暑期班第12讲平面向量的坐标表示与数量积学生版

1、第12讲平面向量的坐标表示与数量积高考要求平面向量平面向量平面向量的相关概念B向量的线性运算向量加法与减法C向量的数乘C两个向量共线B平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理A平面向量的正交分解及其坐标表示B用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C用坐标表示的平面向量共线的条件C平面向量的数量积数量积C数量积的坐标表示C用数量积表示两个向量的夹角B用数量积判断两个平面向量的垂直关系C向量的应用用向量方法解决简单的问题B 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示 2. 掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件 3

2、. 了解向量的线形运算性质及其几何意义 4. 了解平面向量的基本定理及其几何意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件 5. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量数量积与向量投影的关系； 6. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系知识精讲板块一：向量的坐标表示（一）知识内容1向量的正交分解与向量的直角坐标运算： 向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解向量的

3、坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标 在直角坐标系内，分别取与轴和轴方向相同的两个单位向量，这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底，这个基底也叫做直角坐标系的基底对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示 向量的直角坐标运算：设，则；说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标

4、的和与差； 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 若，则向量；一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标2用平面向量坐标表示向量共线条件：设，则就是两个向量平行的条件若向量不平行于坐标轴，即，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例（二）典例分析【例1】 点、，若，试求为何值时，点在一、三象限角平分线上【例2】 如图，已知，求线段的其中一个四等分点的坐标【例3】 若向量与共线且方向相同，求 在直角坐标系中，已知，求证：、三点共线板块二：向量的数量积（一）知识内容 根据力与功的计算，引入向量的数量积运算一个力作用于一个物体，使该物体位移，由于图示的力的方向与位移方向有一个夹角，真正使

5、物体前进的力是在物体唯一方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力做的功即力使物体惟一所做的功可以用计算1. 向量数量积的物理背景与定义 两个向量的夹角：已知两个非零向量，作，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有当时，我们说向量和向量互相垂直，记作 向量的数量积（内积）定义叫做向量和的数量积（或内积），记作，即 可通过下题，讲解向量的数量积的概念及应用 已知，求， 已知，求解： ， ， 若两个向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：已知正的边长为，设，求如图，与、与、与夹角为，原式 向量内积的性质是单位向量，则；，且；，即； 可通过以下判断

6、题，检验学生关于向量垂直条件的掌握情况 对任意向量，有（） 若，则对任一非零向量，有；（） 若，则；（） 若，则至少有一个为零向量；（） 若，则当且仅当时成立；（）2向量数量积的运算律 交换律：； 分配律： 根据向量数量积的性质及运算律，可得到以下公式： 完全平方公式：； 平方差公式：3向量数量积的坐标运算与度量公式 向量内积的坐标运算：建立正交基：，已知， 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： 向量的长度、距离和夹角公式 已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根 如果，则 两个向量夹角余弦的坐标表达式： 向量内积的坐标运算：，得到表达式 在向量垂直条件中，当时，条件，可以写成也就

7、是说，如果，则向量与平行，上式中的是比例系数对任意实数，向量与向量垂直例如，向量与向量，垂直（二）典例分析【例4】 已知，与的夹角为，求； 在中，已知，求【例5】 为非零向量，当的长度取最小值时 求的值； 求证：与垂直【例6】 已知，求证： 已知，求， 已知，若，求、的值【例7】 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角【例8】 （2005年全国理15）的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，求实数的值【例9】 的外接圆的圆心为，且为边上的高，为上的一点，且求证：为的垂心【例10】 如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，求点和向量的坐标【例11】 （2006福建高考）已知向量与的夹角为，则

8、等于（ ）ABCD【例12】 （2004年-重庆理）若向量与的夹角为，则向量的模是（） A2B4 C6D12【例13】 （2007苏北五市调研）已知向量，满足，则与的夹角等于（ ）ABCD【例14】 （2007辽宁高考）若向量与不共线，且，则向量与的夹角为（ ）A0BCD【例15】 已知，与的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值范围【例16】 （2009年陕西高考卷）在中，是的中点，点在上且满足，则等于（ ）ABCD【例17】 （2009高考全国卷）设、是单位向量，且，则的最小值为（ ）ABCD【例18】 （2009年海南，宁夏高考卷）已知，在所在平面内，且，且，则点，依次是的（ ）A重心

9、外心 垂心 B重心 外心 内心C外心 重心 垂心 D外心 重心 内心【例19】 （2009年天津高考卷）在四边形中，则四边形的面积为 【例20】 （2006年陕西高考） 已知非零向量与满足且，则为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形【例21】 已知平面上三个向量、的模均为1，它们相互之间的夹角均为，求证：； 若，求的取值范围【例22】 已知向量，是定义在上的函数，若对所有都成立，求证：；求当取何值时，取到最小值家庭作业习题1. （2006年上海高考）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）A B C D习题2. （2009年山东高考）设是所在平面内的一点，则（ ）A B C D习题3. 已知，且与平行，则等于（ ）AB6CD4习题4. （2004年上海）已知点，若向量与