理论力学导学8刚体平面运动

1、1.内容提要1) 基本概念(1) 平面的分解分解后，要分清三种的刚体的。绝对为平面，牵连为随基点的移动，相对为相对基点的转动。平面 分解为移动与定轴转动图例移动定轴转动yyMjOxOx随基点（移动刚体坐标原点O）的运动绕基点（绕通过O 点，并与平面垂直的轴）的转动平面刚体的 描述x,y为平动坐标xO¢ = xO¢ (t)yO¢ = yO¢ (t)j = j (t)(2) 平面刚体的角速度（角度）不随基点选择不同而改变，即同一瞬时，平面刚体只有一个角速度（角度）。(3) 平面刚体上一点的速度分析在研究刚体平面时，要分清刚体的和刚体上一点的，前者是刚体的，后

2、者是点的，两者不能。在平面中，研究点相对基点的只是单一的圆周。求 上一点速度的三种 基点法速度投影定理速度瞬心法图例vMvMOwOMvOvOvMwqOjM vOvMwMOvO方程vM = vO¢ + vMO¢向二点（基点和研究点）的连线投影，vMO¢ OM (vM )OM = (vO¢ )OM或: vM cos q = vO¢ cos j以速度为零的I点为基点，则相对于基点的速度就是研究点的速度。vM = w ´ IMvO¢ = w IO¢速度瞬心平面刚体上或在其扩展部分，此瞬时速度为零的点，被称为速度瞬心。速度瞬

3、心已知两不平行的速度方位已知两速度方位平行纯滚动速度垂直两点的连线速度不垂直两点的连线wOMvOvM两速度的指向相同A vAB vBIw两速度的指向相反vAAIwvB B瞬时移动A vABvBMvMI1. 平面刚体上一点的度分析wavMO¢t aMaMO¢vMOaaMO¢nO¢因为研究点相对基点只作圆周，故相对度总可以表示为：arMO¢= arMO¢ n+ arMO¢ t式中：aMO¢n= w 2O¢MaMO¢t= aO ¢MaaO¢度定理（基点法）为：rrrrrraM= a

4、O¢ + aMO¢ = aO¢ + aMO¢n + aMO¢t上式表示合度（合矢量）等于各分度（分矢量） 的几何和，同样可类比与合力与分力的。2. 基本要求1) 在平面的速度分析时，基点法是最基本的，应熟练掌握并熟练地画出矢量图。2) 在平面的速度分析时，能根据题意，从求速度的三种中，选择最方便的。3) 在平面的度分析中，熟练地应用基点法，并熟练地画出矢量图。3. 典型例题例1：滑块A以匀速vA在固定水平杆BC上滑动,从而带动杆AD沿半径为R的固定圆盘滑动。试求在图示位置时杆AD的角速度BvAAvEwAE AqCEROvEvAwAD(用vA,R

5、,q表示)。解: 杆AD作平面，点A的速度D已知，点E只能在静止圆弧面上运动，则切线方向（杆的方向）就是点E的速度方向。以点A为基点，研究点E，则画出速度矢量图如图：vE= vA + vEA只有两个未未知量，可列写两个投影大小 ？ ？方位 式，要获得角速度wAD，就必须求出vEA。向线OE方向投影，有0 = -vA sin q+ vEA得vEA= vA sin qw AD= vEAAE= vARsin qtan q手指顺着vEA方向，手心对着基点， 可知角速度为逆。将转向标在图上。虽然基点是任意选择的，但通常以已知速度点为基点。IAEwAE本题也可以用速度瞬心法求解。 已知两点的速度方位，作其

6、垂线即得速度瞬心如图：w=vA=vA= vsin qtan qIAAEAER cot q/ sin qAvEEvAqR此瞬时杆AE绕速度瞬心IAE转动，手指顺着vA方向，手心对着速D度瞬心，wAE为逆，将wAE 标在图上。BACO例2：图示圆轮以匀速沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O的速度为vO，车轮的大、小半径各为R和r。试缘上A,B,D,E各点的速度。vBBvArRvwOOCAEDvD解: 两圆盘固结，就是。滚轮作纯滚动， 与轨道的接触点C就是速度瞬心。则 的角速度为：vEw = vORr各点的速度：vA = w (R- r)= vO ( r-1)R 2 + r 2( R )2 + 1r

7、RvB = vE = w= vOvD = w (R + r)= vO ( r+ 1)此瞬时绕速度瞬心C转动。例3：在图示选矿用的筛中，曲柄O1A以转速n=60r/min绕轴O1转动，并通过连杆AB带动O2B绕轴O2转动。已知O1A=O2B=AB=r=100mm，O1O2=l=40mm。试求机构在下列三个位置时点B的速度：ABnO1O2（1） 当点A在中心线O1O2的左端延长线上时；（2） 当杆AB平行于中心线O1O2时；（3） 当点B在中心线O1O2的右端延长线上时。n解: 曲柄的角速度为：w =30= 2 rad/sv则vAB= wr= 2r mm/sB O1AO2因为只求速度，所以可用速度

8、投影定理。（1）当点A在中心线O1O2的左端延长线上时；vn注意到线AB垂直线O2B。AvA cos 45° = vBv B= v A cos45 ° = 2 r cos45 ° =444mm/s（2）当杆AB平行于中心线O1O2时；vBqqABv B cos q= v Acos qvAnO1O2vB = vA= 2r= 628 mm/s（3）当点B在中心线O1O2的右端延长线上时。vAvBvBcos 45° = vAnAv=2r= 890 mm/sOO1B2Bcos 45°例4： 图示绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为R；在轮上有圆柱部分

