立体几何中的向量方法

1、3.2.13.2.1立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角复习引入1用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形立体图形与空间向量空间向量的联系，用空间向量表示表示问题中涉及的点点、直线直线、平面平面，把立体几何问题转化为向向量问题量问题；（2）通过向量运算向量运算，研究点、直线、平面点、直线、平面之间的位置关位置关系系以及它们之间夹角夹角问题（3）把向量的运算结果运算结果“翻译”成相应的几何意义几何意义。2向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量知识点知识点1：异异面直线所成的

2、角面直线所成的角（1）定义：定义：过空间任意一点任意一点o分别作异面直线异面直线a与b的平行线平行线a与b，那么直线a与b 所成的锐角或直角锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.两直线l,m所成的角为(02 ),cosa ba b ；（2）两条直线的夹角：）两条直线的夹角：lamlamb b所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz 解：解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF

3、 BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010.,111111111111所成的角的余弦值和求，、的中点、取中，在直三棱柱AFBDFDCABACCCABCACBCCBAABC例：例：（3）直线与平面的夹角：）直线与平面的夹角：aa ABCD1A1B1C1DMNxyz例：例：(0,0,0),A1(0,0,4),A(0,8,0),D因为 ,AMDA1ANDA1(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD 1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55所以 是平面ANM的法向量DA1解解:建立如图示的直角坐标系,则lcoscos,AB CDA

4、B CDAB CD DCBA知识点知识点2：二面角：二面角方向向量法：方向向量法：（范围： ）0, ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n法向量的方向：法向量的方向：一进一出一进一出，二面角等于法向量夹角；，二面角等于法向量夹角；同进同出同进同出，二面角等于法向量夹角的补角，二面角等于法向量夹角的补角ABCDSxzyA- xyz解： 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易

5、知面的法向量11(1,0),(0, 1)22 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：设平面设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值与面求面，平面是直角梯形，如图所示，SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例例1：如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余

6、弦值; (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值; (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz例例2 2： OABCSxyz(1)OAOC OS 解：以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系如图。(0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB则， ， ， ， ，(2 01)(110)SAOB ， ， ， ，20010cos552SAOB ，如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值;

7、OABCSxyz如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 ; (2)(2 01)(111)SASB解：， ， ， ，()SABnxyz设平面的一个法向量为， ，201120 xzxyzxyz 取，则，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一个法向量为， ，又， ，0026cos316nOS ，所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为33OABCSxyz(112)SABn 解：由(2)知平面的一个法向量为， ，OCS

8、AOOCSAO又由平面知是平面的法向量(010)OC 且， ，0 1 06cos66 1n OC ，所以二面角所以二面角BASO的余弦值为的余弦值为66如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.课堂小结课堂小结 1异面直线所成的角： 2直线和平面所成的角： 3二面角： . .练习练习1：如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，O是是BD的中点的中点, ,（I）求证：）求证：AO平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；

9、所成角的大小；2BDCDCBCA2 ADAB?C?A?D?B?O?E能力提升能力提升?x?C?A?B?O?D?y?z?E解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，(1,0,0),( 1,0,0),BD 则13(0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以异面直线所以异面直线AB与与CD所成角的所成角的余弦值为余弦值为 2.4练习练习2：如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱

10、是正方形，侧棱PD ABCD，PD=DC，E是是PC的中的中点点.(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点DADC DP 以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 为中点，点坐标为 ，1 1(0)2 2GBDG 为中点，点坐标为，11(0)22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因为与不共线，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)