【优化指导】高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练)3.2.3诱导公式第一课时精品导学案湘教版必修2

1、-1 - 323 诱导公式 第一课时诱导公式(一) 二课剪潢呈曼更 KEQiA! YVXlDAQX UE (D导航： 学习目标 重点难点 1 .能够根据角 a + 2k n (k Z), a , n + a , n a的终边与角 a 终边之间的关系，利用三角函数的定 义，推导出诱导公式一至四； 2 .能够利用诱导公式进行三角函数 式的求值与化简； 3 .能够熟记四组诱导公式. 重点：诱导公式的记忆与应用； 难点：诱导公式的应用； 疑点：诱导公式中的符号规则 . 导引： 1 .公式一： a与a+ 2k n的同名三角函数值相等，即 sin( a + 2k n ) = sin_ a， cos( a

2、+ 2k n ) = cos_a， tan( a + 2k n ) = tan_ a，其中 k Z. 2 .公式二： sin( a ) = sin_ a , COS( a ) = COs_ a , tan( a ) = tan_ a . 3 .公式三： sin( n + a ) = sin_ a , COs( n + a ) = COs a , tan( n + a ) = tan_ a . 4 .公式四： sin( n a ) = sin_ a , COs( n a ) = COs a , tan( n a ) = tan_ a . k n a ( k Z)的三角函数值，等于角 a的同名函数

3、值，前面添上一个把角 a看成锐角 时原来函数值的符号. 预习交流1 角a + 2k n ( k Z)， a , n + a, n a的终边与角 a的终边分别具有什么关系？ 你能从这些关系出发，利用三角函数线证明四组诱导公式吗？ 提示：角a + 2kn (k Z)与角a的终边完全相同；角一 a的终边与角a的终边关于X 轴对称；角n + a与角a的终边关于原点对称； 角n a与角a的终边关于y轴对称.根 据这种对应关系，可以推出这些角的正弦线、余弦线、正切线与角 a的三角函数线之间的关 系，从而推得诱导公式. 预习交流2 如何理解诱导公式法则中“前面添上一个把角 a看成锐角时原函数值的符号”？ 提

4、示：以公式二为例，将 a视为锐角时，一a应该是第四象限角，而对于第四象限角， 其余弦值为正，正弦和正切均为负，因此公式二中，余弦的等号右边没有负号，正弦和正切 的等号右边都有负号.这些诱导公式中的符号是公式本身所固有的，与实际应用时角 a的大 -2 - n 小及所在象限无关，例如：不要以为 是第一象限角，而第一象限角正弦值为正，而出现-3 - 在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个 备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 课堂合作探究 sin n + -4 = sin 的错误. 7t K r：T.A N TA XJ1 负超导学 I： 一、利用诱导公式求已知角的三角函数值 求

5、下列三角函数式的值： (1)sin( 840 )cos1 470 cos( 420 )sin( 930 ); H23n ) 25 一tan . 思路分析：利用诱导公式二可将负角化为正角，利用公式一、三、四可将大角化为小角, 然后结合特殊角的三角函数值计算. 解：(1)sin( 840 ) cos 1 470 =sin 840 cos 1 470 + cos 420 =sin(3 x 360 240 )cos(4 x 360 210) =sin 240 (2)sin 4 n 丁 cos( 420 )sin( 930 ) sin 930 + 30 ) + cos(360 + 60 )sin(2 x

6、 360 + cos 30 + cos 60 sin 210 o . c c + 60 )cos 30 + cos 60 cos 30 cos 60 sin 30 =si n(180 =sin 60 3 3 11 =-x - 一 x 一=一 1 2 2 2 2 sin(180 + 30) o (2)sin =sin 亶 4n 23 n 25 tan 7 n 3 cos j 4 n + 6n+ 7 =sin 7t 7t 4 n n n 3 I3 3 =sin cos tan = 1 = - 3 6 4 2 2 号迂移慮用 1 . sin 600 + tan 240 A. B . 2 2 的值是

7、( -1+ -3 答案：B 解析：sin 600 + tan 240 =sin(360 + 240 ) + tan(180 + 60) -4 - =sin 240 + tan 60 = sin 60 + tan 60 V + 3滲 答案: 7n -cos tan 3 6 4利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是: 2 .诱导公式有两种形式：用角度制表示和用弧度制表示，要 熟悉这两种形式，应用要恰 ，原题是用弧度制表示的角，就用弧度制形式的诱导公式，两种形式之间不能混用. 二、利用诱导公式化简或证明三角函数式 化简 sin( n a )sin(3 n a ) + sin(

