（ 9+x） =15+x 18+2x=15+x， 2x-x=15-18 x=-3答：3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2倍（点拨： -3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的 3 年，是与 3?年后具有相反意义的量） （一）和、差、倍、分问题读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字， 例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套” ，利用这些关键字列出 文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 .1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百

44、分之几，增长率”来体现。2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。增长量原有量 ×增长率 现在量原有量增长量例 1某单位今年为灾区捐款 2 万 5 千元，比去年的 2 倍还多 1000 元，去年该单位为灾区捐款多少元？例 2旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？（二）等积变形问题等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积 =成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变， 但体积不变2圆柱体的体积公式V=

45、底面积 ×高 S·h r h长方体的体积V长 ×宽×高 abc例 3现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米，可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴多少 根？三）数字问题1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b 9， 0c9），则这个三位数表示为： 100a+10b+c2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用 2n+2或 2n-2 表示；奇数用 2n+1或 2n1 表示。例 4有

46、一个三位数，个位数字为百位数字的 2 倍，十位数字比百位数字大 1 ，若将此数个位与百位 顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2 倍少 49，求原数。例 5一个 2 位数，个位上的数字比十位上的数字大 5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2 位数的大 6 ，求这个 2 位数。 （四）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）（1）销售问题中常出现的量有：进价 （或成本 ）、售价、标价（或定价） 、利润等。（2）利润问题常用等量关系：商品利润商品售价商品进价商品标价×折扣率商品进价商品利润 商品售价商品进价商品利润率商品进价×100%商品进价× 100%（

47、 3）商品销售额商品销售价 ×商品销售量 商品的销售利润（销售价成本价） × 销售量（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8 折出售，即按原标价的 80%出售即商品售价 =商品标价×折扣率例 5：一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这 种服装每件的进价是多少？（五）行程问题画图分析法 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图 形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系（可把未

48、知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础 .1.行程问题中的三个基本量及其关系： 路程速度×时间 时间路程÷速度 速度路程÷时间 2.行程问题基本类型（ 1）相遇问题： 快行距慢行距原距（ 2）追及问题： 快行距慢行距原距（3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 水流速度 =（顺水速度 -逆水速度）÷ 2抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系即顺水逆水问题常用 等量关系：顺水路程 =逆水路程常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。例 6：甲、乙两站

49、相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出， 每小时行 140 公里。（ 1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇 ? （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600 公里？（ 3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？（此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。 ）例 7： 一艘船在两个码头之间航行，水流

50、速度是 3 千米每小时，顺水航行需要 2 小时，逆水航行需 要3 小时，求两码头的之间的距离？六）工程问题1工程问题中的三个量及其关系为：工作效率工作总量工作效率 ×工作时间工作总量 工作时间工作时间工作总量工作效率2经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和总工作量 1工程问题常用等量关系：先做的 +后做的 =完成量例 9：一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任 务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？例 10 ：一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6 小时可注满水池；单独开乙 管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，