第六章空间问题解答英语版ppt课件

1、第六章 空间问题的解答主要内容：按位移求解空间问题半空间体受重力及均布压力半空间体在边境上受法向集中力按应力求解空间问题等截面直杆的改动改动问题的薄膜比较椭圆截面杆的改动矩形截面杆的改动6.1 按位移求解空间问题按位移求解空间问题 按位移求解空间问题，是取位移分量为根本未函数。 将几何方程代入物理方程得：)()2(1E)()2(1E)()2(1E)e21(1E)e21(1E)e21(1Exyuxvxwzuzvywzwyvxuxyzxyzzy(6-1)将式(6-1)代入空间问题平衡微分方程得 6.1 按应力求解空间问题按应力求解空间问题XYZ0)ze211()1 (20)ye211()1 (20

2、)xe211()1 (2222ZwEYvEXuE(6-2)0)ze211()1 (20)e211()1 (2222ZwEKruurErrr对于轴对称问题，同样可以得到：(6-3)6.2 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力dzdwzwyvxuezwwvu)(, 0, 0由于对称，任一铅直面均为对称面，那么：由此知根本微分方程6-2前两式自动满足，第三式成为：问题描画：设一半空间体，容重为p=g，在程度边境上受均布压力q，如右图所示，膂力分量为X=0，Y=0，Z=g。0)211()1 (2E2222gdzwddzwd(a)整理上式并积分得：BAzEgw2)()1 (2)21)(1 (

3、b)将上式代入6-1得：0)(),(1xxyzxyzzyAzgAzg(c)由边境条件可得gA=q,那么：BzEgw2)gq()1 (2)21)(1 (又有位移边境条件：0)(hzw)zh(2g)zh(q)1 ()21)(1 (22Ew由此解出B代入得： 6.2 半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力6.3 半空间体受法向集中力半空间体受法向集中力问题描画： 设有半空间体，膂力不计，在程度面上受法向集中力P。 由于是轴对称问题，那么平衡方程简化成如下方式：0ze2110e211222wruurrr应力边境条件为：0)(; 0)(0r , 0zzr0r , 0zz由应力边境条件转化来的平

4、衡方程为：0)2(0Prdrz解上面平衡方程和边境条件得：5253232223,23),(2)21 (3)21 (2RprzRPzzRRRzRpRzrzRRRprzzrzr由此得程度边境上任一点的沉降为：ErPwz)1 ()(20特征：(1) R无穷大时，各应力分量均趋近为0，R趋近为0 时，各应力分量为无穷大 (2) 程度截面上的应力与弹性常数无关。 (3) 程度截面的全应力均指向作用点。 6.3 半空间体受集中力作用半空间体受集中力作用6.4 按应力求解空间问题按应力求解空间问题按照应力求解问题，是取应力分量为根本未知函数。对几何方程求2次导可得：yxxyxzzxyzxy22y22x2zx

5、22x22z222z22y2zyyz以上为一组相容方程，同样的方法可以得到另外一组相容方程：yxyxzxzxzyzyzyxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz2222)(x2)(y2)(x将物理方程代入上述相容方程得：yx)1 (2)xy()xy)(1 (xz)1 (2)zx()zx)(1 (zy)1 (2)yz()yz)(1 (xy222222y22x2zx222222x22z2yz222222z22y2)1(yx)yxz(z)1 ()1(xz)xzy(y)1 ()1(zy)zyx(x)1 (z2zxyzxyy2yzxyzxx2xyzxyz 6.4 按应力求解空间问题按应力求解空间问题

6、将平衡方程简化上式得：)yXxY)(1 (yx)1 ()xZzX)(1 (xz)1 ()zYyZ)(1 (zy)1 (yYxXzZ)2(11z)1 (xXzZyY)2(11y)1 (zZyYxX)2(11x)1 (2xy22zx22yz222z222y222x2 6.4 按应力求解空间问题按应力求解空间问题同时得到：0yx)1 (0 xz)1 (0zy)1 (0z)1 (0y)1 (0 x)1 (2xy22zx22yz222z222y222x2 6.4 按应力求解空间问题按应力求解空间问题满足上述两个相容方程，并满足平衡方程即可求解空间问题的应力解。6.5 等截面直杆的改动等截面直杆的改动柱体

