第8章 非线性控制系统

1、 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响常见非线性特性及其对系统运动的影响 8.3 相平面法相平面法 8.4 描述函数法描述函数法 8 8 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 1. 研究非线性系统的研究非线性系统的意义意义 1)实际控制系统，存在大量非线性因素。这些实际控制系统，存在大量非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所

2、产生的影响。素所产生的影响。 2)非线性特性的存在，并不总是对系统产生不非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。良影响。 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述2 非线性系统的非线性系统的特点特点 1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分线性微分方程方程，故可以采用，故可以采用叠加原理叠加原理。而非线性系统，其数。而非线性系统，其数学模型为学模型为非线性微分方程，不能采用叠加原理，非线性微分方程，不能采用叠加原理，必必须研究不同输入所引起的输出响应。须研究不同输入所引起的输出响应。 2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本线性系统的

3、稳定性与输入响应的性质只由系统本身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。状态有关。3. 线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两种，系统的周期运动在物理上是不能实现的。在没种，系统的周期运动在物理上是不能实现的。在没有外作用时，非线性系统的周期运动在物理上可以有外作用时，非线性系统的周期运动在物理上可以实现，其频率和振幅均由

4、系统本身的特性所决定。实现，其频率和振幅均由系统本身的特性所决定。所以通常把它称为自激振荡，简称自振。所以通常把它称为自激振荡，简称自振。自振是非自振是非线性系统的一个非常重要的特征，也是研究非线性线性系统的一个非常重要的特征，也是研究非线性系统的重要内容之一。系统的重要内容之一。4可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固有特性。的固有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的方法来研究非线性系统。统常用的方法来研究非线性系统。非线性系统在正非线性系统在正弦信号作用下，稳态分量除产生同频率振荡外，可弦信号作用下，稳

5、态分量除产生同频率振荡外，可能产生倍频振荡和分频振荡。能产生倍频振荡和分频振荡。3. 3. 非线性系统的非线性系统的分类分类 n 非本质非线性非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。非线性。n 本质非线性本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。用小偏差线性化方法不能解决的非线性。 非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。 由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解，通常采用工程上适用的

6、近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函数法 （3）4. 研究研究非线性系统的非线性系统的方法方法 1)相平面法相平面法用图解方法分析一阶，二阶非线性系统。用图解方法分析一阶，二阶非线性系统。通过绘制控制系统相轨迹，分析非线性系统特性。通过绘制控制系统相轨迹，分析非线性系统特性。 2)描述函数法描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。广。3)3)计算机求解法计算机求解法是利用计算机运

7、算能力和高速度对是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。非线性微分方程的一种数值解法。 8.2 常见非线性特性常见非线性特性1.饱和特性饱和特性 ( ) ( )( )sgn ( ) ( )Ke te tay tKae te ta当当e(t)0时，时，sgn e(t) =+1；当；当e(t)0时，时，sgne(t) =1 当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元件看号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元件看作为一个作为一个ate)(2.2.死区（不灵敏区）特性死区（不

8、灵敏区）特性 0 ( )( )( )sgn ( ) ( )e tay tk e tae te ta3. 3. 间隙特性间隙特性( ) ( )0( )( ) ( )0sgn ( ) ( )0k e te ty tk e te tbe te t 理想继电特性理想继电特性MMtx )(00ee理想的继电特性理想的继电特性4.4.继电器特性继电器特性 具死区的继电特性具死区的继电特性MMtx0)(0000)()()(eteeteeete具死区的继电特性具死区的继电特性具磁滞回环的继电特性具磁滞回环的继电特性0000, 0)(, 0)(, 0)(, 0)()(eeteeeteMeeteeeteMtx具滞

9、环的继电特性具滞环的继电特性具磁滞回环和死区的继电特性具磁滞回环和死区的继电特性 具磁滞回环和死区的继电特性具磁滞回环和死区的继电特性00000000, 0;, 0, 0;, 00, 0)(;, 0)(eeemeeeMmeeeeeemeemeeteeeeMtx 由于继电器元件在控制系统中常用来作为改善系统品质由于继电器元件在控制系统中常用来作为改善系统品质的切换元件，因此继电器特性在非线性系统的分析中占有重的切换元件，因此继电器特性在非线性系统的分析中占有重要地位。要地位。 5.5.变放大系数特性变放大系数特性 变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的放变放大系数特性使系统在大误差信号时具

10、有较大的放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较小的放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较小的放大系数，使系统响应既缓且稳。大系数，使系统响应既缓且稳。 具有这种特性的系统，其动态品质较好。具有这种特性的系统，其动态品质较好。 12( ) ( )( )( ) ( )k e te tay tk e te ta8.3 相平面法相平面法1 1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面：相平面：相轨迹：相轨迹：)1(5)( sssG系统变量及其导数系统变量及其导数随时间变化随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹在相平面上描绘出来的轨迹。cc ,由系统某变量及其导数由系统某变量及其导数( (如

