太原理工大学数值计算方法题库概要

1、太原理工大学数值计算方法题库数值计算方法试题一、 填空题1、如果用二分法求方程 x3 x 4 0在区间 1,2内的根精确到三位小 数，2、需对分( 10)次迭代格式 xk1 xk(xk2 2)局部收敛的充分条件是 取值在222 ,0) (0, 2)2 2 )。3x S(x) 1 ( x 1)3 a(x 1)23、已知 则 a=(3) ， b=( 3)， c=( 1)。 4、 l0(x),l1(x), ,l n ( x)是以整数点 n l k (x)函 数 ， 则 k0k (1) ，n(xk4 xk2 3)lk (x) 4 2 k0 ( x x 3)0 x 1b(x 1) c 1 x 3 是三次

2、样条函数，x0,x1, , xn为节点的 Lagrange 插值基 nxkl j (xk )k 0 (5、设 f (x) 6x7 2x4 3x2 1和节点 xk k/2,k 0,1,2, ,则77! 76 945 236.256和 7 f0 274 。6、5 个节点的牛顿 - 柯特斯求积公式的代数精度为 9， 积公式最高代数精度为 9。7、 k(x) k 0是区间0,1上权函数 (x) x的最高项系数为1 式族，其中 0(x) 1，则 0 x 4(x)dx 0x1 ax2 b18、给定方程组 ax1 x2 b2 ，a为实数，当 a满足 a 1，且02时，SOR迭代法收敛。fx0,x1, ,xn

3、5 个节点的求1 的正交多项9、解初值问题yn01ynhf (xn, yn)ynh2f (x nyn ) f (xn 110aA01aaa1，当 a (y n 1y f (x, y)y( x0 ) y0 的 改 进 欧 拉 法10、设 中 L 为下三角阵， 这种分解是唯一的22当其对角线元素yn 1)是 2阶方法。22 )时，必有分解式 A LLT ，其lii (i 1,2,3) 满足( lii 0 )条件时，太原理工大学数值计算方法题库、选择题1、解方程组 Ax b的简单迭代格式 x（k 1） Bx（k） g收敛的充要条件是2)。1) (A) 1, (2) (B) 1, (3) (A) 1,

4、 (4) (B) 1bnf (x)dx (b a) Ci(n) f (xi )(n)2、在牛顿 -柯特斯求积公式：a i 0 i i 中，当系数 Ci(n)是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 1）时的牛顿- 柯特斯求积公式不使用x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25（1）n 8， （2）n 7， （3） n 10，（4）n 6，3、有下列数表所确定的插值多项式的次数是（ 1）。（1）二次； （2）三次；（3）四次； （4）五次hh2h,yn h4 f(xn,yn)4、若用二阶中点公式yn 1 yn hf (xn求解初值问题y 2y,y（0） 1

5、，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h的取值范围为3）（1） 0 h 2 , （2） 0 h 2 , （3） 0 h 2 , （4） 0 h 2 2三、1、用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.32 解：span1, x 2T 1 1 1 1A 192 252 312 382yT 19.0 32.3 49.0 73.3解方程组 AT AC AT yT 4 3391 173 .6 A T AA T y173 .6其中 3391 3529603 A y 179980 .70.9255577C解得： 0.0501025 所以

6、a 0.9255577 ， b 0.05010251x2、用 n 8的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算 0e dx 时， (1) 试用余项估计其误差。 (2)用 n 8 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。太原理工大学数值计算方法题库解：RTfb12ah2f ( )1 1 02e12 8 21 0.001302768h7T(8)f (a) 2 f(xk) f(b)2 k 111 2 (0.8824969 0.7788008 0.606530660.5352614 0.47236655 0.41686207) 0.367879470.6329434

7、四、1、方程 x3 x 1 0在 x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等 价形式( 1) x 3 x 1对应迭代格式 xn 1 3 xn 1；(2) x 1 x 对应迭 1x n 1 1 3代格式x n ；(3) x x3 1对应迭代格式 xn 1 xn 1。判断迭代格式在 x0 1.5 的收敛性，选一种收敛格式计算 x 1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffensen 迭代法，并 进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。1解：(1) (x) 3(x 1)3 ， (1.5) 0.18 1，故收敛；(x) 1 1(2)2x 1 x ， (1.5) 0.17

