西工大粘性流体力学第一章

1、课程名称：课程名称：粘性流体力学粘性流体力学 使用教材：使用教材： 粘性流体力学，清华大学出版社粘性流体力学，清华大学出版社 章梓雄章梓雄 董增南编董增南编 先修课程：先修课程： 空气动力学基础空气动力学基础 场论与张量分析场论与张量分析讲述内容讲述内容 第一章第一章 粘性流动的基本方程与概念粘性流动的基本方程与概念 第二章第二章 纳维纳维- -斯托克斯方程的解斯托克斯方程的解 第三章第三章 边界层边界层微分方程微分方程 第四章第四章 边界层边界层微分方程的精确解微分方程的精确解 第五章第五章 边界层边界层微分方程的近似解微分方程的近似解 第六章第六章 紊流紊流 第七章第七章 紊流紊流的基本方

2、程的基本方程 第九章第九章 紊动紊动射流与尾流射流与尾流 第十章第十章 圆管圆管紊流紊流 第十一章第十一章 紊流紊流平板边界层平板边界层第一章第一章 粘性流动的基本方程与概念粘性流动的基本方程与概念 粘性流体流动粘性流体流动 粘流发展，流动举例，粘流发展，流动举例，粘性的概念粘性的概念 粘性流体流动的基本方程式粘性流体流动的基本方程式 基本方程式及初始、边界条件，雷诺输运基本方程式及初始、边界条件，雷诺输运方程、第二输运方程，变形速率张量，本方程、第二输运方程，变形速率张量，本构方程构方程 粘性流体的相似率粘性流体的相似率 涡量方程涡量方程1 1 粘性流体流动粘性流体流动 粘性流体力学的发展粘

3、性流体力学的发展1 1、牛顿流体：阻力与流速梯度呈线性关系、牛顿流体：阻力与流速梯度呈线性关系(1687(1687年）年）2 2、理论流体力学：、理论流体力学： EulerEuler方程为基础，理想流体，方程为基础，理想流体，EuLerEuLer于于 17551755年提出年提出 达朗贝尔佯谬：理想不可压流体中物体匀速运动达朗贝尔佯谬：理想不可压流体中物体匀速运动 无阻力无阻力 发展，发展，Laplace, LagrangeLaplace, Lagrange3 3、水力学：高度经验性的流体力学分支学科、水力学：高度经验性的流体力学分支学科 达朗贝尔佯谬工程上不可接受达朗贝尔佯谬工程上不可接受

4、特点：高度经验性特点：高度经验性1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体力学的发展粘性流体力学的发展4 4、Navier-StokesNavier-Stokes方程的提出方程的提出 Navier Navier 和和StokesStokes完成完成 引入分子粘性到引入分子粘性到EulerEuler方程，粘性系数，方程，粘性系数，1821-1821-18451845年年 粘性流体力学的基本方程粘性流体力学的基本方程 特点：非线性、难于数学求解特点：非线性、难于数学求解5 5、普朗特的、普朗特的边界层理论边界层理论 条件：雷诺数很大条件：雷诺数很大 概念：流动分为粘性起作用的边界层和外部理想概念

5、：流动分为粘性起作用的边界层和外部理想流体流动流体流动1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体力学的发展粘性流体力学的发展 特点：降低了粘性流动求解数学困难特点：降低了粘性流动求解数学困难 理论和实验的结合理论和实验的结合 理想流体力学和水力学的结合和统一理想流体力学和水力学的结合和统一 应用：航空工程、造船、化工、机械等领域应用：航空工程、造船、化工、机械等领域6 6、CFDCFD的发展：直接数值模拟（的发展：直接数值模拟（DNSDNS） 大涡模拟（大涡模拟（DES)DES)7 7、实验技术和测试仪器的发展、实验技术和测试仪器的发展 激光多普勒速度仪（激光多普勒速度仪（LDVLDV） 粒