11、如 ) )构成的用以描述系统状态的平面。构成的用以描述系统状态的平面。例例1 1 单位反馈系统单位反馈系统 2236. 0236. 2 n)(1)(ttr 相平面、相轨迹和相轨迹图相平面、相轨迹和相轨迹图相轨迹图：相轨迹图：相平面相平面 + + 相轨迹簇相轨迹簇 动态系统的动态系统的运动状态称为运动状态称为“相相”，描述系统，描述系统运动状态运动状态的点的点称为称为相点相点，描述系统运动状态的变量称为，描述系统运动状态的变量称为相变量相变量，描述运动状，描述运动状态的平面称为态的平面称为相平面相平面，相点随时间变化在相平面中的移动轨迹，相点随时间变化在相平面中的移动轨迹称为称为相轨迹相轨迹。说

12、明：说明： 相轨迹的相轨迹的起始点起始点由系统的由系统的初始条件初始条件 确定；箭头方确定；箭头方向表示随时间向表示随时间t t的增加的增加系统的运动方向（系统的运动方向（总是顺时针总是顺时针）。以）。以各各种可能的初始条件为起始点，可以得到种可能的初始条件为起始点，可以得到相轨迹簇相轨迹簇，相平面和，相平面和相轨迹簇合称为相轨迹簇合称为相平面图相平面图。),(00cc2 2 相轨迹的性质相轨迹的性质00 xx ( , )00dxf x xdxx 对于线性定常系统，对于线性定常系统，原点是唯一的平衡点原点是唯一的平衡点(4)(4)相轨迹的运动方向相轨迹的运动方向上半平面上半平面: : 向右移动

13、向右移动0 x 0 x 下半平面下半平面: : 向左移动向左移动顺时针运动顺时针运动(2)(2)相轨迹通过横轴的方向相轨迹通过横轴的方向( , )00f x xx (3)(3)相轨迹的奇点相轨迹的奇点 (平衡点平衡点)0),(xxfx 设非线性系统方程为：设非线性系统方程为：相轨迹上斜率不确定的点相轨迹上斜率不确定的点(1)(1)相轨迹的斜率相轨迹的斜率( , )dxdx dtf x xdxdx dtx ( , )dxdx dxdxxxf x xdtdx dtdx 相轨迹以相轨迹以90穿越穿越 x 轴轴( , )dxf x xdxx dxxd / 例例2 2 设系统方程为设系统方程为 ， 试绘

14、制系统的相轨迹。试绘制系统的相轨迹。02 xxn tdxdxdxdtdxdx 解解xxdxdxn2 xdxxdxn 2 Cxxn 222221 222222ACxxnn 122222 nAxAx 椭圆方程椭圆方程3 3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 解析法解析法解解例例3 3 系统方程系统方程 , ,用等倾线法绘制系统相轨迹图。用等倾线法绘制系统相轨迹图。0 xxx 系统方程系统方程0),( xxfx ),(xxfxdxdxtdxdxdxdx xxxfxdxd),( xxxf),( )(xxxdxdxx xxx)( 1xx 等倾线方程等倾线方程等倾线等倾线 相轨迹斜率为常数的曲线相轨迹斜率为常数的

15、曲线xx )1( 3 3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 等倾线法等倾线法等倾线方程等倾线方程75.3 19.2 58.1 18.1 82.0 42.0 19.0 75.1 1xx 75. 3 36. 0 2019. 2 84. 0 4058. 1 73. 1 6018. 1 67. 5 8082. 0 76. 5 10042. 0 73. 1 12019.084. 0 14075.136. 0 160 00. 0 180 1 1 11arctan 1. 意义：表示相轨迹上意义：表示相轨迹上斜率相同（为同一常数）的点斜率相同（为同一常数）的点 的连线的连线，即，即等倾线等倾线。）（xx ,绘制方法：

16、绘制方法： 给出不同的给出不同的i 值，得出相应的一系列等倾线方程：值，得出相应的一系列等倾线方程：iiiixxfx ),( 从从各初始点各初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的短线段，就得到系统在短线段，就得到系统在确定初始条件下的完整相轨迹确定初始条件下的完整相轨迹。 对应画出每一条等倾线，并在每条等倾线上画出表示该对应画出每一条等倾线，并在每条等倾线上画出表示该等倾线相应斜率值的等倾线相应斜率值的短线段短线段。这些短线段表示了相轨迹通过。这些短线段表示了相轨迹通过等倾线时的方向，或者说它们构成了相轨迹切线的等倾线时的方向，或者说它们构成了相轨迹切线

