例析函数思想在解决数列问题中的应用

1、例析函数思想在解决数列问题中的应用数列是一类定义在正整数集或它的有限子集1,2,3，,n上的特殊函数，当自变量由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值；数列的通项公式an=f（n）是数歹U的第n项an与自变量n之间的函数解析式;数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点。一、用函数观点认识数列数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。对于等差数列an,它的通项公式an=,an可以看作关于n的一次函数（特殊地,公差为0时是常数

2、函数）图像上的离散点;当d0时，前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数的图像上的离散点（特殊地，当公差为。时,Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点）。对于等比数列的通项公式n,前n项和公式的图像是类似于指数函数图像上的离散点。在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征,对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助,同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。二、用函数的方法解决数列问题1.用函数观点研究数列前n项和问题例1.已知数列an的前n项和公式为Sn且S10=100,S100=10试求S110O分析:由于等差数列前n项和的表达式可变形为当dw0时,Sn是

3、n的二次式，所以当d0时，可看成为n的一次函数图象上的离散点,因此也是等差数列。解:已知是等差数列,所以点(10,),(100,),及(110,)三点共线,-110。例2.已知数列an是等差数列，公差dw0,a10,若SK=Sl(Kwl,K,L6N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn取最值时,n的值。分析:由于公差不为0的等差数列的前n的项和可看成为关于n的且常数项为0的二次函数图象上的离散点,因为图象经过原点,且,可判断其图象开口向下,所以可以利用二次函数的对称性求由SK+i的值和Sn取最值时n的值。解:由题意知，可设an的前n项和，其相应的二次函数f(n)=的图像的对称轴是,所以,当k+

4、l为偶数时，时,Sn取最大值，当k+l为奇数时，时,Sn取最小值。2 .用函数观点研究数列的单调性与最值问题单调性和最大(小)值是数列教学的重要内容,分析和解决这一类问题,更需要利用函数的思想方法。大部分学生在理解和接受上有一定障碍,因此在教学中一定要循序渐进,不断渗透。由于数列自变量n的取值为自然数,自然数本身是有序的,因此数列单调性的确定与实数集上的函数合乎单调性的确定虽然在实质上是一致的,但也有一定区别,只需对任意的自然数n,确定相邻两项an与an+1的大小即可。例3.已知2门二中的最大项和最小项。分析:此题直接求an最值很困难,可联系到函数,利用f(x)图像的单调性则可直观顺利地解决本

5、例。解:因为,而上是减函数，又因为，an是f(x)图像上的一些孤立点，所以,a8、a9分别是an的最小项和最大项。例4.已知数列an,若恒成立，求实数a的取值范围。解:因为,-()所以,是递增数列,所以,的最小值是,由题意知:,所以,即为所求的a的取值范围。3 .用函数观点研究数列的周期函数的周期性是函数的一种重要性质,对于任意的定义域)，如果存在一个非零常数T恒有，则称T为f(x)的一个周期,f(x)也就是以T为周期的周期函数。同样对数列an来说，如果对于任意自然数n,存在一个常数，恒有，则称an是以T为周期的周期数列。例5.设数列an中,，且对,=,()成立，试求该数列前100项和S100。分析:从递推式不易求出通项,观察前若干项a1=1,a2=1,a3=2,a4=4,a5=1,a6=1,a7=2,a8=4,a9=1，可猜想它是以4为周期的周期数列。解:由已知条件,对任何自然数N,=,=。两式相减得:因为an+1+an+2+an+3K1,所以，an+4=an(n6N)所以,an是以4为周期数列，又a1+a2+a3+a4=8所以，s100=25X8=200。数列作为一种特殊的函数,与