6、子成像速度仪（粒子成像速度仪（PIVPIV）1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体举例粘性流体举例二维圆柱绕流二维圆柱绕流 均匀流体流过半径为均匀流体流过半径为r0r0的二维圆柱，对于不可压理想流的二维圆柱，对于不可压理想流体，体，精确解是均匀流和偶极子的叠加精确解是均匀流和偶极子的叠加，流速分布为，流速分布为 在圆柱表面在圆柱表面 流体与圆柱表面存在滑移速度流体与圆柱表面存在滑移速度2202201sin1cosrrUurrUursin20Uuur1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体举例粘性流体举例二维圆柱绕流二维圆柱绕流 圆柱表面压强由伯努利方程得圆柱表面压强由伯努利方程得 “

7、”表示无穷远处未受扰动流动参数。圆柱表面无量表示无穷远处未受扰动流动参数。圆柱表面无量纲压力系数为纲压力系数为 压力分布也是对称的，压力分布也是对称的，x方向和方向和y方向的合力均为零，方向的合力均为零，没有阻力和升力没有阻力和升力)sin41 (222Upp22sin4121UppCp1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体举例粘性流体举例二维圆柱绕流二维圆柱绕流 理想流体和粘性理想流体和粘性流体压力分布的流体压力分布的比较比较 粘性流体圆柱体粘性流体圆柱体背面背面Cp为负，为负，圆圆柱受到流动方向柱受到流动方向的不为的不为0的合力，的合力，即阻力，称为即阻力，称为压压出阻力出阻力，也称

8、形，也称形状阻力（状阻力（form drag）1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体举例粘性流体举例二维圆柱绕流二维圆柱绕流 粘性流动粘性流动 边界层分离边界层分离 漩涡组成的漩涡组成的尾流区尾流区1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体举例粘性流体举例二维圆柱绕流二维圆柱绕流 尾流区的流动随雷诺数变化而有所不同尾流区的流动随雷诺数变化而有所不同 下图为霍曼下图为霍曼19361936年的实验结果（层流年的实验结果（层流- -卡门涡街卡门涡街- -破碎）破碎）1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：粘性流体举例粘性流体举例二维圆柱绕流二维圆柱绕流 分分4 4个阶段个阶段 相关公式相关公式

9、Re0.5Re0.5时，蠕动，层流边界层；阻力系数服从斯托克时，蠕动，层流边界层；阻力系数服从斯托克斯定律，值很大，斯定律，值很大，阻力与阻力与 成线性成线性；粘性切应力，；粘性切应力，摩擦阻力摩擦阻力 Re5Re5时，层流边界层分离，压差阻力为主时，层流边界层分离，压差阻力为主 Re200Re200时，尾流为卡门涡街，压差阻力占总阻力的时，尾流为卡门涡街，压差阻力占总阻力的90%90%，阻力系数与雷诺数无关，阻力系数与雷诺数无关，阻力与阻力与 平方成正比平方成正比 时，发生所谓时，发生所谓阻力危机（阻力危机（drag cisisdrag cisis）；）；边界层由层流转变为湍流，分离推迟，尾

10、迹区缩小；边界层由层流转变为湍流，分离推迟，尾迹区缩小；压差阻力减小，从而总阻力大大降低压差阻力减小，从而总阻力大大降低 时，阻力系数降至时，阻力系数降至0.30.3 来流湍流度和表面粗糙度高，阻力危机提前发生来流湍流度和表面粗糙度高，阻力危机提前发生dUReAUDCD221U5103Re5105ReU1 粘性流体流动：粘性流体举例粘性流体举例圆管绕流圆管绕流1、理想流动1 粘性流体流动：粘性流体举例圆管绕流2、粘性流动 管壁形成层流边界管壁形成层流边界层层 边界层厚度增加边界层厚度增加 转捩，发展为湍流转捩，发展为湍流边界层边界层 边界层发展到管道边界层发展到管道中心中心 形成充分发展湍流形

