《空间两点间的距离公式》教案新人教B版

1、数学：2.4.2空间两点间的距离公式教案（新人教B版必修2）空间两点间的距离公式【情景导入】（多媒体投影） 三楼屋顶有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击 落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达 宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边，若屋的长、宽、高 分别为15米、10米、4.2米，蜂巢能被击落吗？ 【引导】 师：这是一个很有趣的实际应用题， 同学们你能根据题意画 出符合条件的示意图吗？ 生：阅读题目，并作出相应的空间图形。师：好！显然据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图 形中消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点 间的距离与水枪有效射程的大小，这个问题可以通

2、过立体几 何的知识可以解决，但我们想换一种思维即采用代数的方法， 借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点 的距离，我们就可以解决上面的这个实际应用题。这就是我 们这一节将要学习的：（书写课题）空间直角坐标系。【新知探究】【引导】师： 距离是几何中的基本度量， 几何问题和一些实际问题经 常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离， 通过上一节的学习，我们知道建立空间直角坐标系后，空间 中的任一点P与一组有序实数对 （x,y,z）建立了一一对应的 关系，类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空 间两点、间的距离公式吗？ 生：空间两点、间的距离公式为：（由于有前面学习的

3、基础学生完全能借助平面上两点间的距 离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的 距离公式。）师：很好！猜想是我们探索未知世界的一种重要的思维方法， 但终归是猜想只有和严格的数学逻辑思维的证明，这样才算 是一个完整的思维过程。下面我们考虑如何根据两点的坐标 来证明两点间的距离公式为：【引导】师：为了使同学们更好的理解空间两点间的距离公式的推导 过程，我们按照由特殊到一般的思维过程先研究比较简单的 情形。然后再利用类比的方法推广到一般情况。【师生互动】师：如果两点P1、P2是三个坐标平面中的其中一个平面上的任意两点，如何计算这两点之间的距离？它们适合公 式吗？生：作图并分别写出两点P1、

4、P2在三个坐标平面中的 坐标，并思考如何求出两点间的距离。师：巡视指导，并点拔：若两点P1、P2都在平面XOY中，两点的坐标的形式是什么？实质上这两点的距离是否 就是平面上两点两点间的距离，利用两点间的距离公式验证 它是否符合？师：显然平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的 特殊情况，如果P(x,y,z)那么它到坐标原点O的距离如何 求解呢？如图：设点P在XOY平面上的射影是B,则B点的 坐标根据空间中点的坐标的定义是什么？如何在空间立体图 形中求出OP的长？ 生：观察图形通过立体几何知识分析图中的线面关系？ 师：引导学生回顾求解空间中两点间的距离的思想，即将空 间问题最终转化为平面问题

5、，常常在一些平面图形中求解， 如在三角形、梯形中。生：回答教师提出的问题，教师及时纠正学生的错误，并由 学生口述解题过程，教师板书：据题意知点P在平面XOY上的射影B点的坐标是(x,y,o)， 在平面XOY中，由于PB平面XOY故PBOB因此在直角三角 形OBP中，根据勾股定理：因为，所以，这说明，在空间直角坐标系）0-XYZ中，任意一点P（x,y,z）与原点的距离【师生互动】师：如果的长是定值R,则方程表示何图形？ 生：思考并与同桌交流。师：巡视指导，并适时点拔：在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆据此类比方程左端的形式 与我们学习的那个知识相似？它表示的几何意义是什么？在空

6、间中满足条件的点构成什么图形？生：回答，此过程中可能会引起学生的争论，教师要注意正 确的引导。【点拨】师：在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为 的圆，据此，学生不难将此推广到空间，得出表示以原点为 球心，半径为的球面类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式也可以推广到空 间直角坐标系中。即如果，则两点的中点P的坐标为。 师：有了上基础，我们不难将0P的长度推广到空间任意两 点间的距离公式，证明过程如下：（多媒体投影）【点拔】空间两点、间的距离反映在立体几何中，实质上是以、作为 长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长，其中此 长方体的长为，宽为，高为。师：下面我们通过具体例题来说

