3-3向量组的极大无关组1ppt课件

1、信息系信息系 刘康泽刘康泽 一、向量组的极大无关组一、向量组的极大无关组则则： 12, 构构成成1234, 的的极极大大无无关关组组， 例例如如, 设设110 , 201 , 311 , 422 ， 例例1 123, 也也构构成成1234, 的的极极大大无无关关组组； 24, 也也构构成成1234, 的的极极大大无无关关组组等等等等。 但但是是34, 不不构构成成1234, 的的极极大大无无关关组组，因因为为 34, 线线性性相相关关。 【注注 1】定定义义中中的的条条件件(2)可可以以改改叙叙为为：12,m 中中的的任任意意一一个个向向量量都都可可以以由由12,riii 线线性性表表示示。

2、【注注 2】定定义义中中的的条条件件(2)还还可可以以改改叙叙为为：12,m 中中的的任任意意1r 个个向向量量都都线线性性相相关关。 【注【注 3】向量组的极大无关组不一定唯一。向量组的极大无关组不一定唯一。 证：设证：设12,riii ()和和12,sjjj() 都是都是12,m 的极大无关组，的极大无关组， 由由定定理理 1 1 可可知知： 向向量量组组的的极极大大无无关关组组所所含含向向量量的的个个数数是是 向向量量组组的的一一个个不不变变数数值值特特性性。由由此此有有如如下下定定义义： 二、向量组的秩二、向量组的秩【推论推论】若向量组若向量组12,m 与向量组与向量组12,s 等价，

3、则它们的秩相等等价，则它们的秩相等，即：，即： 1212,msrr 。 证证：设设（I）与与（II）的的秩秩相相等等. 则则当当秩秩为为 0 时时, 由由于于（II）中中均均为为 0 向向量量，结结论论成成立立. 若秩不为若秩不为 0, 由由( )( )rr且 （且 （I） 包含在 （） 包含在 （II） 中知） 中知, （I） 的极大无关组也是（的极大无关组也是（II）的极大无关组）的极大无关组. 因此每个因此每个i都可由都可由 此极大无关组线性表出此极大无关组线性表出, ), 1(srii都可由都可由 （I） 线性） 线性 表出表出。 例例、向向量量组组： （I）r,21 与与向向量量组组

4、： （II）srr,121 有有相相同同的的秩秩的的充充要要条条件件是是每每个个), 1(srii都都可可由由 r,21线线性性表表出出. 例例2 2反反之之, 若若), 1(srii可可由由（I）线线性性表表出出, 则则显显然然 （I）与与组组（II）等等价价, 故故它它们们秩秩相相等等。 证证：因因为为r,1可可由由r,1线线性性表表出出, 故故对对任任意意 i, 有有ri,1可可由由r,1线线性性表表出出. 由由rr1 知知： ), 1(,1riri必必线线性性相相关关. 又又r,1线线性性无无关关, 故故i可可由由r,1线线性性表表出出。 所所以以r,1与与r,21等等价价, 例、设向

5、量组例、设向量组r,21线性无关线性无关, 且可由向量组且可由向量组r,21线性表出线性表出, 证明：这两个向量组等价证明：这两个向量组等价, 从而从而r,21也线性无关也线性无关. 例例3 3因因而而：秩秩),(1r= 秩秩rr),(21 故故r,1线线性性无无关关. 解解： （1）不不一一定定, 例例如如： )0 , 1 , 0( ),0 , 0 , 1 (21 与与 )0 , 2 , 0( ),1 , 0 , 0(21 它它们们的的秩秩相相等等. 但但1不不能能由由21,线线性性表表出出, 故故21,与与 21,不不等等价价. 例例、 （1）秩秩相相等等的的两两向向量量组组是是否否一一定

6、定等等价价？ （2） 若若两两向向量量组组的的秩秩相相等等, 且且其其中中之之一一可可由由另另一一组组线线性性表表出出, 证证明明这这两两个个向向量量组组等等价价. 例例4 4 （2）设）设 （I） ：） ：s,1； （； （II）t,1 秩相等秩相等, 设设为为r， 且且 （III） ：） ：riii,21； （； （IV）rjjj,21 分别为（分别为（I） 、 （） 、 （II）的极大无关组）的极大无关组. 若若（I）可可由由（II）线线性性表表出出, 则则（III）可可由由（IV）线线性性 表表出出. 因因（III）线线性性无无关关, 故故（III）与与（IV）等等价价。 由由此此（I

