平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第10讲策略性博弈与纳什均衡)

1、因踵考数育严U KUAKAO EDUCATIONBorn to win经济学考研交流群<<< 点击加入平新乔微观经济学十八讲第 10讲 策略性博弈与纳什均衡跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里 查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书 等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的 经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的 财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进 行咨询。1. 假设厂商 A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数

2、，MCa=10 , MCB =8，对厂 商产出的需求函数是QD =500 -20 p(1) 如果厂商进行 Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？(2) 每个厂商的利润分别为多少？(3) 这个均衡是帕累托有效吗？解：(1)如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是pB =10 一 ；，pA =10 ,其中；是一个极小的正数。理由如下：假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为pA和pB,那么必有Pa30 ,pBK8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，pA和pB都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场

3、， 从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足 Pa岂10 , Pb乞10。但是由于Pa的下限也是10,所以 均衡时Pa =10。给定Pa =10 ,厂商B的最优选择是令 Pb 10 -；，这里；是一个介于0到2 之间的正数，这时厂商 B可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为pA =10 ,pB =10 - * 。(2) 由于厂商A的价格严格高于厂商 B的价格，所以厂商 A的销售量为零，从而利润 也是零。下面来确定厂商 B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者， 它的利润最大化问题 为：maxpq_cq；0其中p =10 - ；，q =500 -20 10 - ；，把这两个式子代入式中

4、，得到：max 10 - ； -8 乩500-20 10 -；解得.；:=0，由于；必须严格大于零，这就意味着；可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：|500-2010 1.10-；。(3) 这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B和消费者可以为额外 1单位的产品协商一个介于 8到10-；之间的价格，那么厂 商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商 A的剩余(因为A的利润还是零)。 (单项选择)在下面的支付矩阵(表10-1 )中，第一个数表示 A的支付水平，第二 个数表示B的支付水平，a、b、c、d是正的常数。如果 A选择“下”

5、而 B选择“右”，985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这t经济学历年考研真题及详解同踵考数育严二J KUAKAO EDUCATIONBorn to win经济学考研交流群<<< 点击加入那么：表10-1 博弈的支付矩阵B左右A1：h'1#£1(1) b.1且d：1(2) c：1 且 b ：:1(3) b：1且c: d(4) b:c且 d：1(5) a ：1 且 b : d【答案】（3）【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，这就意味着c : d ;同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，

6、这就意味着 b ：1 o3史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。（2）如果每一个局中人以 1的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有3一纳什均衡。这个对策的值是什么？解：（1 ）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2 ）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵约翰2313.-3-1 J-1 J2-1,13, -33-1J7,13首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望

7、约翰选择1,从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择 1，则约翰一定会选择 2或者3,从而使自己得到1,而不是-3 o 假设约翰选择2,他期望史密斯选择1或者3,以使得自己得到1 ,而实际上史密斯会选择 2, 使得约翰得到-3 ,等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。 因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。（2）假设均衡时，约翰选择 1、2、3的概率分别为为、x2和1 -人-x2，那么此时史密 斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：3x-i -x2- 1-x2= _X|' 3x2-1 - x - x2=- x2，3 1 - X|-x2从而解得985/2

8、11历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这t经济学历年考研真题及详解同踵考数育严二J KUAKAO EDUCATIONBorn to win经济学考研交流群<<< 点击加入Xif X1-X2 W类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3 。4.假定世界上氟的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氟的需求是Q =1000 -1000 p其中p是每克的价格。(1) 如果所有拥有者合谋控制氟的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？(2) 为什么(1)中计算的价格是不稳定的？(3) 通过改变要求保持市

9、场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氟的价格是多少？解：(1 )所有拥有者合谋控制氟的价格，此时总的利润函数为： 1 二-1 Q QV 1000 .丿利润最大化的一阶条件为：d 二11- Q =0dQ5001解得总供应量为Q =500 (克)。此时p=1 一 1 Q=0.5 ,每个厂商的供应量为 1000500/20 =25 (克)。(2) 对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：525 Tmaxq勺1000根据一阶条件解得：q =262.5可见在其他厂商的供应量为 25克的条件下，厂商 1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对

