复变函数3泰勒级数ppt课件

1、3 泰勒级数 设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式, 有1( )( )d ,2Kff zizzzz且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzz由于积分变量取在圆周 上 点 在 的内部所以101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzzizzzzzzzz0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成( )1000010()( )(

2、)( )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdizzzz其中( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn如果能证明在 内成立 则在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.000zzzzqzrz令，q与积分变量z无关, 且0q1.z0Kzrz K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRzzzzz因而,

3、下面的公式在K内成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d, 那么 f (z)在z0的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立.定理定理(泰勒展开定理泰勒展开定理) 设设 f (z)在区域在区域D内解析内解析, z0为为D内的一内的一点点, d为为z0到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 则当则当|z-z0|d 时时, 00( )0( )(),1(),0,1,2,.!nnnnnf zczzc

4、fznn成立 其中 注： 假如 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. yz0ax 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因为ez在

5、复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn 除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn 解 由于函数有一奇点z=-1,

6、 而在|z|1内处处解析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 211( 1),| 1.1nnzzzzz 例1 把函数 展开成z的幂级数. 21 1z将上式两边求导得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.1OR=1xy01ln(1)( 1),1nnnzzz因为逐项积分得0001dd( 1)d,1zzznnz231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn 即解析在函数0)(zzf的

7、幂级数的某邻域内可展开为在00)(zzzzf解析在区域函数Dzf)(0( )f zDzz在 内任一点处可展开为的幂级数推论推论1 1： 注：解析的等价条件：在区域函数Dzf)(内可导；在区域函数Dzf)() 1 (条件，内可微，且满足在区域RCDvu,)2(关；内连续且积分与路径无在区域函数Dzf)() 3(内可展开为幂级数在区域函数Dzf)()4(推论推论2 2： 解析，在区域设函数Dzf)(),(,00DzdistRDz00( )f zzzRz则在内可展开为 的幂级数推论推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点. (即使幂级数在其收敛圆周

8、上处处收敛即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如：)(02zfnznn1,z 在上绝对收敛),1(21)(1znzzzfn但)(1zfz时：近于沿实轴从单位圆内部趋当是一个奇点。即1z推论推论4：展开式：解析，且有在设函数Taylor)(0zzf00( )() ,nnnf zCzz最近的一个奇点，的距是0)(zzfa为其收敛半径。则0zRa例如：,61)(02nnnzCzzzf; 2R则其收敛半径,)(61)(02nnnizCzzzf5.R 则其收敛半径而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数211z1-z2+z4-它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个

9、级数的收敛半径只能等于1. 因而, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式242211( 1)1nnxxxx 的成立必须受|x|R1时, 即| z |R, 011()nnnnnncczzz收敛。因而, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛.z0R1R2例如级数10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab与 为复常数中的负幂项级数当即时收敛 而正幂项级数则当时收敛 所以当时,原级数

10、在圆环域收敛;当时,原级数处处发散在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.21( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz 函数在及都不解析 但在圆环域及内都是解析的先研究的情形:由此可见在内是可以展开为z的幂级数其次,在圆环域:0

11、|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:2121111( )(1)11 (1)11(1)(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1Oxy定理定理 设设 f (z)在圆环域在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析内解析, 那么那么010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcnizzzz 其中C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得21

12、1( )1( )( )2 2 KKfff zddizizzzzzzz0220,1.zzKzKzzz对第一个积分在上在内220100,1( )1( )()22()nnnKKffddzzizizzzzzzz和泰勒展开式一样 可以推得111( )d .,2KfKizzzzz第二个积分由于 在上010,1.zzKzzz点 在的外部0001111zzzzzzzz 因此10011100()1() ,()()nnnnnnzzzzzzzz R1R2zrK1zRK2zz011101101( )1( )dd()( ),22()NnNnnKKffzzRzizizzzzzzz 1100()( )1( )d .2()n

13、Nnn NKzfRzizzzzz其中000,01|zrqqzzzzz令则，因此有100001|( )|( )|d2|nNnKzfRzszzzzzz111112.|( )|.21Nnn NMM qqrMf zKrq是在上的最大值lim0,lim( )0.NNNNqRz因为所以00001( )()()() ,nnnnnnnnnf zczzczzczz因此2110101( )d ,(0,1,2,);2()1( )d ,(1,2,) .2()nnKnnKfcnizfcnizzzzzzz 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示:101( )

14、d ,(0, 1, 2,)2()nnCfcnizzzz Cz0R1R20101( )( )() ,d ,(0, 1, 2,)2()nnnnnCff zc zzcnizzzz 于是称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z

15、| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数. 1112f zzz例 把在复平面上展开为z的幂级数。xyO1xyO12xyO2先把 f (z)用部分分式表示:11( ).12f zzz2222111i)0 | 1( )12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz在内:ii) 在1 |z| 2内：111111( )1122112f zzzzzz 222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzziii) 在2|z|+内:111111( )121211f zzzzzzz 2223

16、4111124(1)(1)137.zzzzzzzzz例2 把函数.|0e)(13内展开成洛朗级数在zzzfz解 因有133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn 注意: 一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. 例如在 z=i 和z=-

17、i处展开函数 为洛朗级数。12( )()if zz zi在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.因而, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.因而, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0 |z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i| +中的洛朗展开式。Oiii0特别的，当洛朗级数的系数公式101( )d . (0, 1, 2,)2()nnCfcnizzzz 1n 时，有CdzzfiC)(21112)(CidzzfC（即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的