17、的“方向方向场场”。 指导思想：在相轨迹上指导思想：在相轨迹上从初始点开始从初始点开始，沿相轨迹的运动，沿相轨迹的运动方向选取方向选取若干点若干点 ，则系统从初态运动，则系统从初态运动至稳态的时间为：至稳态的时间为：), 2 , 1 , 0)(,(nixxii 平平均均值值表表示示相相邻邻两两点点纵纵坐坐标标的的，可可用用下下式式近近似似计计算算为为相相邻邻两两点点的的时时间间增增量量其其中中：，2111iiiiiiiiiiniixxxtxxxxxttt 4 4 由相轨迹求时间解由相轨迹求时间解 微小增量法微小增量法BAABABxxxxtt 2ABABxxx 2()BAABABxxtxx 相轨

18、迹相轨迹A-B段的平均速度：段的平均速度： 相轨迹相轨迹A-B段所用的时间：段所用的时间： 4 4 由相轨迹求时间解由相轨迹求时间解 微小增量法微小增量法都已知，画出曲线。ABBAtxx,奇点与极限环奇点与极限环相轨迹的两个相轨迹的两个基本特征基本特征 奇点的类型奇点的类型设二阶线性系统微分方程为（零输入条件下）：设二阶线性系统微分方程为（零输入条件下）：。原原点点点点）为为其其相相平平面面的的坐坐标标二二阶阶系系统统的的奇奇点点（平平衡衡因因此此，）奇奇点点（令令00000022,xx,xxxxnn 根据根据的取值及特征根的不同，的取值及特征根的不同，奇点分为奇点分为6 6种种1221 nn

19、，系统特征根为：系统特征根为： 由于解析法和图解法工作量都比较大，而相轨迹主要针对由于解析法和图解法工作量都比较大，而相轨迹主要针对二阶系统，故一般对常见二阶系统，故一般对常见二阶系统相轨迹的规律二阶系统相轨迹的规律作一个作一个典型的典型的归纳归纳，以此作为非线性系统相平面分析的基础。，以此作为非线性系统相平面分析的基础。5 5 二阶系统的相轨迹二阶系统的相轨迹极点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图中心点中心点稳定的稳定的 焦点焦点稳定的稳定的 节点节点鞍鞍 点点不稳定不稳定的焦点的焦点不稳定不稳定的节点的节点极点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图(2) 01（稳定）（稳定）(5) -10（不稳定

20、）（不稳定）(3) 1（稳定）（稳定）(6) -1（不稳定）（不稳定）(1) =0（临界稳定）（临界稳定）为两个符号相反的实根2 . 1)4(不稳定不稳定),(00 xxxxx 奇奇点点为为解解之之得得根根据据定定义义，可可令令奇奇点点的的求求法法： 奇点的作用奇点的作用： 6. 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 一般步骤：一般步骤：（1）写出系统各组成环节的数学表达式，形成系统方程组。）写出系统各组成环节的数学表达式，形成系统方程组。（2）选取状态变量。通常选取非线性环节的输入，即）选取状态变量。通常选取非线性环节的输入，即系统误系统误差差e及其导数作为系统状态变量及其导数作为系

21、统状态变量。 （3）将非线性环节）将非线性环节分段线性化分段线性化，写出每一段的，写出每一段的微分方程微分方程。（3）根据）根据分段线性化分段线性化将相平面划分成若干个线性区域将相平面划分成若干个线性区域（分界（分界线称为线称为开关线开关线），根据各段的微分方程式），根据各段的微分方程式绘制各区域的绘制各区域的相轨迹相轨迹。（4）把相邻区域开关线连接起来即得非线性系统的相轨迹图，）把相邻区域开关线连接起来即得非线性系统的相轨迹图，由此可分析系统的运动特性。由此可分析系统的运动特性。例例4 4 设系统方程为设系统方程为 求系统的平衡点求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近，并判定平衡点附近相轨迹的

22、性质。相轨迹的性质。0)5 . 03(2 xxxxx 0 xx 解解 令令0)1(2 xxxx 1021eexx 不稳定焦点；发散的螺旋线不稳定焦点；发散的螺旋线线性化线性化 0)1()1(5 . 005 . 02xxxxxxx xxxxxxxxee121 05 . 005 . 0 xxxxxx 015 . 0015 . 022ssss特征特征方程方程s = 0.25j0.970.78s =-1.28鞍点；双曲线鞍点；双曲线(1) (1) 非本质非线性系统的相平面分析（非本质非线性系统的相平面分析（ 各点连续可微）各点连续可微）6. 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 例例5 5 设

23、系统方程为设系统方程为 ，求系统的平衡点，求系统的平衡点xe， 并判定平衡点附近并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。0sin xx 0 xx 解解 令令当当xxxkx sin)2sin(sin 00 xxxx 010122ss特征特征方程方程 11sjs0sin x kxe ex k2xxx sinsin )12( k线性化线性化 中心点中心点鞍点鞍点例例1 1 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。0 xxx 解解 01II01I22ssss 62. 162. 0866. 05 . 02,12,1sjs特征特征方程方程 稳定焦点稳定焦点鞍点鞍点 II00I