8、 1，故收敛；(3) (x) 3x2 ， (1.5) 3 1.52 1，故发散。 选择( 1)： x0 1.5， x1 1.3572， x2 1.3309， x3 1.3259， x4 1.3249 x5 1.32476， x6 1.32472Steffensen 迭代：( (xk) xk )2( (xk) 2 (xk ) xkxk(3 xk 1 xk ) 233 xk 1 1 23 xk 1 1计算结果：x0 1.5 ，x1 1.324899， x2 1.324718有加速效果2、已知方程组 AX f ，其中4324A341f3014，24迭代法的分量形式1) 列出 Jacobi 迭代法和

9、Gauss-Seidel(2 )求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR迭代法太原理工大学数值计算方法题库解： Jacobi 迭代法：x1(k 1) 1 (243x2(k) )4x2(k 1)1 (30 3x1(k)x3(k)2 4 1 3(k 1)1( k)x3( 24x2 )342k 0,1,2,3,Gauss-Seidel 迭代法：x1(k 1) 1 (24 3x(2k)1 4 2x2(k 1) 41 (30 3x1(k 1) x3(k)x3(k 1) 1( 24 x2(k 1)4k 0,1,2,3,BJD 1(L U ) 3403 4 0 0 34 3 4 0(BJ)x1(k

10、 1)(1)x1(k)(243x2(k) )4x2(k 1)(1)x(2k)(30 3x1(k 1)x3(k) )4x3(k 1)(1) x3(k )( 24x2(k 1) )SOR迭代法：4k 0,1,2,3,dx y 1五、1、取步长 h 0.1，求解初值问题y(0) 1 用改进的欧拉法求y(0.1) 的值；用经典的四阶龙格库塔法求 y(0.1) 的值解：改进的欧拉法：yn(0)1 yn hf (xn,yn) 0.9yn 0.1 h (0)yn1 ynf(xn,yn) f(xn 1,yn(0)1) 0.905yn 0.0952所以 y(0.1) y1 1 ；经典的四阶龙格库塔法：y n 1

11、k2k3k4hyn 6 k1 2k2 2k3 k 4 k1f (xn ,yn)hhf (xn, ynk1)22f (xn h ,yn h k2)22f (xn h, yn hk3)k1 k2k3 k4 0 ，所以 y(0.1) y1 12、求一次数不高于 4 次的多项式 p(x) 使它满足p(x0)f (x0),p(x1)f(x1), p (x0)f (x0),p(x1)f(x1),p(x2)f(x2)H3(xi) f (xi)解：设 H3(x) 为满足条件 H3(xi) f (xi) i 0,1的 Hermite 插值多项式，22则 p(x) H3(x) k(x x0) (x x1)代入条件

12、 p(x2) f (x2) 得：太原理工大学数值计算方法题库f (x2) H 3(x2)k2(x2 x0 ) (x2x1)2六、(下列 2 题任选一题， 4 分)1xf (x)dx S(x) Af(0) Bf(1) Cf (0) Df (1) 1,4 试确定参数 A,B,C,D使公式代数精度尽量高； 2,设 f(x) C40,1， 1 推导余项公式 R(x) 0 xf(x)dx S(x)，1、数值积分公式形如23解：将 f (x) 1, x, x2 , x 3分布代入公式得：并估计误差。A 3 ,B 7 ,B20 201 ,D 13020H3(xi ) f(xi)构造 Hermite 插值多项

13、式 H3(x)满足 H3(xi) f (xi ) i 0,1其中 x0 0,x1 1则有：1xH 3(x)dx S(x) ，1f (x) H3 (x) f ( )x2 (x 1)24!R(x) 0x f (x) S(x)dx 0 f (4) ( )4!2、(4)( ) 3 2 x3(x 1)2 dx 4!f (4) ( )f (4) ( )4! 60 14401 3 2 x3(x 1)2 dx用二步法yn10yn 1yn 1 h f(xn,yn) (1 )f(xn 1,yn 1)y f (x, y) y(x0 ) y0 时，如何选择参数 0, 1, 使方求解常微分方程的初值问题 法阶数尽可能高