10、市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。(3) 题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p =MC，得到氟的价格为零。市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为 50克。5在下表所示的策略型博弈(表 10-3 )中，找出占优均衡。 表10-3 博弈的支付矩阵-7、2LR4,36,21M2J8t43,6D3,09,6答：对于行为人2而言，R优于M，所以行为人2将会剔除掉M策略，只在R、L这 两个策略中进行选择； 对于行为人1来说，知道了行为人2会在L、R策略中选择，则U占优于M和D策略。当行为人2知道行为人1选择了 U策略时，他则最终会选择 L策略。所 以，最终的占优均衡为（U , L ）。

11、6 模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、 老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人 同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为 1,输者的效用为-1 ;否则，效用均为0。 写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。答：（1 ）该题的支付矩阵（表 10-4 ）为：表10-4 划拳博弈的支付矩阵游戏者2杆子老虎虫子游戏者】杆子0,0L-i0,0丄老虎7丄0+0oho鸡0,0-1J0,01,-1虫子10,0-1,10,0（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：对两个参与者，给定对

12、方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为 ：P1, P2, P3, P4.'，游戏者2分别选择各个策当游戏者2分别以概率fqqqq 选择四个策略时，游戏者 1的四个策略的收益应该 相等（根据同等支付原则）：1 q-1q =-1q 1 % =-1q21 氐=1 q-1%、 1又因为 q1 q2 ' q3 ' q4 =1，可以得到： q = $ 二q3 二q4 ：4同理，当对于游戏者1分别以概率：P!，P2，P3, P4 选择四个策略时，游戏者2的四

13、个策略 的收益应该相等（根据同等支付原则）：1P2-1P4=1P!1P3h1P21P4=1P-1P3因此混合策略纳什均衡为:又因为P1 P2 P3 ' P4 =1，可以得到:丄1 1 14，4，4，4（5 , °2 ），其中=1 1 1 14，4，4，4 '，还是去低端7.巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的咼端（咼质量）985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这t经济学历年考研真题及详解同踵考数育严U KUAKAO E0UCAT1CNBorn to win经济学考研交流群<<< 点击加入（低质量）。相应的利润由如下收益

14、矩阵（表 10-5 ）给出： 表10- 5 巧克力商的博弈1蔺2低高厂岛'1fit-20t -30100,50050,50（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？（3）合作的结果是什么？（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100, 800）和（900, 600）。（2）如果1选择低，则有 min20,900： - _20 ;如果1选择高，则有 min100,50”.； =50。因此如果1想要最大化它

15、的最小支付，其最优决策为：max 'min -20,900f,min 1100,50=max-20,50j = 50所以1会选择高。类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均 衡结果为（高，高），相应的支付为（50, 50）。（3） 如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低， 高），相应的支付为（900, 600 ）。（4） 厂商1从合作的结果中获得的好处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡 （高，低），厂商1应当给厂商2 一笔800-600 =200的支付。&考虑在c , f , g，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂

16、商可以生产要么大 型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即,对于每一个厂商i , i=c , f , g ,他的行动集合为 Al - SM,LG ?。用一:疥代表i所选择的行动，一:J A，二1 xc,，:g代表厂商i的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：-三，如果：=LG , j =c , f , g ;，如果=SM , j =c , f , g ;:，如果=LG，且'=SM , j 口 ；:-，如果=SM，且"=LG , j - i ;1 ,如果：J " =LG，且屮=SM , j = k=i ；3，如果二，二SM，且：* 二 lG , j =k=i

17、 ；（1）当:W >0时，是否存在纳什均衡？请证明。（2）当： . : .0时，是否存在纳什均衡？请证明。证明：该博弈的支付矩阵如表 10-6和10-7所示。表10-6 G汽车厂生产SM型汽车C汽车厂SMLGF汽乍厂SMLG口良B表10-7 G汽车厂生产LG型的汽车仁汽车厂SMLG胛r i I,LG（1）该博弈存在纳什均衡。首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到 数量为 的利润。因为爲* :右#，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产 品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。如果三个工厂生产不同的产品，比如说J:，：，=：SM,LG,SM

18、 ，因为、:，所以C厂已经获得了它可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F厂生产LG型号的汽车只能获得数量为一：的利润，高于它生产 SM型号的汽车获得的数量为的利润，所以F厂也不会背叛；给定其他厂商的选择，G厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那种情况下，他都只能获得数量为1的利润，所以G厂同样不会背叛。综上可知M,L G,SM是一个纳什均衡。类似的分析表明，只要三个工厂生产不同的产品，就是纳什均衡。（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。分析类似 于第（1）问。9.考虑下列策略型博弈（表10-8 ）:表10-8博弈的支付矩阵BLRu1