24、00 xxxxxxxx 0II0I21eexx奇点奇点极点极点开关线开关线(2) (2) 本质非线性系统的相平面分析本质非线性系统的相平面分析例例2 2 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。0sign xxx 解解 01II01I22ss 112,12,1jsjs特征特征方程方程 中心点中心点 II001I001xxxxxx 1II1I21eexx奇点奇点极点极点 中心点中心点开关线开关线 划分不同线性区域的边界线划分不同线性区域的边界线平衡线平衡线（奇线奇线） 不同区域的相轨迹相互影响而产生不同区域的相轨迹相互影响而产生解解21)()(ssUsC 22ee开关线

25、方程开关线方程)()(tutc 线性部分线性部分 u非线性部分非线性部分 ececec 4)I(20 e)II(22 eeIII)(22 ee综合点综合点ccre 4 uce )I(20 e)II(22 eeIII)(22 ee例例3 3 系统如右，已知系统如右，已知 , ,确定开关线方程确定开关线方程, ,奇点位置和奇点位置和 类型类型, ,绘制相轨迹绘制相轨迹 图。图。 )(14)(0)0(ttrce e( , ) (3) (3) 非线性控制系统的相平面分析非线性控制系统的相平面分析 中心点中心点 中心点中心点0s 0 e 0e I21 s 区域区域 运动方程运动方程 奇点奇点 特征方程特

26、征方程 极点极点 奇点性质奇点性质js s 01 2e 02-ee II22 js s 01 -2e 02ee III23 奇奇点点类类型型相轨迹相轨迹)II(以以 为中心的圆为中心的圆22 e以以 为中心的圆为中心的圆III)(23 e0)I( e Ce 水平线水平线响应响应)(tccre eerc 4eTe1 开关线方程开关线方程)()(tutc 线性部分线性部分非线性部分非线性部分1 ededetdededede )I(01 eTeII)(01 eTe u比较点比较点ccre 1例例4 4 系统如右，系统如右， ， ，分别讨论系统运动。，分别讨论系统运动。)(1)(ttr 5 . 0,

27、0 T整理整理)I(01 eTeII)(01 eTe e 在在 I 区：区：22eeC I抛物线方程抛物线方程同理在同理在 II 区：区：22eeCII当当 时，开关线为时，开关线为： 5 . 00T eee20解解开关线开关线0 eTe( I )相轨迹图相轨迹图0 eTe( II )系统方程系统方程 eeT25 . 0 00eT1 e 22eeC I22eeCII1 e 非线性部分非线性部分 0,1ehehe 0,1ehehe u比较点比较点cre 例例5 5 系统如右，在系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。平面上分析系统的自由响应运动。)(cc整理整理sssUsC 21)()(线性

28、部分线性部分解解ucc 11 ucc 0, chchc 0, chchc(I )1dcccccdc 11c 等倾斜线等倾斜线(II)1dcccccdc 11c I)(11 II)(11- 21 201121 03 21 2 1 23 2 2 1 21 0211221 0 1 3 2 23 21 0 1 3 2 2331 3131 2323 等倾斜线等倾斜线极限环极限环 u定义定义：非线性系统产生：非线性系统产生自激振荡自激振荡时，在相轨迹图上表现为一时，在相轨迹图上表现为一条条孤立的封闭曲线孤立的封闭曲线，称为称为极限环极限环。u特点特点：（1）极限环是最常见的一种奇线。极限环是最常见的一种奇

29、线。 （2）极限环附近的其它相轨迹都无限地趋向或者离开它。极限环附近的其它相轨迹都无限地趋向或者离开它。（3）极限环作为一条特殊的相轨迹，既不存在平衡点，也不极限环作为一条特殊的相轨迹，既不存在平衡点，也不趋向无穷远，而是一个趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈无首无尾的封闭环圈。（4）极限环把相平面划分为内、外两个相互独立部分，任何极限环把相平面划分为内、外两个相互独立部分，任何一条相轨迹都不能从内部平面穿过极限环进入外部平面，一条相轨迹都不能从内部平面穿过极限环进入外部平面，也不能从外部平面穿过极限环进入内部平面。也不能从外部平面穿过极限环进入内部平面。 各各类类极极限限环环极限环极限环

30、 对应二阶非线性系统的周期运动对应二阶非线性系统的周期运动稳定的极限环稳定的极限环不稳定的极限环不稳定的极限环半稳定的极限环半稳定的极限环u类型及其特点类型及其特点 根据极限环附近系统运动状态的根据极限环附近系统运动状态的可维持性可维持性将极限环分为稳将极限环分为稳定、不稳定和半稳定三种。定、不稳定和半稳定三种。(a) 稳定稳定(b) 不稳定不稳定(c) 半稳定半稳定(d) 半稳定半稳定内、外的相内、外的相轨迹都轨迹都趋于趋于极限环极限环内、外的相内、外的相轨迹都轨迹都卷离卷离极限环极限环内部卷向内部卷向极限环，极限环，外部卷离外部卷离内部卷离内部卷离极限环极限环外部卷向外部卷向产生产生自激自