7、明两点间距离公式的应用。 (多媒体投影)已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值。【引导】师：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方 程即得。生解答并回答解题过程|AB|=6，二即，解得x=1或x=9二x=1或x=9【点拨】 求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形厶ABC是一等腰三角形.解答：由两点间距离公式得：由于，所以ABC是一等腰三角形(多媒体投影)3.点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2,4)， 问满 足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？【引导】师：因点

8、P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与 球面的交线。生：思考并解答（多媒体投影）设点P的坐标为（x, y, z）。点P在坐标平面xOy内，二z=0|PA|=5,即卩=25,点P在以点A为球心，半径为5的球面上，点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的 球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影（-1,2，0）。点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5,在坐标平面xOy内的圆的半径为3。点P的轨迹是圆=9，z=0。【点拔】师： 对于空间直角坐标系中的轨迹问题， 可用平面直角坐标

9、 系中的轨迹问题的求解方法类比解决。（迁移应用一）（多媒体投影）1.已知A（2,5,-6），在y轴上求一点B,使得|AB|=7。【引导】师：注意Y轴上点的坐标的特点。 生：B（0,2，0）或B（0,8，0）。（多媒体投影）2.点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为（1,3,-2），问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程。答案：点P的轨迹方程是=16,y=0。新知探究（二）【引导】学习了空间直角坐标系后，我们就可在空间直角坐 标系中研究空间几何图形的有关问题。用坐标法解决有关立 体几何问题时，与其它方法相比，可以避免烦琐的说理、证 明，因此坐标法在求解有关立体几何问题中有着较广泛的应 用，特别是在

10、学习了向量的有关知识后，如将坐标法与向量 方法相结合，那在研究立体几何问题时将显得更优越。下面 我们通过具体例题来说明它的应用。（多媒体投影）例2.在四面体P-ABC中，PA PB PC两两垂直，设PA=PB=PC=a求点P到平面ABC的距离。【引导】师： 通过前面的学习， 我们可以通过坐标法即用代数的方法 解决几何问题，同学们回想一下坐标法解题的步骤是什么？ 你能否将在平面上解决问题的方法迁移到空间当中去？ 生：坐标法解题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题，第三步：把代数运算

11、结果翻译成几何结论。 师：同学们解答此题，然后教师用多媒体投影： 解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P（0,0，0），A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.过P作PH平面ABC交平面ABC于H,贝UPH的长即为点P到 平面ABC的距离。PA=PB=PC,H为ABC的外心，又ABC为正 三角形，二H为ABC的重心。由重心的坐标公式有：可得H点的坐标为，二|PH|=。点P到平面ABC的距离为。【点拔】（多媒体投影）师：坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：在立体几何 图形中建立空间直角坐标系；依题意确定各相应点的坐 标；通过坐标运算得到答案。迁移应用（二）（多

12、媒体投影）如图在正方体OABC- D1A1B1C的棱长为a, 求MN的长。学生解答，然后教师投影：【知能总结】（学生总结教师点评） 本节课学习的主要内容有:（多媒体投影）（1） 空间中两点间的距离公式及其推导。（2） 球面方程（3） 空间中两点间距离公式的简单应用：应用坐标法解立体几何中的有关问题。教学思想与方法：（1） 培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯。（2） 体会由特殊到一般解决问题的思维方法。作业：P147B组第1题和第3题。附一：板书设计： 课题：空间中两点间的距离公式 一空间中两点间的距离公式的推导。1空间中点P到坐标原点的距离。2任意两点的距离公式。3巩固练习二空间中两点

13、间的距离公式在立体几何中的应用。例题 三小结123作业附二。教学札记：本节课在课堂教学设计中，力求从如下几个方面使课堂教学 达到最优化：1学生参与课堂教学的整个过程，所有知识的生成和问题 的解决都是在教师的适当引导下，由学生探究完成的。让学 生成为课堂教学的主人，教师只起导演的作用，摒弃以教师 为中心的课堂教学观，通过具体的教学过程来看整堂课学生 是不仅全员参与学，而且学生还参与教，把教与学的角色集 于一身。没有学生积极参与的课堂教学，是谈不上开发学生潜能的。而且通过设置 难度适宜的问题和教师的巧妙点拔使学生敢于提出问题、发 表见解，并使学生看问题与见解是否有挑战性与独创性。学 生的主动创造是

