高等数学教学-9.1 多元函数微分学法及其应用ppt课件

1、第九章第九章 多元函数微分学法及其多元函数微分学法及其运用运用预备知识：空间解析几何简介预备知识：空间解析几何简介x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符三个坐标轴的正方向符合右手系合右手系.即即以以右右手手握握住住z轴轴，当当右右手手的的四四个个手手指指从从正正向向x轴轴以以2 角角度度转转向向正正向向y轴轴时时，大大拇拇指指的的指指向向就就是是z轴轴的的正正向向.一、空间直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表

2、示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的间隔,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空

3、间两点间间隔公式空间两点间间隔公式特殊地：假设两点分别特殊地：假设两点分别为为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：(1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形.三、空间曲面与曲线三、空间曲面与曲线(2) 不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；0 )z , y,

4、x(FS S方程特点方程特点:1czbyax0DCzByAx 形式：形式：空间平面方程的截距式空间平面方程的截距式式：式：空间平面方程的一般形空间平面方程的一般形、平面方程：、平面方程：12圆锥面圆锥面222zyx 1球面球面1222 zyx、曲面方程为、曲面方程为23椭球面椭球面1222222 czbyax(3) 抛物柱面抛物柱面 )0(22 ppyx(4) 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2) 圆柱面圆柱面 222Ryx 3、柱面、柱面 第九章第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的延续性四、多元函数

5、的延续性多元函数的根本概念多元函数的根本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集点集, ) ,(0PPU称为点称为点 P0 的的邻域邻域.例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, , ),(),(0zyxPU( (球邻域球邻域) )点点 P0 的去心邻域记为的去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx例如，在平面上例如，在平面上 0 yx)y,x( 4122 yx)y,x( 0 yx)y,x( 4122 yx)y,x(开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo2

6、1二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强,2hrV,(为常数）RVTRp 0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVhr定义定义1. 设非空点集设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集点集 D 称为函数的定义域称为函数的定义域 ; 数集数集DP,Pfuu)(称为函数的值域称为函数的值域 . .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有二元函数有二元函数2R D)y,x(),y,x(fz当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数3R D)z , y,x(),z , y,x(fu映射映射R:Df称为定义称

7、为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作),(21nxxxfuxzy例如例如:(1) 二元函数二元函数221yxz 定义域为定义域为 122 yx)y,x(圆域圆域1(3)三元函数三元函数 )zyxarcsin(u222 定义域为定义域为1),(222zyxzyx单位闭球单位闭球o无无界界的的开开区区域域的的定定义义域域为为函函数数)yxln(z (2) 0 yx)y,x(xyoxzy0三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设设 n 元函数元函数,R),(nDPPf,-)(APf那么称常数那么称常数A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n =2 时

8、时, 记记20200)yy()xx(PP 二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0假设存在常数假设存在常数 A ,记作记作，时的极限当0)(PPPfA)y,x(flimyyxx 00即即都有都有对恣意正数对恣意正数 , 总存在正数总存在正数 ,例例1. 设设0)y(xyx1sin)y(xy)f(x,222222 求：求：.y)f(x,lim0y0 x例例2. 2. x)xysin(lim),()y,x(20求求 假设当假设当点点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y =

9、 k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点在点 (0, 0) 的极限的极限.),(yxf故那么可以断定函数极那么可以断定函数极限限那么那么有有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时yxP不存在不存在 .例例3. 讨论函数讨论函数函数函数四、四、 多元函数的延续性多元函数的延续性 定义定义3 . 设设 n 元函数元函数)(Pf定义在定义在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点假设函数在假设函数在 D

10、上各点处都延续上各点处都延续, 那么称此函数在那么称此函数在 D 上上,DP0 点点假设存在假设存在否那么称为不延否那么称为不延续续,0P此时此时称为延续点称为延续点 .那么称那么称 n 元函元函数数延续延续.延续延续, 例如例如, 函数函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数11),(22yxyxf上延续上延续.122 yx 故故 ( 0, 0 )为其延续点为其延续点.在圆周在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内延续一切多元初等函数在定义区域内延续.定理：假设定理：假设 f (P) 在有界闭域在有界闭域

11、 D 上延续上延续, 那那么么,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在在 D 上可获得最大值上可获得最大值 M 及最小值及最小值 m ;(3) 对恣意对恣意，DQ;)(Qf使(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 闭域上多元延续函数有与一元函数类似的如下性质闭域上多元延续函数有与一元函数类似的如下性质:.yxyxlimyx1100 解解: : 原式原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例4.4.求求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例5. 求函数求函数的延续域的延续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2