31、激振荡振荡，应应设法减小设法减小内部内部渐进稳定渐进稳定，外部外部不稳定不稳定，应应设法增大设法增大内、外内、外均不均不稳定稳定，应设应设法避免法避免。同不稳定同不稳定的极限环的极限环 总的来说总的来说，控制系统中，控制系统中不希望产生极限环不希望产生极限环，如不能做到完全消除或避免，如不能做到完全消除或避免，也应设法将其限制在工程允许的范围之内。也应设法将其限制在工程允许的范围之内。非线性部分非线性部分)I(1he )III(1he u比较点比较点ccre 例例6 6 系统如右，在系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。平面上分析系统的自由响应运动。)(cc整理整理 ucc sssUsC

32、 21)()(线性部分线性部分解解ucc )II(hee 1hc )I(c hc )II(1 hc )III(例例7 7 系统方程为系统方程为 ，绘制相轨迹图；，绘制相轨迹图； 分析系统的自由响应运动。分析系统的自由响应运动。0sin xx xxdxdxtdxdxdxdtdxdxsin 解解 xdxd 令令xxsin1 值值角角 1 1 45121 6 .2620 0 21 6 .262 1 451 90041 14441 144 值值角角 1 1 45121 6.2620 0 21 6.262 1 451 90041 14441 144 sin0 xx 系统方程系统方程1sinxx 等倾斜线

33、等倾斜线8.4 8.4 描述函数法描述函数法 描述函数描述函数是非线性特性的一种线性近似方法。它是线性是非线性特性的一种线性近似方法。它是线性系统理论中的频率特性法在一定假设条件下，在非线性系统中系统理论中的频率特性法在一定假设条件下，在非线性系统中的应用。它主要用来分析非线性系统的稳定性，以及确定非线的应用。它主要用来分析非线性系统的稳定性，以及确定非线性系统在正弦函数作用下的输出响应特性。应用这种方法时非性系统在正弦函数作用下的输出响应特性。应用这种方法时非线性系统的阶数不受限制。线性系统的阶数不受限制。描述函数的最基本思想描述函数的最基本思想是是用输出信用输出信号中的基波分量来代替非线性

34、元件在正弦输入信号作用下的实号中的基波分量来代替非线性元件在正弦输入信号作用下的实际输出际输出。 本节主要学习本节主要学习三个基本内容三个基本内容： 描述函数的描述函数的基本概念基本概念、典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数、用描、用描述函数法述函数法分析在无外作用的情况下分析在无外作用的情况下，非线性系统的非线性系统的稳定性稳定性和和自自激振荡激振荡问题。问题。 图图8-36 非线性系统的典型结构非线性系统的典型结构 描述函数的基本概念描述函数的基本概念 描述函数是对系统中的描述函数是对系统中的非线性元件非线性元件在在正弦信号作用下正弦信号作用下的的输出输出进行进行谐波线性化谐波

35、线性化处理后得到的，其表达形式类似于线性处理后得到的，其表达形式类似于线性系统中的系统中的幅相频率特性幅相频率特性。 非线性系统的典型结构如图非线性系统的典型结构如图8-36。其中：其中：G(s) 线性环节传递函数线性环节传递函数 N 非线性元件描述函数非线性元件描述函数 若在若在N(A)的输入端加一正弦输入信号的输入端加一正弦输入信号 时，时，其稳态输出其稳态输出 一般为含有高次谐波的周期函数，将其用一般为含有高次谐波的周期函数，将其用傅傅里叶级数展开里叶级数展开为：为： 谐波线性化谐波线性化即：忽略高次谐波，即：忽略高次谐波，只考虑基波分量只考虑基波分量的线性化方法。的线性化方法。)sin

36、()sincos()(1010nnnnnntnYAtnBtnAAty 直流分量直流分量第第n次谐波分量次谐波分量式中，式中，An、Bn为为傅里叶系数傅里叶系数nnnnnnBABAYarctan22 )(tytAtxsin)( 因非线性特性大多为因非线性特性大多为奇对称奇对称，则直流分量，则直流分量A0=0；同时各谐波同时各谐波分量的幅值与基波相比都比较小；再考虑到实际系统的线性部分量的幅值与基波相比都比较小；再考虑到实际系统的线性部分一般都具有分一般都具有低通特性低通特性，因此，可以忽略其高次谐波分量，只，因此，可以忽略其高次谐波分量，只考虑基波分量，即考虑基波分量，即n=1n=1。则：。则：