7、）与与（II）等等价价。 解解：因为：因为： rr 3，故有：，故有：, 123线性无线性无关，关，, 1234线性相关，线性相关， 所所以以： 4可可由由 , 123线线性性表表示示，设设： 4112233 （1） 又又假假设设 54能能由由, 123线线性性表表示示，则则： kkk 54112233 例例、设设 , 123为为 （） ； , 1234为为（） ； , 1235为为（） ， 且且 ,rrr34,则则： ,r 12354 。 例例5 5即：即： kkk51122334 由由（1）式式知知： kkk 5111222333 这说明：这说明：, 1235线性相关，与线性相关，与r 4

8、矛盾。矛盾。 从从而而 ,r 123544。 ) 1( r, 试试证证：, 1212rrrr。 证明：由已知有：证明：由已知有： , 12120111101111011110 rr例例、 设设向向量量组组r,21与与r,21满满足足 r321 r312 121rr 例例6 6因因为为：()011111111011101111101110111101110 r ()()111110111111000110001rrr 所以有所以有： , 112120111101111011110 rr 即即, 12r也也可可由由, 12r线线性性表表出出, 所所以以, 12r与与, 12r等等价价. 故故： ,

9、 1212rrrr。 三、矩阵的秩与向量组的秩之间的关系三、矩阵的秩与向量组的秩之间的关系1212(,)TTnTmA 于是，在讨论矩阵的秩时，有时可将矩阵按列于是，在讨论矩阵的秩时，有时可将矩阵按列 (行行) 分块，然后利用向量组的秩或线性关系进行讨论，分块，然后利用向量组的秩或线性关系进行讨论，会带来方便。反之，在讨论向量的线性关系时，有时利会带来方便。反之，在讨论向量的线性关系时，有时利用矩阵的秩来进行会更便捷。用矩阵的秩来进行会更便捷。证：证：设设 111212122212,ppm n n pm pnnnpbbbbbbCA BBbbb， 1212,pnCA ， 则则：1112121222

10、121212,pppnnnnpbbbbbbbbb ， 例例、证证明明：()min( ), ( )r ABr Ar B。 例例7 7所以所以： 1(1,2, )njkjkkbjp， 这这说明说明C的的列列向量向量可以可以由由A的的列列向量向量线性表示线性表示，故故： 1212,pnrr ， 即即 ()( )r ABr A。同理同理可证可证 ()( )r ABr B。 因此因此：()min( ), ( )r ABr Ar B。 例例8 8【注注】通通常常习习惯惯用用初初等等行行变变换换将将A化化为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵B, , 当当B的的秩秩为为r时时, , B的的一一个个非非零零rD子子式式所所

11、在在的的r个个列列向向量量 是是线线性性无无关关的的则则A中中对对应应的的r个个列列向向量量也也线线性性无无关关，且且构构 成成A的的列列向向量量组组的的极极大大无无关关组组。 进一步进一步，若要求若要求将将其余其余向量向量由由极大无关组极大无关组线性表示线性表示，则则 可以可以将将阶梯形矩阵阶梯形矩阵B继续继续变成变成行行简约简约标准型标准型， 行行简约简约标准型标准型 的的列向量列向量的的线性线性表示表示关系关系极易极易看出看出， 由此由此就可以得到就可以得到A的的列列 向量组向量组的的线性线性表示表示关系关系。 例例、1102, 2320 , 3211 , 4235 的的一一个个极极大大

12、无无关关组组并并将将其其余余向向量量由由极极大大无无关关组组线线性性表表示示。 例例9 9求求 解解 1234,A 1 32 20 21 32 01 5 1 32 21 32 20 21 30 21 30 63 90 00 0行行142300100001B 行 显显然然B的的 1,3 列列13, 构构成成1234, 极极大大无无关关组组 A的的 1,3 列列13, 构构成成1234, 的的极极大大无无关关组组， 且且 213413243 ， 则则有有： 213413243 ，。 解：作矩阵：解：作矩阵： 601424527121103121301) , , ,(4321TTTTA 例例、求求 )4 , 2 , 1 , 1 (1, )2 , 1 , 3 , 0