14、，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 解：h2h3Rn,h y(xn1) yn1 y(xn) hy(xn) 2! y(xn) 3! y (xn)h2h30y(xn) 1(y(xn) hy(xn) 2!y(xn) 3! y (xn)h2h3h y(xn) (1 )(y(xn) hy(xn) h y (xn) h y(4)(xn) 2!3!(1 0 1)y(xn) h(1 1 1)y (xn)2 1 3 1 1 4h2(12211 )y(xn)h3(61611 2)y(xn)O(h4)1 0 1 0101 1 10所以 2 2 105 h3 y (xn ) 主项： 12 n1032该方法是

15、二阶的。太原理工大学数值计算方法题库数值计算方法试题二一、判断题：、若 A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L 和上三角阵 U ，使 A LU 唯一成立。 （）、当 n 8时， Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 （）bn a f（x）dxAi f（xi ）3 、形如i 1的高斯（ Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为 2n 1 。 （）A、矩阵2a00A5、设6、7、10111200a的范数 A 2 。（），则对任意实数 a 0 ，方程组 Ax b 都是病态的。 ）Q Rn n，且有QTQ I（单位阵），则有 A 2 QA2。（用 ） 设 A Rn n

16、 ， （） 区间 a,b 上关于权函数 W（x） 的直交多项式是存在的，且唯一。 （） 对矩阵分解：223100223A4772100b12451a1006A 作如下的 Doolittle8、二、填空题：8 4 21、设 f (x) 9x8 3x4 21x2 10 ，则均差f20,21, ,28 9 8!， f30,31, ,39 0。 设函数 f（x）于区间 a,b 上有足够阶连续导数，xk 1 xk m，a,b 的值分别为 a 2，b 2。（）2、p a,b 为 f(x) 的 f (xk ) f(xk )的收敛阶至少一个 m重零点， Newton 迭代公式 是二阶。、区间 a,b 上的三次

17、样条插值函数 S（x）在 a,b 上具有直到二阶的 连续导数。TA4、向量 X (1, 2) , 矩阵 AX 1 16， cond(A) 90。73 12 ，则太原理工大学数值计算方法题库15、为使两点的数值求积公式：1f(x)dxf (x0) f (x1)具有最高的代数精确度，则其求积基点应为6、设A Rn n，AT A，则 ( A)(谱半径) = A 2 。(此处填小于、 大于、等于)101 1 lim Ak7、设4 2 ，则 lkim A 0。三、简答题：1、 方程 x 4 2 x 在区间 1,2 内有唯一根 x* ，若用迭代公式： xk 1 ln(4 xk)/ln2 (k 0,1,2,

18、 ) ，则其产生的序列 xk 是否收敛 于 x* ？说明理由。解：迭代函数为 (x) ln(4 x)/ln 2(x)114 x ln2114 2 ln22、 使用高斯消去法解线性代数方程组， 一般为什么要用选主元的技术？答： Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素ak(kk) 全不为 0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使det(A) 0，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素 ak(kk )的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘 数绝对值很大， 势必造成舍入误差的严重扩散， 以致于方程组解 的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素( k)

19、 (k)ak(kk) =0或 akk 很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩 大太大而使计算不稳定。3、设 x 0.001 ，试选择较好的算法计算函数值f ( x)1 cos x2x。x4x2n解：2cos x 1 x x ( 1) n2! 4! (2n!)1 cos x2!4 2 n x ( 1) n 1 x 4!(2n!)2 2n 21 x n 1 x f (x) ( 1) n 1 2! 4!(2n!)四、已知数值积分公式为：h h 2 0 f(x)dx h2f(0) f(h) h2f(0) f (h)，试确定积分公式中的参数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：

20、f(x) 1显然精确成立；太原理工大学数值计算方法题库hh2 h 2xdx 0 h h 21 10 2 2 ；3f (x) x 时，h 2h3 h 2 2 hx2dx0 h2h20 2h32h 3 1 2 2 0 h3h20 3h2212h0h4 1 h204h 3h2126 ；f(x) x2 时，3 2 h 12 12 ；h 3 h3 x dxf(x) x3 时， 0 4h x4dx h54 x dxf(x) x4 时， 0 5所以，其代数精确度为3。x00 k 0,1,2五、已知求 a(a 0) 的迭代公式为： 1axkxk 1 2 (x k)证明：对一切 k 1,2, , xk a ，且