37、 2020)2 , 1 , 0(,sin)(1,cos)(1nttdntyBttdntyAnn按照傅里叶分解法，其按照傅里叶分解法，其偶函数分量偶函数分量和和奇函数分量奇函数分量的系数分别为：的系数分别为： 200,)(1dttyA而直流分量：而直流分量：)sin(sincos)(1111 tYtBtAty22111111arctanAYABB， 201201),(sin)(1, )(cos)(1ttdtyBttdtyA其中：其中：y (x)= -y (-x) 可见：非线性环节在正弦输入情况下，其输出也可近似具可见：非线性环节在正弦输入情况下，其输出也可近似具有和线性环节相类似的频率响应形式，

38、即是一个有和线性环节相类似的频率响应形式，即是一个与输入信号同与输入信号同频率的正弦信号频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了变化。由于只是，只是幅值和相位发生了变化。由于只是用一用一次基波代替了总的输出次基波代替了总的输出，因此，将这种近似处理方法称为，因此，将这种近似处理方法称为谐波谐波线性化线性化。 谐波线性化的条件谐波线性化的条件： 非线性系统应能够简化为图非线性系统应能够简化为图8.36所示的所示的典型结构典型结构。 非线性特性应具有非线性特性应具有奇对称性奇对称性，即：，即：f1(e)=-f1(-e) 保证非线性元件输出的平均值即直流分量保证非线性元件输出的平均值即直流分量A0=0。

39、 系统的线性部分应具有较好的系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性低通滤波特性。 描述函数描述函数定义定义：在：在正弦信号作用下，正弦信号作用下，非线性环节非线性环节稳态输出的稳态输出的基波分量基波分量与输入正弦量的与输入正弦量的复数比复数比。用。用N(A)表示。表示。由上分析可知：由上分析可知：对于非线性元件，输入对于非线性元件，输入 时，时，谐波线性化后的输出为：谐波线性化后的输出为：1111( )cossinsin()y tAtBtYt则则描述函数描述函数为：为：AjABBAABAeAYeANANjANj111121211)(arctan)()(1tAtxsin)( 描述函数的描述函数的

40、求取求取：【例【例7.1】设继电特性为】设继电特性为 试计算该非线性特性的描述函数。试计算该非线性特性的描述函数。 00,)(，xMxMxy解：设解：设tAxsin 2,0,)(tMtMtyAMAjABANMttdtyBttdtyAtdtyA4)(4,sin)(10,cos)(1, 0)(2111201201200故：0, 011 A非线性环节为单非线性环节为单/ /非单非单值函数值函数时时, ,N(A)是实是实/ /复复数数, ,虚部为虚部为/ /不为不为0 -因非线性元件一般为非储能元件因非线性元件一般为非储能元件复变增益放大器复变增益放大器。2. 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的

41、描述函数 （1）理想）理想继电特性继电特性的描述函数的描述函数理想继电特性在正弦输入信号作用下的波形如图所示。理想继电特性在正弦输入信号作用下的波形如图所示。 图图 理想继电特性正弦输入作用下的输出波形理想继电特性正弦输入作用下的输出波形t 由于由于y (t)是周期为是周期为2的单值方波函数，且关于的单值方波函数，且关于点齐对点齐对称，所以称，所以A0=A1=0， 。01 的函数。幅值，幅值是输入正弦信号的相位角为即述函数为：故，理想继电特性的描所以，基波分量为：为：而基波奇函数分量系数AANAMeAYANtMtyMttdMttdtyBj0)(4)(sin4)(4)(sin2)(sin)(11

42、10201图图 死区特性正弦输入作用下的输出波形死区特性正弦输入作用下的输出波形 X由于死区特性仍为由于死区特性仍为单值奇函数单值奇函数，故只需要求解，故只需要求解B B1 1。XX arcsinsin11其中：其中：故，死区特性的描述函数为：故，死区特性的描述函数为： 212()arcsin1() 2BKN XXXXXX121020/221( )sind1 (sin)sind4(sin)sind2arcsin1() 2By tttK XtttK XtttKXXXXX 1a-aX图图 饱和特性正弦输入作用下的输出波形饱和特性正弦输入作用下的输出波形11sin 0( ) /2KXtty tKat

43、 因因y (t)为为平顶对称波形平顶对称波形，故只需计算，故只需计算(0,)区间内的积分，区间内的积分，此时：此时：1sinXa1arcsinaX其中：其中：同理可求出：同理可求出：1111/ 2210/ 2024sindsind411sin 2( cos)242arcsin1() BKXttKattKXatttXKXaaaXaXXX212()arcsin1BKaaaN XXaXXXX 故，饱和特性的描述函数为：故，饱和特性的描述函数为：图图 间隙特性正弦输入作用下的输出波形间隙特性正弦输入作用下的输出波形 间隙特性是间隙特性是多值函数多值函数，A1、B1均不为均不为0，描述函数为输入信，描述

