2012年高考数学二轮限时训练函数、导数及其应用3理

1、用心爱心专心-1 -第二部分：函数、导数及其应用(3)(限时：时间 45 分钟，满分 100 分)一、选择题1.函数 f(x)的定义域为开区间(a, b)，导函数 f (x)在(a , b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a , b)内有极小值点的个数为()A.1 B. 2C.3 D. 4【解析】从 f (x)的图象可知 f(x)在(a , b)内从左到右的单调性依次为增减 增 减,在(a , b)内只有一个极小值点.【答案】A2. (2010 年广东高考)设 a R,若函数 y = eax+ 3x, x R 有大于零的极值点，则()A.a 3B.av 3I1C* a - D a

2、0，得参数 a 的范围为 av3.【答案】B用心爱心专心-2 -3. (2012 年福州二模)已知 f(x) = 2x3 6x2+ m(m 为常数)在2,2上有最大值 3,那么此函数在2,2上的最小值是()A. 37 B 29C. 5 D .以上都不对【解析】/f (x) = 6x2 12x = 6x(x 2), f(x)在(2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当 x= 0 时，f(x) = m 最大， m= 3,从而 f( 2) = 37, f(2) = 5.最小值为37.【答案】A4. 若函数 f(x) = x3 3x + a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是()A.

3、( 2,2) B . 2,2C.(a, 1) D.(1 ,+口【解析】 f (x) = 3x2 3 = 3(x + 1)(x 1),且当 xv1 时，f (x) 0 ；当一 1vxv1 时，f (x)v0；当 x 1 时，f (x) 0, 当 x= 1 时 f(x)有极大值.当 x = 1 时，f(x)有极小值，要使 f(x)有 3 个不同的零点.只需八L，解得-2 a 2. 1/(1 f(b)g(x)B.f(x)g(a) f(a)g(x)C. f(x)g(x) f(b)g(b)D.f(x)g(x) f(b)g(a)【解析】 令 y = f(x) g(x),则 y= f (x) g(x) +

4、f(x) g (x),用心爱心专心-3 -由于 f (x)g(x) + f(x)g (x)v0,所以 y 在 R 上单调递减，又 xvb，故 f(x)g(x) f(b)g(b),【答案】C二、填空题6._ 已知函数 f(x) = alnx + x 在区间2,3上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _【解析】Tf(x) = aln x + x,又 f(x)在2,3上单调递增,一+ 1鼻0在xe 2,3上恒成立，Xa(x)max= 2，二 a 2,+).【答案】2,+)7.给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f (x)存在，且导函数 f (x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存

5、在二阶导函数，记f (x) = (f (x).若 f ” (x)v0 在 D 上恒成立，则TT称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个函数在(0,2)上不是凸函数的是 _ .(把你认为 正确的序号都填上)1f(x) = sin x + cos x ;2f(x) = ln x 2x;3f(x) = x + 2x 1;4f(x) = xex.IT【解析】对于，f (x) = (sin x + cos x) , x (0 ,- )时,f (x)v0 恒成立；_ J- *2对于，f ” (x)= 丄，在 x (0 ,)时，f ” (x)v0 恒成立;TT用心爱心专心-4 -对于，f ” (x) = 6

6、x，在 x (0,)时，f ” (x)v0 恒成立；用心爱心专心-5 -7T对于，f ” (x) = (2 + x)ex在 x (0 ,)时 f ” (x) 0 恒成立，所以 f(x) = xex不是凸函数.【答案】 8.将长为 52 cm 的铁丝剪成 2 段，各围成一个长与宽之比为2：1及 3：2的矩形，那么面积之和的最小值为 _.【解析】 设剪成 2 段中其中一段为 x cm，另一段为(52 x) cm，依题意知：令 S= 0,贝yx= 27.,另一段为 52 27= 25.,此时 Smin= 78.【答案】 78三、解答题9.(2011 年福州模拟)甲乙两地相距 400 千米，汽车从甲地

7、匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度 v(千米/小时)的函数关系是P=(1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值.2% 3(52 -%)6+102(52-x)10【解析】用心爱心专心-6 -（2）0=話一5外令 Q = 0,贝 U v= 0（舍去）或 v= 80,当 0vvv80 时，Qv0.当 80vvW100 时，Q 0.2 000v= 80 时，全程运输成本取得极小值，即最小值.，从而Qin= Q(80)=一、元.10.某造船公司年造船量是20

8、 艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x) = 3 700 x + 45x210 x3(单位：万元)，成本函数为 C(x) = 460 x+ 5 (单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x) = f(x + 1) f(x).(1) 求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示：利润=产值成本)(2) 问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3) 求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？32【解析】(1)P(x) = R(x) C(x), = 10 x + 45x + 3 240 x 5 (x N*且 1Wx20);,MP(x)=P(x+1)P(x),=30 x+60 x+3 275(x N*且 1W