数学：《函数的单调性与导数》课件

1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数数数形形变量变化的快慢变量变化的快慢一、一、知识回顾知识回顾： 函数的变化率函数的变化率 导导 数数 曲线陡峭程度曲线陡峭程度 函数的变化趋势函数的变化趋势函数单调性函数单调性思考：思考： 刻画函数变化趋势的是否刻画函数变化趋势的是否还有其他还有其他函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f (

2、 x ) 在在G 上是减函数上是减函数；G = ( a , b )导数导数与函数的与函数的单调性单调性有什么关系？有什么关系？讨论函数讨论函数y=x24x3的单调性的单调性. f(x f(x1 1) )f(xf(x2 2)=)=（x x1 12 24x4x1 13 3）（）（x x2 22 24x4x2 23 3） = =（x x1 1+x+x2 2)(x)(x1 1x x2 2）-4(x-4(x1 1x x2 2） = (x= (x1 1x x2 2)(x)(x1 1+x+x2 24 4）二、问题探究二、问题探究解：取解：取x1x2R， 则当则当x x1 1xx2 222时，时， x x1

3、1+x+x2 2404f(x)f(x2 2) )， 那么那么 y=f(x)y=f(x)单调递减。单调递减。 当当2x2x1 1x040， f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )， 那么那么 y=f(x)y=f(x)单调递增。单调递增。综上综上 y=f(x)y=f(x)单调递增区间为（单调递增区间为（2 2，+） y=f(xy=f(x) )单调递减区间为（单调递减区间为（，2 2）。）。函数函数y=x24x3的图象：的图象：2yx0单增区间：（，单增区间：（，+）. .单减区间：单减区间：( (，).).问题探究问题探究2yx0. . . . . . . .再观察函数再观察函数y=xy=

4、x2 24x4x3 3的图象的图象 函数在区间函数在区间（，2 2）上单调）上单调递减递减, ,切线斜率切线斜率小于小于0 0, ,即其导数即其导数为负为负；总结总结: 在区间在区间（2，+）上单调上单调递增递增,切线斜切线斜率率大于大于0,即其导数即其导数为正为正. 一般地，对于给定区间上的函数一般地，对于给定区间上的函数f(x)f(x)，如果对于属于这个区间的任意两，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1xx2 2时，时， 若若f(xf(x1 1)f(x)0(x)0, , 注意注意: :如果在如果在恒有恒有f(xf(x)=0,)=

5、0,则则f(xf(x) )为常数函数为常数函数. .如果如果f f(x(x)0)0,-12x0,解得解得x0 x2x2，则则f(x)的单增区间为（的单增区间为（，0 0）和）和（2 2，）. .再令再令6 6x2-12x0,-12x0,解得解得0 x2,0 x2,则则f(x)的单减区间的单减区间(0,2).(0,2).注注: :当当x=0 x=0或或2 2时时, f, f(x)=0,(x)=0,即函数在该点单即函数在该点单 调性发生改变调性发生改变. . 当当x=xx=x0 0时时, f, f(x(x0 0)=0,)=0,且当且当x xx x0 0与与x xx x0 0时f f(x(x0 0)

6、 )异号，则函数在该点单调性发生改变异号，则函数在该点单调性发生改变. .说明说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间单调区间之间一般不用一般不用 连接，一般分开写连接，一般分开写用用“,”隔开。隔开。求函数求函数 的单调区间。的单调区间。变变1：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。3233yxx 233yxx 63yx 解解：110,022yxyx 令令得得 令令得得233yxx 1( ,)2 的单调递增区间为的单调递增区间为单调递减区间为单调递减区间为1(, )2 解解：2963 (32)yxxxx 2003yxx 令令得得或或2003y

7、x 令令得得3233yxx 的单调递增区间为的单调递增区间为2(,0),( ,)3 五、课堂练习五、课堂练习1、确定下列函数的单调区间。、确定下列函数的单调区间。yxxx32(1)924 ;单调增区间为：（单调增区间为：（4，+）,（-，2）单调减区间为：（单调减区间为：（2，4）单调增区间为单调增区间为：（：（-1，1）单调减区间为单调减区间为：（：（-，- -1）,（1，+）3(2)3.yxx已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状

8、。( )f xABxyo23( )yf x 应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象设设 是函数是函数 的导函数，的导函数， 的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x xyo12( )yf x xyo12( )yf x xyo1 2( )yf x xyo12( )yf x xyo( )yfx 2(A)(B)(C)(D)Ccossin335. ( ,). ( ,2 ). (,). (2 ,3 )2 222yxxxABCD 函函数数在在下下面面哪哪个个区区间间内内是是增增函函数数( ( ) ) 0sin, 0sin, 0),2 ,(, 0sin, 0sinsincos)(coscoscos)cos()sincos(:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy当解B0yx12-1-2单增区间：单增区间：(-，-1)和和