8、a n ) sin ( a 2 n ) (2)求证： sin(4 n a ) sin (5 n a ) p1 + 2sin 290 cos 430 sin 250 + cos 790 = 1. 思路分析：对于(1)可利用诱导公式将各式全部转化为用 sin a表示，然后通过约分进 行化简；对于(2)可将大角转化为锐角，然后借助同角的三角函数关系公式进行化简. (1)解：T sin( n a ) = sin a , sin(3 n a ) = sin(2 n + n a ) = sin a , sin( a n ) = sin( n + a ) = sin a , sin( a 2 n ) = s

9、in(2 n a ) = sin a , sin (4 n a ) = sin( a ) = sin a , sin(5 n a ) = sin(4 n + n a ) = sin a , sin a sin a + sin a sin a sin a sin a a=2. sin a 1 + 2sin 290 cos 430 sin 250 + cos 790 4 n 19 n 21 n 丁 CsU tan 解析: 原式= sin ( 7 n、 ( =sin =sin 冗+守 cos n + 才 tan n +y 7t 4 3 X 1 = 4. .n 1 =sin 空cos 1.求已知角的三

10、角函数值，一般是利用诱导公式把该角的三角函数化为 锐角的三角函数再求值. 任意负角的三角函数 利用诱导公式 - - 任意正角的 三角函数 利用诱导 公式一 原式= 证明：左边= -5 - 1 + 2sin 70 + 360 )cos( 70 + 360 ) sin( 180 + 70 ) + cos( 70 + 2X 360 ) yjl 2sin 70 cos 70 寸(sin 70 cos 70 亍 cos 70 sin 70 = cos 70 sin 70 sin 70 cos 70 cos 70 sin 70 =1 =右边. -等工式成立. sin( 180 + a )cos( a )

11、tan( a ) cos( a ) sin a cos a cos a 2 =cos a . sin a 等工式成 立. 1 .诱导公式和同角的三角函数关系基本公式是进行三角函数式化简与证 明的基础. 2 .运用诱导公式化简和证明三角函数式的关键是熟记公式，灵活应用，特别注意牢记公 式中的符号. 三、诱导公式的综合应用 诵猫搽究 |，n ) V3 七 |5 n 丄 2 a =二，求 cos + a Sin 6 3 . 6 思路分析: 2 3, 原式= 设 cos 100 = k,贝U tan 80 是(i .化简: 解: sin( 180 + a )cos( a ) tan( a ) sin

12、a cos a sin( a ) 2 .求证: tan(2 n 0 ) sin( 2n 0 ) cos (6 n 0 ) cos( 0 n ) sin (5 n + 0 ) =tan 证明： 左边= tan( 0 ) sin ( 0 ) cos( 0) (cos 0 ) ( sin 0 ) (tan 0 ) ( sin cos 0 sin 0 ) cos 0 0 =tan 0 =右边. 七的值. 已知cos 原式= a sin ,值可求. =cos 而sin -青=1 cos -6 - A亠B A . k B 1 k2 D- 在三角函数的条件求值中，要注意观察分析已知角和待求角之间的关系, 恰

13、当地选择诱导公式以及同角的三角函数基本关系公式进行变形求解. C. 土 k - .1 k2 答 案: 解 析: 于是 因此 B / cos 100 cos 80 = sin 80 tan 80 =cos(180 80 ) = cos 80 k. 1 cos280= 1 ( k)2 = 1 k2, sin 80 .1 k2 h，选B cos 80 -7 - A. 答案： 解析： 2 2.如果 A . cos C . sin 答案：B 二 2 A sin 585 的值为（ ） 子C =si n(360 =180 a +3 a = cos 3 a = sin 3 + 225 ) = sin 225

14、= sin(180 + 45 ) = sin 45 ，那么下列等式中成立的是 （ ） B D cos a = cos 3 .以上都不对 解析：T a + 3= 180 a = 180 3 . 于是 cos a = cos(180 n、 4 3 + 2sin n 3. sin A. 1 答案: .3 1 B . 1 3 ) = cos 3，选 B 2 + 3sin 3 n 等于（ 解析: 原式= n sin + 2sin n n+ w + 3sin 3丿 n n n n n 3 = sin 2sin + 3sin = 0, 4 .已知 cos( n + a ) = , 5 则 tan(2 n a 答案： 4 3 , 匚，因此cos 5 - 2 4 所以 sin a= 1 cos a= 二. u 5 解析：由已知得一cos a 3 5, 于是 tan(2 na ) = tan( a ) = tan sin a 4 - = _ cos a 3 5. 化简： p1 + 2sin( n 3)cos(n+ 3) = _ , 答案：sin 3 cos 3 解析：/ sin( n