9、，其半径为r。将线绕于圆柱上，线的B端以速度vB和度aB沿水平方向 。试求绕线轮轴心O的速度与度。a解: 绕线轮的角速度为：w =vBR - rOORrvawOvB则 vO= wR =Rv R - rBABaBC对上式求导，即得aO =Ra R - rB此瞬时绕线轮的角度为：a = aOR=aBR - r注意轮上点A轨迹为曲线，其切向度与点B的度相等。2例5：图示四连杆机构中，OA=r=60mm，AB=OO1=b= 50 mm，O1B=R=160mm。试求当OAO1B、杆OA的w=3p rad/s， 而角度为零时，杆AB和O1B的角速度和角度以及点B的度。解: 先分析速度。vAA vB速度v

10、平行v ，且不垂直两点连线，wB杆ABABw= 0O为瞬时平动。则AB1OwO1v B= v A = w r = 180w= vB = mm/s方向如图示1.31rad/sO1Raaa+再以点A为基点研究点B，分析度。aa+=rnr tBBrnrnr tABABAr trnBABaaB大小？0？ 方位rnr taaABBABaar trnBBAB向水平方向（x）投影aarnr tAB- a ncos 45° - a tsin 45° =-a ncos 45°式中：n = w 2 raaAv 2= 5402mm/s 2代入得：aa=a t=n = B BR= 202

11、.52 mm/s 22逆O 1+ a再向O1B方向投影 B 2.11 2Rrad/s2cos 45nnB- a n= -a ntcos 45°得： a 2ABAa= a t=AB逆BA 6.752 rad/s 2b( a n ) 2 + ( a t ) 2BB如无特殊要求，点B的度就以切向与法向两个分量表示。a B = 394 2 mm/s2例6：图示滚压机构的滚子沿水平面滚动而不滑动，曲柄OA长r=0.1m，以等转速n=30r/min绕轴O转动。如滚子半径R=0.1m， 连杆AB长l=0.173m。试求当j=60°时，滚子的角速度和角度。wABIAB解: 先分析速度。w

12、= n =30 rad/s则 vA= wrw AB=vAI AB A= wr l tan jvAAwjBv B= w AB I AB B = w rsin jOvBvBw=wB3= .6r2ad/sBrsin jC求出wAB是为了计算 度时要用，若不求度，可用速度投影定理求出vB。aaa=+再以点A为基点研究点B，分析 度。vAA wABarBrnrnr tABABAwjBOvBC大小 ？ ？方位 向AB方向投影a nar t- aB sin j =-anBABABABAa式中：a n=2w 2 r 2wl=AB2rBBanA代入得：l tanjana=BA=w 2 r 2cos 2 j= 0

13、.022 2m/s 2Bsin jl sin 3 jaBa B =R= 2.2 rad/s 2逆 4. 补充习题8-1 滑轮提升装置如图示。已知vA=0.4m/s，vB=0.2m/s，R=20cm。试 O的角速度及物M的速度。w=0.5rad/s，vM=30cm/s。8-2 曲柄连杆机构如图示。已知曲柄OA长r=40cm，连杆AB长l=100cm，n=180r/min。试求q =0°及q =90°时，连杆的角速度及其中点M的速度。q =0°时，wAB=7.54rad/s，vM=377cm/s，q =90°时，wAB=0，vM=754cm/s。8-3 内啮

14、合齿轮机构如图示。已知曲柄OB的角速度w=3rad/s， R=9cm，r=4cm，OA长为2r。试求当曲柄位 位置时，齿轮A 上最低点M（AMOB）的速度。 vM=104.8cm/s。8-4 活塞由具有齿条和齿扇的曲柄机构带动，已知曲柄OA 长r=10cm。试求j =30°，q =2j，w=2rad/s时活塞的速度。 v=34.64cm/s。8-5 土石破碎机构如图示。已知曲柄O1A的匀角速度w=5rad/s，b=200mm。试求当O1A与O2B位、q =30°和j=90°瞬时，钢板CD的角速度。wCD=1.25rad/s。8-6 一机车沿水平轨运行，其速度为vO

15、=15m/s，加速度aO=6m/s2。车轮外半径R=30cm，内半径r=15cm，车轮沿轨道作纯滚动。试求图示位置连杆BC中点A的速度和度。 vA=750cm/s，aA=375m/s2。8-7 机构如图示。已知OA长r=20cm，O1B长为5r，AB与BC 等长为l=120cm。当OA与O1B竖直、wO=10rad/s和aO=10rad/s2时， 试求：（1）点B和点C的速度与度；（2）杆BC的角度。 （1） vB=200cm/s，aBn=400cm/s2，aBt=471cm/s2， vC=vB=200cm/s，aC=aBt=471cm/s2；（2） aBC=3.33rad/s2。8-8 在图示齿轮椭圆规中。齿轮A和曲柄O1A固结为一体， 齿轮C和齿轮A半径均为r，并相啮合。已知AB=O1O2，O1A=O2B=4b，O1A以匀角速度w=0.2rad/s转动，M为轮C上一点，且CM=b=0.1m。试求当CM竖直、j =60°的图示瞬时，点M的速度与度。 vM=0.098m/s，aM=0.013m/s2。8-9 机构如图示。已知杆AC与BC等长为l，点A，B以匀速率v1=v2=v ，q =60°。试求当OACB形成平行四边形时， 点C的度。 aC=0.385v2/l。8-10 机构如图示。已知曲柄OA的转速n=30rad/min，固定齿轮1的齿数Z