19、，-20,0AM-20,0D0,00,0】，l请问，该博弈里有几个均衡？为什么？ 答：（1）该博弈的纯策略均衡为（ D , R ）。（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A分别选择策略U、M和D的概率为p,p2,P3?;设参与人B分别选择策略L、M和R的概率为:q1,q2,q3）;下面分三种情况讨论:985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都在这t经济学历年考研真题及详解区/蹬考数育KUAKAO ECUCAT1ONBorn to win经济学考研交流群<<< 点击加入 达到混合均衡时，如果参与人A分别选择策略U、M和D的概率都严格大于零，那么他选择策略U、M和D

20、的期望收益就要相等，即：q _2q2二2q q2二q3从而解得qi =q2 =円3，矛盾，所以对参与人 B而言，不存在使得qi， q?， q3同时大于 零的混合均衡；对参与人 A也有类似的结论成立。 尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参与人选择某一行动的概率为零的可能。对A而言，在U、M、D三个行动中选择某一行动的概率等于零的情况共有三种可能。对B也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面分别讨论：a. A选择行动D的概率为零，B选择行动R的概率为零，即p3=q3=0，从而得到如表 10-9所示的支付矩阵：表10-9 博弈的支付矩阵LAU-2,1-2J1

21、2达到均衡时，A选择M和U应当得到相同的期望支付，即q2q2 - -2q1 - q2 ,整理得到qi二q?;又因为q3=0，所以qi' q2=1。从而解得q二q?=0.5 ;同理可得Pi二p? =0.5。所以 Iqi =0.5,q2 =0.5,% =0和p =0.5, y =0.5,必=0就是一个混合均衡。b. A选择行动D的概率为零, 在这种情况下，不存在混合均衡。c. A选择行动D的概率为零, 在这种情况下，不存在混合均衡。d. A选择行动M的概率为零, 在这种情况下，不存在混合均衡。e. A选择行动M的概率为零, 在这种情况下，不存在混合均衡。f . A选择行动M的概率为零, 在

22、这种情况下，不存在混合均衡。g. A选择行动U的概率为零, 在这种情况下，不存在混合均衡。h. A选择行动U的概率为零, 在这种情况下，不存在混合均衡。i . A选择行动U的概率为零, 在这种情况下，不存在混合均衡。B选择行动M的概率为零，采用类似于的做法可知, B选择行动L的概率为零，采用类似于的做法可知, B选择行动R的概率为零，采用类似于的做法可知, B选择行动M的概率为零，采用类似于的做法可知, B选择行动L的概率为零，采用类似于的做法可知, B选择行动R的概率为零，采用类似于的做法可知, B选择行动M的概率为零，采用类似于的做法可知, B选择行动L的概率为零，采用类似于的做法可知,综

23、合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：6二'0.5,0.5,0?，匚B =0.5,0.5,0?。 均衡时，如果A选择某两个行动的概率都等于零，即A只能选择一个行动。 这就要求在B的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知， 这一条件并不满足，这样均衡时，B也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。所以A选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理B选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡也是不存在的。综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：q =0.5,q2 =0.5,% =0?禾口 g =0.5, p2 =0.5, p3 = 0：10.考虑如

24、表10-10和10-11所示的策略型博弈表 10-10参与人3选择A时的支付矩阵2LR10,0,10-5, -3,01D-5, -5,01.1, - 5表10-11 参与人3选择B时的支付矩阵2LR1U-2f -2,0-5, -5,01D-5. -5,0-1 f - 1每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者3的得益。游戏者 3的策略是选 A矩阵或选B矩阵。(1) 上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？(2) 如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果？解：(1)上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们分别为( U , L , A )

25、和(D , R , B )。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由 此可以得到这两个纯策略纳什均衡。(2)若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况： 参与人1和2结盟，支付矩阵如表 10-12所示，该博弈的均衡是(DR , B )。表10-12 参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵参与人窘ABUL0,10-4结,/方UR-10,0DL-10,0-00,0DR-吊 参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是(UA , L )和(DB ,R )。表10-13 参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵985/211历年真题解析，答案，核心考点讲义，你想要的都

