平面向量数量积的坐标表示_模_夹角

1、一复习引入一复习引入1.ab非零向量与 的数量积的定义是什么？ 几何意义是什么？| | |cos ,a ba bab 其中 是 与 的夹角|cosb1BoBAba（1）abba；（2）(a)b(ab)a(b)；（3）(ab)cacbc； 2. 2.平面平面向量的数量积满足的运算律？向量的数量积满足的运算律？ 3.3.设向量设向量a与与b都是非零向量，则都是非零向量，则2(1)0;(2);(3).aba ba aaaa aa ba b 或3.3.平面向量的表示方法有几何法和平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的坐标表示，对向量坐标法，向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的的加、

2、减、数乘运算带来了很大的方便方便. .若已知向量若已知向量a与与b的坐标，则其的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题们需要研究的课题. . 探究（一）：探究（一）：平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 oxyabijii1 1jjij1 10 01122,a xi y jb x i y j则 : 已知两个非零向量已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用怎样用a与与b的坐标表示的坐标表示ab?1122() ()a bx iy jx iy j 22121

3、22112x x ix y i jx y i jy y j 221,0,1iijj 因 为1212a bx xy y 所以两个向量的数量积等于它们对应坐标的两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和乘积的和.练习练习1：已知向量：已知向量(3, 1),a求:(1) (2)ab() ()abab5a b () ()5abab变式：已知向量变式：已知向量(2, 3),( ,2 ),abxx4,3a b且则x=13- -b=(1,-2)探究（二）：探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示向量的模和夹角的坐标表示 (1)向量的模向量的模设( , ),ax y则22222,axyaxy或2a aaaa a

4、或；(2)设设1122,)(,),A x yB xy（、222121)xxyy（则AB （3）平行）平行（4）垂直）垂直0babaab12120 x xy y11221221,),(,), / /0,(0)axybxyabx yx yb （ 设则设设1122( ,),(,),(0,0)ax ybxyab 则(5)设设 是两个非零向量，其夹角为是两个非零向量，其夹角为，若，若 那么那么cos如何用坐如何用坐 标表示？标表示？ , a b 1122( ,),(,)ax ybxycosa ba b 1 21222221122x xy yxyxy例题讲解例题讲解例例1：设：设a=(5,-7),b=(-

5、6,-4),求求ab及及a、b间的间的夹角夹角(精确到精确到1)解解ab = 5(-6)+(-7) (-4) = -30+28 = -2,747522a5246 22b03. 052742cos926 . 1rad例2：已知向量(1,2),( ,1).abx22abab与平行（1） 当时,求x?(2)22abab若与垂直，则7(12 )(2)4 30,2xx 得x=-2或22abab与垂直（2） 当时,求x?2(12 ,4),2(2,3)abxabx解：(1)22abab若与平行，则13(1 2 ) 4(2)0,2xxx得 (1) ( 1, 3),(1,1),cosabab 例3已知与 的夹角

6、求62cos.4a ba b 变式：已知向量变式：已知向量 a(，2)2)，b( (3 3，5)5)，若向量，若向量a 与与b的夹角为的夹角为钝角，求钝角，求的取值范围的取值范围. . 10 66(, )( ,)355-+ U例例4 4 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)， 试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形) 1 , 1 () 23 , 12(AB:证明) 3 , 3() 25 , 12(AC031) 3(1ACABACAB思考：还有思考：还有其他

7、证明方其他证明方法吗？法吗？向量的数量向量的数量积是否为零积是否为零, ,是判断相应是判断相应的两条线段的两条线段或直线是否或直线是否垂直的重要垂直的重要方法之一方法之一90,C 变式:已知 ABC为直角三角形，AB=(1,3), AC=(2,k),求k值？90(C 解：若，则CACB, CA CB=0,-21)+(-k)(3-k)=0, k=1或2.练习已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是 A. 2i-j B . i-2jC. 2i+j D . i+2j已知a=(,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则的范围是 310 . 310 .310 . 310 .DC

8、BABA练习 ,10,2 , 12范围为的取值则若已知mmmaaB 1,-1- . 2,2 .1 , 1 . 1 , 1 .DCBA的夹角是多少？与则已知baba,13, 13,3, 1练习分析：为求a与b夹角，需先求ab及|a|b|，再结合夹角的范围确定其值. 013, 13,3, 1ba解413313ba22, 2ba记a与b的夹角为22cosbaba又04知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定 已知a(,),b(,),求求x，y的值使(xa+yb)a,且且xa+yb=1. 753524753524yxyx和练习小结小结)()(2211jyixjyixba2121yyxx.,22222121yxbyxaA、B两点间的距离公式:已知),(11yxA),(22yxB,)()(212212yyxxAB小结小结2.2.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在向量的坐标运算沟通了向量与解析