高等数学b学习资料-2-6微分中值定理renppt课件

1、中值定理中值定理运用运用研讨函数性质及曲线性态研讨函数性质及曲线性态利用导数处理实践问题利用导数处理实践问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 ( (第七节第七节) )推行推行第六节第六节 第十二节第十二节 一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理设设函函数数)(xf在在点点 0 x的的某某邻邻域域),(0 xU内内 有有定定义义并并且且在在

2、 0 x处处可可导导，如如果果对对任任意意 的的),(0 xUx ，有有 )()()()(00 xfxfxfxf 或或 则则 .0)(0 xf 1.引理费马引理费马(Fermat)定理定理 xyo0 x.)(,0)(00的的为为函函数数则则称称若若xfxxf 驻驻点点2. 罗尔罗尔Rolle定理定理 那么在那么在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f() =0 .设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在闭区间在闭区间 a,b上延续上延续.2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b).3 , 132)(12定理定理满足满足上上在区

3、间在区间验证验证例例Rollexxxf 物了解释物了解释: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy C.,)(的的在在该该点点处处的的切切线线是是水水平平上上至至少少有有一一点点则则弧弧处处纵纵坐坐标标相相等等、点点在在连连续续光光滑滑曲曲线线CABBAxfy 3、罗尔定理还指出了这样的一个现实：、罗尔定理还指出了这样的一个现实：假设假设 f (x) 可导，那么可导，那么 f(x)=0 的任何两个实根之的任何两个实根之间，至少有间，至少有 f(x) =0 的一个实根的一个实根.例例2 2 不求导数不求导数

4、, , 判别函数判别函数 f(x) = (x f(x) = (x 1) (x 1) (x 2) (x 2) (x 3)3)的导数的导数f f(x)(x)有几个零点及这些零点所在的范围有几个零点及这些零点所在的范围. .4. 留意留意 1)假设罗尔定理的三个条件中有一个不假设罗尔定理的三个条件中有一个不满足满足,其结论能够不成立其结论能够不成立.例如例如 1,010,)()1xxxxfx1yo1 ,1,)()2 xxxfx1yo11 ,0,)()3 xxxfx1yo2) 罗尔定理的三个条件是充分不用要的罗尔定理的三个条件是充分不用要的,即假设即假设有一个不满足有一个不满足,其结论也能够成立其结论

5、也能够成立.例如例如,1 , 1,)13 xxy.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx例例3 3例例4 4.)1 , 0(23423内内至至少少有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程cbacxbxax 阐明阐明: :证明证明 在在 内有根用零点定理内有根用零点定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用罗尔定理内有根用罗尔定理. .0)( xf),(ba关键技巧关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数根据题意会知道如何构造辅助函数.假设希望用假设希望用Rolle定理证明方程定理证明方程 f(x)=0 根的存在根的存在性，性，那么构造的

6、辅助函数那么构造的辅助函数F(x) 应满足关系式应满足关系式F(x) = f(x) 及及Rolle定理条件定理条件.例例5 5.)()(), 0(:, 0)(, 1)0(, ), 0(, 0)( ffaaffaDaCxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至至少少存存在在一一点点证证明明设设例例6 6二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定中值定理理).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf 结结论论亦亦可可写写成成那么在

7、那么在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f (b) f (a) = f ()(ba) (a,b) .Lagrange 中值定理：中值定理： 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在闭区间在闭区间 a,b上延续上延续.2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导.作辅助函数作辅助函数证明：证明：,)()()()(xabafbfxfxF , ,)(baCxF 则则有有, ,)(baDxF , )()()()(bFabbfaafbaF ,)(上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件在在即即baxF.0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在,0)

8、()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 故故有有拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧.Lagrange1 , 0arctan)(中中值值定定理理的的条条件件上上满满足足在在验验证证xxf 例例1,),()(内内可可导导在在设设baxf, ,00baxxx , )10(0 xx记记则有则有, )10()()()(000 xxxfxfxxf即即. )10()(0 xxxfy增量增量 y y 的准确表达式的准确表达式拉格朗

9、日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值定理也称为微分中值定理拉格朗日中值定理也称为微分中值定理两个推论两个推论:(1) 设设 f (x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x)=0，那么，那么 f(x)=C.(2) 设设 f (x) ,g(x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x) =g(x) ， 那么那么 f(x)=g(x) C. )()(, ),(,212121xfxfxxbaxx 有有时时只只须须证证明明对对拉格朗日中值定理的运用拉格朗日中值定理的运用: 1、用、用 La

10、grange 中值定理证明等式：中值定理证明等式：例例2 21cossin22 xx证明证明.),( x阐明阐明欲证欲证 时时, , ,)(Axf Ix , 0)( xf,0Ix 且且.)(0Axf 使使只需证在只需证在 I I 上上练习：练习：).,(,2cotarcarctan xxx 证证明明2、用、用 Lagrange 中值定理证明不等式：中值定理证明不等式：Step1 找出适当的函数找出适当的函数 f (x) 及区间及区间,Step2 验证验证 f (x) 满足满足Lagrange 中值定理条件中值定理条件,Step3 对对 f () 作适当放大或减少，推出作适当放大或减少，推出所要

11、证的结果所要证的结果.例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 时时当当证证明明例例3 3.costantancos:,2022 证证明明若若三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理那么在那么在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理 设函数设函数 f (x)、 g (x) 满足条件：满足条件：1) 在闭区间在闭区间 a,b上延续上延续.2) 在开区间在开区间(a,b)内可导且内可导且 g(x) 0 .)()()()()()( gfbgagbfaf 证证 作辅助函数作辅助函数, )()()()()()()(xgagbgafbfxfx ,),(