26、在这t经济学历年考研真题及详解区/蹬考数肓严U KUAKAO EDUCATIONBorn to win经济学考研交流群<<< 点击加入参与人2LRUA10,051 5DA5 5-4,1-5,-5-5, -54,-1 参与人2和3结盟，支付矩阵如表10-14所示，该博弈的均衡是（LA , U ）和（RB ,D ）。表10-14 参与人2和3结盟后博弈的支付矩阵即1LA-5,-5R45 ? - 5丨，-4LB-2,-25 # - 5-5, T-1-4若参与人1和2结盟，博弈的结果只能是（D，R，B ）。由于结果（U , L，A ）对 应的支付对每个人而言都优于（D， R， B ）

27、对应的支付，所以不结盟至少可以使每个人的境况和参与人1，2结盟时一样好，所以不结盟相对参与人1和2而言反而更优。若参与人1和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。若参与人2和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。综合上述分析可知，在这个博弈中，任何两方都不会有结盟的动机。11. 在表10-15所示的策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什（Nash）均衡解？表10-15 博弈的支付矩阵游戏者2LMR游戕者1T丽3,41,22,3D1,30,23,0解：（1）这个博弈没有占优均衡。理由如下：在这个问题中，对于游戏者1而言，T占优于D，因此可以将D排除掉。此时博弈的支付矩阵如表10-16所示。当游戏者1的

28、可选策略只有T和M时，对游戏者2而言，R占优于M，因此可以把M排除掉，此时博弈的支 付矩阵如表10-17所示。至此，用剔除法寻找占优均衡的方法无法继续进行，所以这个博弈没有占优均衡。表10-16 排除掉D以后的支付矩阵游悄E2LR游戏者1T2,01,1矢41忆2,3表10-17 排除掉M以后的支付矩阵游戏者2LR游戏幷1T4*23,42,3（2）纯策略纳什均衡为（M , L），（ T，R ）。由表10-17可知，当游戏者2选择L时, 游戏者1的最优策略为M，当游戏者2选择R时，游戏者1的最优策略是T。同样，当游 戏者1选择T时，游戏者2的最优策略是R，当游戏者1选择M时，游戏者2的最优策略 为

29、L。因此，纯策略纳什均衡为（ M , L），（ T， R），此时游戏者得到的支付为（3，4）， （4， 2）。12. 判断对错，并简要说明理由。（1）占优均衡一定是纳什均衡。（2） 在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。（3）个将军有两个纯策略，要么把所有的部队从陆地运输，要么把所有的部队从海 洋上运输。那么把 1/4的部队从陆地运输，把其余 3/4的部队从海洋运输构成一个混合策 略。答：（1）正确。理由如下：如果在博弈中，每个参与人都有自己的占优策略，这就意味 着对任何一个参与人而言，无论其他参与人的策略如何，该参与人的占优策略对他而言都是 最优的，特别地，

30、当其他的参与人也选择自己的占优策略时，该参与人的占优策略对他还是最优的，根据纳什均衡的定义，可知占优均衡一定是纳什均衡。（2）错误。理由如下：在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么对每个囚犯而言， 坦白将是他的最优选择。如果两个囚犯都这样考虑，那么均衡的结果就是两个人都坦白。（3）错误。因为混合策略是在纯策略集合上确定的一个概率分布，而在本题中，将军 分割军队的决定事实上是扩大了纯策略的集合，即将军的决定仍然是一个纯策略。13. 一个小镇中，有 N个人，每人有100元钱，如果每人都向一个集资箱中捐一笔钱 （可以为零）而共收集到 F元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当 集资被分配时，每人获得 2F /N元，求解这一博弈的均衡。解：假设参与人i的捐款为F，,他的收益为：/,又记F亠二F -F，那么给定F丄二,参与人i的收益为：Fi F _Fi-1 FiFnIn丿 n特别地，是Fi的线性函数，所以:(1) 当N 2时，曽-仁：0,所以参与人i的最优选择是Fi .0。(2) 当N =2时，-_0，所以无论参与人的捐款数量为多少，都不会影响他的收N益，从而Fi e |0:。(3) 当N =1时，-1 .0，这时参与人的捐款数量会趋向于正无穷，即F'-