21、序列 xk 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。xk1 1(xka ) 1 2 xk aa k 0,1,2证明：2xk 2 xk故对一切 k 1,2, , xk a 。xk 1 1(1 a ) 1(1 1) 1又 xk 2 xk 2所以 xk 1 xk ，即序列 xk 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。f(x)dx 3 f(1) f (2)六、(9 分)数值求积公式 0 2 是否为插值型求积公 式？为什么？其代数精度是多少？解 ： 是 。 因 为 f(x) 在 基 点 1、 2 处 的 插 值 多 项 式 为x 2 x 1p(x) 1x 22 f (1) 2x 11 f(2)33其代数精度为

22、10p(x)dx 3f(1) f (2) 02。七、设线性代数方程组 AX b中系数矩阵 A非奇异， X 为精确解，b 0，若向量 X 是 AX b的一个近似解，残向量 r b AX ，证明估计式：XXrcond ( A)X cond ( A) b (假定所用矩阵范数与向量范数相容)证明：由题意知： AX b,AX b rA(X X ) r X X A 1rX X A 1 r太原理工大学数值计算方法题库又AX b b AX A XX1bA八、设函数 f (x)在区间 0,3 上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 H (x)，并导出 其余项。i012xi01

23、2f (xi )-113f (xi )3解：设 H(x) N2(x) ax(x 1)(x 2)1N2(x) f (0) f 0,1( x 0) f 0,1,2( x 0)(x 1) 1 2x (x 0)(x 1)1H(x) 1 2x x(x 1) ax(x 1)(x 2)所以 21a由 H (0) 3 得： a 41 3 5 2H(x)x3 x 2 3x 1所以 4 4 令R(x) f (x) H(x) ，作辅助函数 g(t) f(t) H(t) k(x)t (t 1)(t 2) 则g(t)在0,3上也具有 4阶连续导数且至少有 4个零点： t x,0,1，2(4)反复利用罗尔定理可得： k(

24、x)， ( g(4)( ) 0)所以R(x) f(x) H(x) k(x)x2(x 1)(x 2)f (4)( )x2(x 1)(x 2)4!九、设 n(x) 是区间 a,b上关于权函数 w(x) 的直交多项式序列， xi(i 1,2, ,n,n 1)为 n 1(x) 的零点， li(x)(i 1,2, ,n,n 1) 是以 xi 为基点的拉格朗日(Lagrange) 插值基函数，b n 1a f(x)w(x)dxAk f (xk )ak1为高斯型求积公式，证明：n1Ai k(xi) j(xi ) 01)当 0 k, j n,k j 时 ， i 1 Ai k(xi) j(xi ) 0 ( 2

25、)太原理工大学数值计算方法题库b n 1 b 2 b lk(x)lj(x)w(x)dx 0 (k j) alk (x)w(x)dx w(x)dx a( 3) k 1bn 1a f (x)w(x)dxAk f ( xk )ak 1证明：形如 式具有 最高代数精度 2n+1次，它对 f (x)取所有次数不超过 2n+1 次的 多项式均精确成立n 1bAi k(xi) j(xi) a k (x) j(x)w(x)dx 0i 1a的高斯( Gauss)型求积公1)li (xj )2)因为 li(x)是 n次多项式，且有 i jbn 1a lk(x)l j(x)w(x)dxAilk(xi)l j(xi)

26、 0所以 ai 123)取 f(x) li2(x) ，代入求积公式：因为 b n 1 2 ali(x)w(x)dxAjli(xj )2 Ai所以 a i j 1 j i j in1 b 2n1blk2(x)w(x)dxAk w(x)dxk 1 ak 1a故结论成立。十、若 f (x)n 1(x) (x x0 )(x x1) (x xn )fx0 ,x1, ,xp 的值， 其中 p n 1。 解：ij j( k j li2)(x)是 2n 次多项式，xi (i0,1, ,n) 互异，求pf (xi )fx0,x1, ,xp p i 0i 0(xi xj )jj i0 f (n 1) ( ) 1