7、改动柱体改动横截面翘曲横截面翘曲自在改动自在改动翘曲不受限翘曲不受限制制约束改动约束改动翘曲遭到限翘曲遭到限制制弹性力学讨论自在改动弹性力学讨论自在改动柱体自在改动计算模型自在改动假设 1. 刚截面假设 2.翘曲假设位移解法根本方程 6.5 等截面直杆改动等截面直杆改动z 单位长度相对改动角 xzvyzu),(yxw022222yx调和方程柱体改动边境条件侧面边境条件侧面边境条件xmylmylx翘曲函数表达端面边境条件困难端面边境条件端面边境条件T=GDj 6.5 等截面直杆改动等截面直杆改动柱体改动应力解法改动应力函数y(x, y)普朗特Prandtl改动应力函数 6.5 等截面直杆改动等截

8、面直杆改动xyyzxz,C2)(, )(xyGxyxGyG2ccon SyxTdd2边境条件侧面侧面端面端面单连域取为06.6 薄膜比较薄膜比较德国力学家普朗特Prandtl 根本思想： 作用均匀压力的薄膜与柱体改动有着类似的微分方程和边境条件 经过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体改动时横截面的应力分布 薄膜比较T22222FqZyZxZ薄膜边境垂度 Z=0 SyxZVdd22薄膜垂度微分方程 薄膜所围的体积调整薄膜的高度， 使2V=T，那么Z=y 薄膜垂度Z与改动应力具有一样的函数方式c0 SyxTdd2C2 6.6 薄膜比较薄膜比较 薄膜曲面可以笼统地描画柱体横截面的改动应力分布薄膜的等高线

9、6.6 薄膜比较薄膜比较0sZ0snssn,0切应力方向沿薄膜等高线切线切应力与等高线法线方导游数成正比切应力与等高线相切切应力线 6.7 椭圆截面杆件改动椭圆截面杆件改动椭圆截面杆件改动应力函数) 1(),(2222byaxmyx) 1(2222byaxabT最大切应力横截面翘曲xbaTyabTyzxz332,24242222byaxabTyzxzbaTabT2min2max2,2xybGabaTyxw3322),( 6.7 椭圆截面杆件椭圆截面杆件改动应力6.8 矩形截面杆件改动矩形截面杆件改动矩形截面杆件改动应力函数构造困难应力解法根本方程为泊松方程任何泊松方程，只需找到它的一个特解，都

10、可以化成拉普拉斯方程。协调方程 特解 G22)(222byG)(),(),(220byGyxyx协调方程侧面边境条件0020c0),(,)(),(,0220bxbybyGyaax 6.8 矩形截面杆件矩形截面杆件)(),(),(220byGyxyx协调方程侧面边境条件0020),(,)(),(,0220bxbybyGyaax设 )()(),(0yYxXyx0 XYYX0022YYXX 6.8 矩形截面杆件矩形截面杆件2YYXXyDxyCYsincosxBxAXsinhcosh根据薄膜比较，应力函数为x和y的偶函数，所以 yxAyxcoscosh),(0协调方程的特解线性迭加就是方程通解 yxA

11、yxnnncoscosh),(00根据边境条件 0coscoshbxAnnn0coshxAn0cosbn)2, 1 ,0(,2)12(nbnn所以 ybnxbnAyxn2)12(cos2)12(cosh),(00 6.8 矩形截面杆件矩形截面杆件根据边境条件根据边境条件)(),(220byGya那么)(2)12(cos2)12(cosh220byGybnabnAn两边同时乘以 yybnd2)12(cos并在-b，b区间积分，可得 aGnbAnnncosh)12(32)1(3321应力函数 )(coscoshcosh)12(32)1(),(2203321byGyaxnGbyxnnnn 6.8 矩形截面杆件矩形截面杆件yaxnbGyyaxnbGnnnnyznnnnxzcoscoshsinh)12(1)1(162sincoshcosh)12(1)1(16022022由端面面力边境条件确定 05543tanh