44、函数为输入信号振幅号振幅X的复函数。的复函数。 y (t)为有为有时间滞后且削顶时间滞后且削顶的正弦波，其前半周期与后半周期的正弦波，其前半周期与后半周期波形相同，符号相反。故计算波形相同，符号相反。故计算A1、B1时可只半波积分。时可只半波积分。 由此求得间隙特性的描述函数为：由此求得间隙特性的描述函数为： 11j()224 arcsin 12 11j12BAN XXXKbbbbKbb XbXXXXXX 描述函数为描述函数为复函数复函数，说明输出对输入有相位差，即输出，说明输出对输入有相位差，即输出滞后于输入。滞后于输入。 同理可求出其它非线性特性的描述函数，如具有死区同理可求出其它非线性特

45、性的描述函数，如具有死区和滞环的继电特性、组合（串联元件）非线性特性等。见和滞环的继电特性、组合（串联元件）非线性特性等。见P413表表8-1所示。所示。3. 非线性系统的描述函数分析非线性系统的描述函数分析 分析的分析的条件条件： 假定非线性系统具有图假定非线性系统具有图8.36所示的典型结构，并且系统所示的典型结构，并且系统的线性部分是稳定的，即其极点全部位于复平面的左半部。的线性部分是稳定的，即其极点全部位于复平面的左半部。 分析的分析的内容内容： 非线性系统的非线性系统的稳定性稳定性； 自激振荡及其自激振荡及其稳定性稳定性，振幅和频率的计算振幅和频率的计算。分析的分析的依据依据： 线性

46、系统中的线性系统中的奈氏稳定判据奈氏稳定判据。 分析的分析的思路思路： 在复平面做出线性部分的在复平面做出线性部分的奈奈氏图氏图G(j)，和非线性部分，和非线性部分N(A)的的负倒特性图负倒特性图，根据，根据两者的关系两者的关系，引入奈氏判据，就可，引入奈氏判据，就可进行非线性系统的分析。进行非线性系统的分析。 将系统中的非线性元件看作是具有复增益将系统中的非线性元件看作是具有复增益N(A)的放大器后，的放大器后，整个系统就可以等效为一个整个系统就可以等效为一个变增益的线性系统变增益的线性系统，并可用，并可用奈奈氏判氏判据判断系统稳定性。据判断系统稳定性。 由上分析可知，由上分析可知，N(A)

47、只是输入信号幅值只是输入信号幅值A的函数，则：的函数，则： 可见，非线性元件可以看作是具有可见，非线性元件可以看作是具有复数增益复数增益N(A)的放大器，的放大器，即元件的描述函数，就是元件的即元件的描述函数，就是元件的等效复增益等效复增益。)()()()(1txANtytyN(A)x(t)y(t) 非线性系统的典型结构非线性系统的典型结构G(j)()(1)()()()()(jGANjGANjRjCj 如右图系统如右图系统闭环频闭环频率特性率特性为：为：对应闭环特征方程为：对应闭环特征方程为：0)()(1jGAN)(1)(ANjG 定义：定义： 称为描述函数的称为描述函数的负倒特性负倒特性。)

48、(1AN 对比线性系统中的奈氏判据，当对比线性系统中的奈氏判据，当G(j)= -1时，系统是临时，系统是临界稳定的，即系统处于等幅振荡状态。显然界稳定的，即系统处于等幅振荡状态。显然-1/N(A)相当于线相当于线性系统中的（性系统中的（-1,j0）点）点。可见，线性系统的临界状态是奈氏曲。可见，线性系统的临界状态是奈氏曲线过点（线过点（-1,j0），而），而非线性系统的临界状态是奈氏曲线与负倒非线性系统的临界状态是奈氏曲线与负倒特性曲线特性曲线-1/N(A)曲线相交曲线相交。)(1)(ANjG可见可见： 只要在复平面上只要在复平面上同时会出线性部分的奈氏曲线和非线性部同时会出线性部分的奈氏曲线

49、和非线性部分的负倒特性曲线分的负倒特性曲线，便可以利用奈氏判据来判断非线性系统的，便可以利用奈氏判据来判断非线性系统的稳定性。稳定性。 方法如下：方法如下： 若若G (j)曲线曲线不包围不包围-1/N(A)曲线，非线性系统曲线，非线性系统稳定。稳定。 （如图（如图a a），而且两者距离越远，稳定性越好。），而且两者距离越远，稳定性越好。 若若G (j)曲线曲线包围包围-1/N(A)曲线，非线性系统曲线，非线性系统不稳定。不稳定。 （如图（如图b b）。）。 若若G (j)曲线与曲线与- -1/N(A)曲线曲线相交相交，理论上将，理论上将产生等幅振荡的产生等幅振荡的周期运动。周期运动。（如图（如