12、,)(内内可可导导在在上上连连续续在在则则babax , )()()()()()()()(bagbgagbfbgafa 且且,0)(),( 使使定理知：至少存在一点定理知：至少存在一点由由baRolle,0)()()()()()( gagbgafbff即即.)()()()()()( gfagbgafbf 几何解释几何解释:)()()()()()( gfagbgafbf )()(tfytgx)(af)(bf)()(ddtgtfxy 留意留意: :xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率)(ag)(bg)( g.,)(),(ABfgCAB该该点点处处的的切切线线平平行行于于弦弦在在上上至至少少有有一

13、一点点在在曲曲线线弧弧 AB,)(xxg 当当, 1)(,)()( xgabagbg)()()()()()( gfagbgafbf ).()()( fabafbfLagrange 中值定理是中值定理是Cauchy 中值定理中值定理 的特例的特例.思索思索: : 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabgagbg 两个两个 不不一定一样一定一样错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. . 例例).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一

14、点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff xxxf)()(2例例证证,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条件条件上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数四、小结四、小结1. 1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值

15、定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbf xxg )()()(afbf xxF )(费马引理费马引理中值定理的数学符号简约表述中值定理的数学符号简约表述: P1252. 微分中值定理的运用微分中值定理的运用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: : 利用逆向思想利用逆向思想设辅助函数设辅助函数中值定理的数学符号简约表述中值定理的数学符号简约表述: P125;0)(,),()()(),(,)1( fbabfafbaDbaCf使使且且);()()()

16、,(),(,)2( fabafbfbabaDbaCf ，使使.)()()()()()(),(),(, 0)(),(,)3( gfagbgafbfbabaxxgbaDbaCgf ，使使且且1. 填空题填空题3415思索与练习思索与练习 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 那么中那么中值值._ 一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_个根，

17、它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系. .5 5、 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .练练 习习 题题二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所

18、求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、时时当当1 x，exex . .六六、证证明明方方程程015 xx只只有有一一个个正正根根 . .七、设函数七、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数，且且)0()0()0()1( nfff试用柯西中值定理试用柯西

19、中值定理证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）. .八、设八、设)(xf在在 ba, 内上连续，在内上连续，在( (ba,) )内可导，若内可导，若 ba 0, ,则在则在( (ba,) )内存在一内存在一 点点，使，使 )()()()(baffabfbaf . .一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形, ,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量, ,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零. .练习题答案练习题答案费马费马(1601 1665

20、)法国数学家法国数学家, 他是一位律师他是一位律师, 数学数学只是他的业余喜好只是他的业余喜好. 他兴趣广泛他兴趣广泛, 博博览群书并擅长思索览群书并擅长思索, 在数学上有许多在数学上有许多艰苦奉献艰苦奉献. 他特别喜好数论他特别喜好数论, 他提出他提出的费马大定理的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研讨最大值与最小值的方法中费马引理是后人从他研讨最大值与最小值的方法中 提炼出来的提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家法国数学家.他在方程论他在方程论

21、, 解析函数论解析函数论,及数论方面都作出了重要的奉献及数论方面都作出了重要的奉献, 近百近百余年来余年来, 数学中的许多成就都直接或间数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的任务接地溯源于他的任务, 他是对分析数学他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家, 他对数学的奉献主要集中他对数学的奉献主要集中在微积分学在微积分学,共有共有 27 卷卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的, , 等等, 有思想有创建有思想有创建, 响广泛而深远响广泛而深远 .对数学的影对数学的影他是经典

22、分析的奠基人之一他是经典分析的奠基人之一, 他为微他为微积分所奠定的根底推进了分析的开展积分所奠定的根底推进了分析的开展. 复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面 . 终身发表论文终身发表论文800余篇余篇, 著书著书 7 本本 , .0,)1 , 0(:,01322210210 nnnxaxaxaaxnaaaa满满足足少少存存在在一一个个内内至至在在证证明明练练习习：设设例例3 3.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零点定理由零点定理.

23、0)(),1 , 0(00 xfx使使,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根即即 为方程小于为方程小于1的正实根的正实根.0 x例例4 4.)1 , 0(23423内内至至少少有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程cbacxbxax 证证由由Rolle定理知定理知,)()(234xcbacxbxaxxf 设设,1 , 0)(连连续续在在则则x

24、f,)1 , 0()(可导可导在在xf. 0)1()0( ff且且. 0)(),1 , 0(00 xfx使使.)1 , 0(0内内的的实实根根即即为为方方程程在在x阐明阐明: : 证明证明 在在 内有根用零点定理内有根用零点定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用罗尔定理内有根用罗尔定理. .0)( xf),(ba.0)()()(),(),(,)(, 0)()(, ),(,)( fgfbabaDbaCxgbfafbaDbaCxf使使证明：至少存在一点证明：至少存在一点设设推行推行:.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至至少少存

25、存在在一一点点证证明明设设例例.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至至少少存存在在一一点点证证明明设设例例6 6.)()(,)(:,)(的零点的零点一定有一定有的两个零点之间的两个零点之间在在证明证明可导可导设设例例xfxfxfxf 即例即例5 5设设,0)()(2121xxxfxf 欲证欲证:, ),(21xx 使使0)()( ff只需证只需证0)()( ff e e亦即亦即0 )( xxxfe作辅助函数作辅助函数, )()(xfexFx 验证验证)(xF在在,21xx上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.提示提示:证：证：210 xx )

26、()()(1221xfxfxxf 12)(xf 0)(121 fx. )()()(2121xfxfxxf ,(2122xxx 无妨设无妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf )(21 )011x 0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对恣意证明对恣意0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对恣意证明对恣意”“0)( xf题设条件题设条件可减弱为可减弱为.)(单调减少”单调减少”“xf 例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 时时当当证证明明证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xx