14、课堂教学中最令人激动的一道风景，而创造 这样的景观绝非教师一日之功。如在在推导空间两点间的距 离公式时，我并不是直接给出公式而是让学生根据所学的平 面上两点间的距离公式进行大胆的类比猜想，调动了学生的 学习热情，使学生经历一个从易到难，从特殊到一般的过程。 其目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯。 （2）通过将所学知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落 这样一个有趣的问题的导入，增强了讲授的吸引力，因为只 有设好疑，才能促进学生去解疑;惟有激情趣，才能吸引学 生去听、去想、去思考，这样极大的调动了学生学习的热情 和课堂气氛，使课堂上的人际交往产生了良好的合作氛围。 激发了学生探究新

15、知的欲望和合作探究的精神，通过现代技 术的使用提高了教学效率和教学效果。1.1.1构成空间几何体的基本元素教案一、教学目标1、知识与技能目标：掌握空间点、线、面之间的相互关 系以及相互之间的位置关系。2、过程与方法目标：通过让学生探究点、线、面之间的 相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化。3、情感、态度与价值目标：通过用集合论的观点和运动 的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系培养学生会从多 角度，多方面观察和分析问题，体会将理论知识和现实生活 建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣。二、教学重点和难点重点：点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语 言、图示语言之

16、间的相互转化。难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系。三、教学方法和教学手段在上课前将问题用学案的形式发给各组学生，让学生先在课 下研究探讨，在课上以小组为单位就学案中的问题展开讨论 并发表自己组的研究结果，并引导同学展开争论，同时利用 课件给同学一个直观的展示，然后得出结论。下附学生的学 案四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入让同学们观察几个几何体，从感性上对几何体有个初步的认 识，并总结出空间立体几何研究的几个基本元素。 学生观察、讨论、总结，教师引导。提高学生的学习兴趣新课讲解基础知识能力拓展探索研究一、构成几何体的基本元素。点、线、面二、从集合的角度解释点、线、

17、面、体之间的相互关系。 点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面 的子集。三、从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。1、点运动成直线和曲线。2、直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动。3、平行移动形成平面和曲面。4、绕点转动形成平面和曲面。5、注意直线的两种运动方式形成的曲面的区别。6、面运动成体。四、点、线、面、之间的相互位置关系。1、点和线的位置关系。点A2、 点和面的位置关系。3、 直线和直线的位置关系。4、直线和平面的位置关系。5、平面和平面的位置关系。通过对几何体的观察、讨论由学生自己总结。 引领学生回忆元素、集合的相互关系，讨论、归纳点、线、 面之间的相互关系

18、。通过课件演示及学生的讨论，得出从运动学的角度发现点、 线、面之间的相互关系。引导学生由生活中的实际例子总结出点、线、面之间的相互 位置关系，让学生有个感性认识。培养学生的观察能力。 培养学生将所学知识建立相互联系的能力。让学生在观察中发现点、线、面之间的相互运动规律，为以 后学习几何体奠定基础。培养学生将学习联系实际的习惯，锻炼学生由感性认识上升 为理性知识的能力。课堂小结1、学习了构成几何体的基本元素。2、掌握了点、线、面之间的相互关系。3、了解了点、线、面之间的相互的位置关系。由学生总结归纳。培养学生总结、归纳、反思的学习习惯。 课后作业试着画出点、线、面之间的几种位置关系 学生课后研究完成。 检验学生上课的听课效果及观察能力。附：1.1.1构成空间几何体的基本元素学案（一）、基础知识1、几何体：2、长方体：3、长方体的面：4、长方体的棱：5、长方体的顶点：6、构成几何体的基本元素：7、你能说出构成几何体的几个基本元素之间的关系吗？（二）、能力拓展1、 如果点做连续运动，运动出来的轨迹可能是因此点是立体几何中的最基