27、(n 1)! 1fx0,x1, ,xn 1、填空题pn数值计算方法试题三(1) 改变函数 f (x) x 1 x ( x 1 )的形式，使计算结果较精10太原理工大学数值计算方法题库(2) 若用二分法求方程 f x 0在区间 1,2 内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分 10 次fx(3)22x1 x2x1x2 ，2x1 则 f xx22x2x1Sx(4)2x3, 0 x 1 x3 ax2 bx c,1 x 2是3次样条函数，则a=3, b=-3 , c=1 。1x(5) 若用复化梯形公式计算0 e dx ，要求误差不超过 10 6，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。x1 1

28、.6x2 1(6) 写出求解方程组 0.4x1 x2 2 的 Gauss-Seidel 迭代公式x1k 1 1 1.6x2k0 1.6k1k 1,k 0,1,x2k 1 2 0.4x1k 1，迭代矩阵为 0 0.64 ，此迭代法是否收敛收敛。54A(7) 设 4 3 , 则 A 9， Cond A 91。(8) 若用 Euler 法求解初值问题 y 10y, y 0 1，为保证算法的绝对稳定，则步长 h 的取值范围为 h0.2二. 1. 写出求方程 4x cosx 1在区间 0,1 的根的收敛的迭代公 式，并证明其收敛性。11 x sin x 144xn1xn141 cosxn ，n=0,1,

29、2, 对任意的初值 x0 0,1 , 迭代公式都收敛。太原理工大学数值计算方法题库2. 以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115的近似值，并利 用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f x 38xfR 115 100 115 121 115 144 3!1 3 5100 2 15 6 29 0.00163683. 求 f x ex在区间0

30、,1 上的 1 次最佳平方逼近多项式。设 x c1 1 x c2 2 x c1 c2x1, 11,2c1f ,12, 12 ,2c2f,21, 1 0dx 1 ，0111, 2 0 xdx 21 2 12, 2 0 x2dx 3，1f , 1 0exp(x)dx e 1，f, 2 0 xexp(x)dx 11 1 2c1e 1c10 .87311 2 1 3c21 ，c21 .690, x 0.8731 1.690xx 4e 10 18 6e x=0.873127+1.69031xI 1 sin x dx4. 用复化 Simpson 公式计算积分 I 0 x dx 的近似值，要求误差限 为 0

31、.5 10 5 。太原理工大学数值计算方法题库S2S1 1 f 0 4f14 2f 12112 f 0 4ff1 0.94608693I S2 0.94608693或利用余项：2468 sin xxxxxf x 1x3! 5! 7! 9!I S 2115 S 2 S10 .3 93 10-52 x4 x9 4!f (4 ) x 1f(4) x155 7 2!5R b a 42880 n 4f (4) 2880 5n50.5 10 5n 2 ， I S25. 用 Gauss列主元消去法解方程组：x1 4x2 2x3 243x1 x 2 5x3 342x1 6x 2 x3 273.0000 1.0

32、000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.00000.0000 1.93759.6875x 2.0000,3.0000,5.0000 T526. 求方程组1 的最小二乘解1 .33332 .00003 6 x1 8AT A x AT b， 6 14 x2 20若用 Householder 变换，则：太原理工大学数值计算方法题库1.73205A,b 003.46410 4.61

33、8800.36603 1.520731.36603 2.520731 .73205003.464104 .618801 . 414212 . 8284300.81650最小二乘解：(-1.33333 ，2.00000) T.7. 已知常微分方程的初值问题：dy dx x y, 1 x 1.2y(1) 2用改进的 Euler 方法计算 y(1.2) 的近似值，取步长 h 0.2。k1f x0, y00.5 ，k2 fx1,y0hk1 1.1 2 0.2 0.50.5238095y1y0 h k1k2 2 0.10.50.5238095 2.10714291 0 2 1 2三在下列 5 个题中至多

34、选做 3 个题)(1) 求一次数不超过 4 次的多项式 p(x) 满足：p1 15，p1 20，p1 30， p2 57，p 2 72差分表：11520115152071152214282573072257p x 15 20 x 1 15 x 1 2 7 x 1 3 x 1 3 x 25 4x 3x2 2x3 x4其他方法：设 p x 15 20 x 1 15 x 1 2 x 1 3 ax b太原理工大学数值计算方法题库令 p 2 57 ， p 2 72 ，求出 a 和 b(2) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式， 并求出其代数精度：1xf x dx A0 f取 f(x)=1,x ，令公式准确成立，得：A11 1