第一讲函数的图像和性质

1、第一讲 函数的图像和性质【基础回顾】一、知识梳理：1函数的概念（1）一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x),. 其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)定义域；对于A中的每一个x值，都有一个输出值y与之对应，将所有输出值y组成的集合称为函数的值域定义一个函数，函数的值域C与B的关系是：（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应法则相同的两个函数是同一函数）；2. 函数的性质（1）定

2、义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：分式的分母不等于0；偶次根式中被开方式大于等于0；对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；指数为0时，底数不等于0.（2）值域：在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域值域的求法较多，如：判别式法、三角代换法、反解法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法及导数法值域往往与实际问题中的最优问题或数列问题相关联（3）奇偶性：如果对于函数yf(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)在此定义中可

3、以看出，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称时，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称.（4）单调性：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间；当0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位得到；y=f(x)b(b0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位得到对称变换：y=f(x)与y=f(-x)的图象关于轴对称；与y=f(x)的图象关于轴对称；与y=f(x)的图

4、象关于原点对称；y=|f(x)|的图象可由y=f(x)的图象在x轴下方的部分以轴为对称轴翻折，其余部分不变得到；y=f(|x|)的图象可将y=f(x)(x0)的部分作出，x0的部分的图象可以利用偶函数的图象关于轴对称作出二、基础达标：1.(2010湖北文)已知函数 ，则 .2已知是(，)上的减函数，那么a的取值范围是 3(2010全国)已知函数f(x)|lg x|.若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是 4定义在上的奇函数，对任意，当有，则的大小关系为 5设定义域为R的函数 ，则的不同实数根的个数为 【典型例题】例题1：已知函数，当时，；当（）时，.（1）求在0，1内的值域；（2）

5、为何值时，不等式在1，4上恒成立.例题2：定义在上函数，对于任意，均有，且求证：； 求证：是偶函数；若存在常数，使成立，求证：函数是周期函数例题3：已知0a1，f(ax)x.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的定义域；(2)判断并证明f(x)在上的单调性例题4：设函数是定义在上的奇函数，当时，（为实数）。 当时，求的解析式； 当，试判断在上的单调性，并给出证明； 是否存在，使得当时，有最大值.【巩固练习】1(2010全国)直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_2已知函数f(x)ax4bcos xx，且f(3)7，则f(3)的值为_3已知f(x)是定义在R上的偶函数，并

6、且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(1.5)_.4定义在上的函数满足，则 5定义在2，2上的偶函数时，单调递减，若则实数m的取值范围是 6若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式为 7(2011北京)已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 .8(2010重庆)已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 010)_ 9给出定义：若m0.(1)解不等式；(2)若f(x)t22at1对所有x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围 14已知函数上是增函数，（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的结论下

7、，设的最小值【拓展提高】1设定义在上的函数，若关于的方程有三个不同的实根，则的值为 2(2010湖南)已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，对任意的xR，恒有f(x)f(x)(1)证明：当x0时，f(x)(xc)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)f(b)M(c2b2)恒成立，求M的最小值【总结反思】第一讲 函数的图像和性质【基础达标】1. ； 2；3；4；57 【典型例题】例题1。解：由题意得和是函数的零点，则（此处也可用韦达定理解）解得： (1)由图像知，函数在内为单调递减，所以：当时，当时，. 在内的值域为 (2)方法一：令，因为上单调递减，要使在1，4上恒成立，则需

8、要，即，解得，当时，不等式在1，4上恒成立.方法二：不等式在1,4上恒成立，即在1,4上恒成立令，x1,4，且在1,4上单调递增，即时，不等式在1,4上恒成立例题2。解：（1）令x=y=0，得，又，（2）定义域为R，关于原点对称，令x=0，得，从而是偶函数（3）令，则，令，则，函数是周期函数，是它的一个周期例题3。解：(1)令，且，由得， （ ），定义域为(2) 在上是单调递减函数证明：， ，且, ,0a1，,，,即,在上是单调递减函数例题4。解：（1），则，又，即当时，.（2）， 在上为单调增函数.（3）由（2）知当时，在上单调递增，即（舍去），当时，令得x(0,)(,1)+0-当时， ，解得，综上，【巩固练习】1. 1a3时，. 【拓展提高】1. 14；2. (1)证明：易知f(x)2xb.由题设，对任意的xR,2xbx2bxc，即x2(b2)xcb0恒成立，所以(b2)24(cb)0，从而c1.于是c1，且c2|b|，因此2cbc(cb)0.故当x0时，有(xc)2f(x)(2cb)xc(c1)0，即当x0时，f(x)(xc)2