50、图c c，有两个周期运动点，有两个周期运动点A和和B）。）。 (a) 稳定稳定(a) 不稳定不稳定(a) 自激振荡自激振荡图图 非线性系统的奈氏图与负倒特性的关系非线性系统的奈氏图与负倒特性的关系（3）自振荡自振荡的分析与计算的分析与计算 由上分析可知，若由上分析可知，若G (j)曲线与曲线与-1/N(A)曲线曲线相交相交，非线，非线性系统将产生自振荡，此时对输入信号至少存在一组（性系统将产生自振荡，此时对输入信号至少存在一组（A,）参数满足这一条件。参数满足这一条件。 一般来说，控制系统不希望有自振荡现象产生，为此应一般来说，控制系统不希望有自振荡现象产生，为此应分析自振荡产生的条件，为系统

51、参数的调整和校正装置的设分析自振荡产生的条件，为系统参数的调整和校正装置的设计提供依据。计提供依据。l 稳定性分析稳定性分析小扰动小扰动法法 在自振荡点，当系统受到小扰动后，若最后能回到该点，在自振荡点，当系统受到小扰动后，若最后能回到该点，则自振荡是稳定的，否则不稳定。则自振荡是稳定的，否则不稳定。 如图，系统有如图，系统有A、B两个自振荡点，由两个自振荡点，由奈氏判据奈氏判据知，奈知，奈氏图以外（左侧）为稳定区，里侧（右侧）为不稳定区。氏图以外（左侧）为稳定区，里侧（右侧）为不稳定区。 经小扰动法分析，经小扰动法分析，A点自振荡不稳定，点自振荡不稳定，B点点稳定稳定。（0AXA 或或XB

52、A ）系统稳定的范围是：系统稳定的范围是：图图 非线性系统自振荡的稳定性非线性系统自振荡的稳定性X不稳定区不稳定区振荡发散振荡发散稳稳定定区区自振荡稳定性的自振荡稳定性的简易判断方法简易判断方法 在自振荡点附近，沿在自振荡点附近，沿A方向方向-1/N(A)曲线由不稳定区进入曲线由不稳定区进入稳定区时，该点对应的周期运动是稳定的，稳定区时，该点对应的周期运动是稳定的，如上图中如上图中B点；点；否否则为不稳定的自振荡点则为不稳定的自振荡点，如上图中的，如上图中的A点。点。 若交点处两条曲线若交点处两条曲线几乎垂直相交几乎垂直相交，且非线性环节输出的高，且非线性环节输出的高次谐波分量被线性部分充分衰

53、减，则分析结果是准确的。若两次谐波分量被线性部分充分衰减，则分析结果是准确的。若两曲线在交点处曲线在交点处几乎相切几乎相切，则在一些情况下，则在一些情况下( (取决于高次谐波的取决于高次谐波的衰减程度衰减程度) )不存在自振荡。不存在自振荡。 l 自振荡自振荡振幅和频率的计算振幅和频率的计算 )(1)(ANjG自振自振荡点荡点稳定点的稳定点的输出响应输出响应判断判断稳定性稳定性A、4 4 自振分析自振分析 ( (定量定量) )自振必要条件：自振必要条件：例例1 1 分析系统的稳定性分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。，求自振参数。解解 作图分析，作图分析，系统一定自振。系统一定自振。1)(

54、)( jGAN由自振条件：由自振条件：1)2)(1(104 jjjA)2(3)2)(1(4022 jjjjA2340 A122. 2640 A得：得：比较实比较实/ /虚部虚部：0)2(2 2 1)()( jGAN分析：可以调节分析：可以调节K, t t 实现要求的自振运动。实现要求的自振运动。1)()( jGAN1)2)(1(4 ttjjjKeAMj)2(3422 t t jAMKej)32arctan(54242 141 AM 322. 031arctan93. 910t t K解解代入代入比较模和相角得比较模和相角得例例2 2 系统如右，欲产生系统如右，欲产生 的周期信号的周期信号, ,

55、 试确定试确定K、t t 的值的值。 41A 例例3 3 非线性系统结构图如右图所示，非线性系统结构图如右图所示， 已知：已知：自振时自振时, ,调整调整K使使 。 求此时的求此时的K值和自振参数值和自振参数(A, )以及输出振幅以及输出振幅Ac。(1)(1)(2)(2)定性分析定性分析K增大后自振参数增大后自振参数(A, )的变化规律。的变化规律。 ) 1(818)(1, 2222AAjAAANhM 135)1(2)(ssKsG jAAAN 18)(22 jAAN 18)(12 881112)1(2)(2 jjKjjKjG 解解(1)(1)(2) (2) 依图分析：依图分析： ,AK2 A 6 . 3283927. 081 cAK88 j 例例4 4 非线性系统结构图如右图所示，非线性系统结构图如右图所示， 已知：已知： 时，系统是否自振？时，系统是否自振？ 确定使系统自振的确定使系统自振的K值范围；求值范围；求K=2时的自振参时的自振参数。数。(1)(1) (2) (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。时，分析系统的稳定性。 )(14)()(,) 1(1)(221hAAhAMANsKsGsssG 1)(3 sG解解 先将系统结构图化为典型结构先将系统结构图化为典型结构解法解法II 特征方程法特征方程法 3