高等代数课件第3章线性方程组3.2线性方程组解的结构

1、证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx = =( ( ) )( ( ) ),BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程，( () ).,2的秩的秩阵阵的秩等于增广矩的秩等于增广矩矩阵矩阵的充分必要条件是系数的充分必要条件是系数有解有解元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组定理定理bABAbxAnnm= = = 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.( ( ) )( ( ) ).BRAR= =因此因此非齐次方程组的解法非齐次方程组的解法并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn- -即可得方程组的一个解即

2、可得方程组的一个解充分性充分性. .( ( ) )( ( ) ),BRAR= =设设( ( ) )( ( ) )( () ),nrrBRAR = = =设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rB其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量, ,rn- - 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,r小结小结有唯一解有唯一解bAx = =( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =有无穷多解有无穷多解. .bAx = =方程组的通解方程组的通解性性程

3、组的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设= =- -= = = = =AxxbAxxx 证明证明( () ). 021= =- -= =- -bbA . 021= =- -= =Axx满满足足方方程程即即 bAbA= = =21, 非齐次线性方程组解的性质非齐次线

4、性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质证明证明( () ) AAA = = ,0bb = = = =.的解的解是方程是方程所以所以bAxx= = = = 证毕证毕.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程则则的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程设设bAxxAxxbAxx= = = = = = = = .11 - - - = = rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk- - - 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐

5、次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题bAx = =;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn ( () )( () ).,2121的秩相等的秩相等与矩阵与矩阵矩阵矩阵bBAnn = = =线性方程组线性方程组 有解有解bAx = =线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，

6、但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组 - -= = - - -= =- - - -= = - - -.2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B - - - - - - - -= =2132111311

7、101111B,00000212100211011 - - - -并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见, 2)()(= = =BRAR = = = =.212,2143421xxxxx , 042= = =xx取取,2131= = =xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 = = 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 = = = =xxxxx ,100142 = = 及及xx,210131 = = 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 = = = = 于是所求通解为于是所

8、求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx = = = =- - = = - -= =- - = = .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 - - - -= =12134382362120231213711111B例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解 - - - - - -0000000000002362120711111( ( ) )( ( ) ).,知知方方程程组组有有解解由由BRAR= =( ( ) ), 3, 2= =- -= =rnAR又又所以方程组

9、有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组 - - = = - - - -= = 236227543254321xxxxxxxxx求基础解系求基础解系.100,010,001543 = = xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 - - - - - - -= = xx - - = = - - - -= = 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.10032,01010,0012121321 - -= = - -= = - - -= = 求特解求特解.223,29, 021543= =- -= = = = =xxxxx得得令令所以方

10、程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系.0002232910032000100012121321 - - - - - - - - -= =kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk另一种解法另一种解法 - - - -= =12134382362120231213711111B - - - - - -0000000000002362120711111 - - -00000000000022331211029202101则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组 - - - -= =- - - -= =223321292215432531xxxxxxx = = = =

11、- - - -= =- - - -= =5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =有无穷多解有无穷多解. .bAx = =非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx = =小结小结;有唯一解有唯一解bAx = =思考题思考题.,?,12105, 3153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解况况下下情情在在方方程程组组有有无无穷穷多多解解的的有有无无穷穷多多解解有有唯唯一一解解方方程程组组无无解解取取何何值值

12、时时当当讨讨论论线线性性方方程程组组tptxxxxxxpxxxxxxxxxx = = - - -= = - - -= = = = 思考题解答思考题解答 - - - - -= =tpB121051315133163113211解解 - - - - - - - -191260066402242013211tp - - -53000422001121013211tp;, 4)()(,2)1(方程组有唯一解方程组有唯一解时时当当= = = BRARp - - - - -1000021000112101321153000420001121013211ttB有有时时当当,2)2(= =p;, 4)(3)(,1方程组无解方程组无解时时当当= = = = BRARt - - - -0000021000302108000100000210001121013211B且且., 3)()(,1方程组有无穷多解方程组有无穷多解时时当当