11、成充分发展湍流 这一段称为进口段这一段称为进口段1 1 粘性流体流动：粘性流体流动：流体的粘性流体的粘性 粘性：在运动状态下，流体内部质点间或流层间因相对粘性：在运动状态下，流体内部质点间或流层间因相对运动而运动而产生内摩擦力以抵抗剪切变形产生内摩擦力以抵抗剪切变形，这种性质叫粘性。，这种性质叫粘性。是机械能损失的根源，是流体的一个非常重要的性质。是机械能损失的根源，是流体的一个非常重要的性质。 粘性将流体应力和变形速率联系起来粘性将流体应力和变形速率联系起来 平板间粘性流动平板间粘性流动 牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律 为流体的粘性系数，或粘度为流体的粘性系数，或粘度hU1 粘性流体流动：流体

12、的粘性 牛顿剪应力公式（通用形式） （1-7）粘度系数运动粘性系数sPamsN2dydusmmkgsmsmkg/)/(/23221 粘性流体流动：流体的粘性牛顿流体和非牛顿流体2 粘性流动的基本方程式1.2.1 研究流体运动的两种方法 拉格朗日法拉格朗日法: : 跟随流体质点跟随流体质点 去研究流体运去研究流体运 动的方法动的方法 独立变量独立变量，t t 识别流体质点识别流体质点 的标志的标志拉格朗日法拉格朗日法独立变量为独立变量为，t t。 是识别流体质点的标志是识别流体质点的标志在拉格朗日法中，在拉格朗日法中，位置向量位置向量速度向量速度向量加速度向量加速度向量),(),(0321txx

13、xuxx),(),(),(),(22321321321ttuuutxxx2 粘性流动的基本方程式1.2.1 研究流体运动的两种方法 欧拉法欧拉法 着眼于从空间坐标去研着眼于从空间坐标去研究流体运动。究流体运动。 注意：注意：一切流体运动的一切流体运动的力学属性均是流体质点力学属性均是流体质点的属性的属性而不是空间点的而不是空间点的属性属性 流体质点的运动属性为流体质点的运动属性为时间时间t t和空间坐标的函数。和空间坐标的函数。独立变量为独立变量为x(xx(x1 1,x,x2 2,x,x3 3) )和和t t欧拉法：运动属性欧拉法：运动属性F F的变化率的变化率 速度矢量速度矢量 加速度矢量加

14、速度矢量 研究欧拉空间中某运动属性研究欧拉空间中某运动属性F F的变化率，的变化率， 必须跟踪一个固定的流体质点。必须跟踪一个固定的流体质点。F F可为速度、密度、可为速度、密度、温度等。温度等。),(),(ttxxuuxFFFFxFFxFxFtxxtxxtxxtttdtddtdttttxxtxxtxx3,32,21,1213132),(),(),(欧拉法欧拉法: :物质导数、当地变化率、迁移变化率物质导数、当地变化率、迁移变化率 称为称为F F的的物质导数，或随体导数物质导数，或随体导数 是以欧拉空间坐标所表示的流体质点的运动属性对时间的是以欧拉空间坐标所表示的流体质点的运动属性对时间的全导

15、数。应用了全导数。应用了爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定 物质导数的物质导数的向量形式向量形式为为 是是当地变化率当地变化率，由流动的非定常性引起；，由流动的非定常性引起； 是是迁移变化率迁移变化率，由流场的不均匀性引起。，由流场的不均匀性引起。dtdFFuFFFF)(txutdtdiixFFtxxtdtdiijtxij,t FFu)(拉格朗日法和欧拉法的关系拉格朗日法和欧拉法的关系 欧拉法数学上方程式是欧拉法数学上方程式是非线性的非线性的 拉格朗日法加速度项为线性，但应用于流体力学问题很拉格朗日法加速度项为线性，但应用于流体力学问题很困难困难 处理流动问题时，处理流动问题时，采用拉格朗日的观

16、点，而应用欧拉的采用拉格朗日的观点，而应用欧拉的描述方法描述方法 拉格朗日和欧拉两种系统的变换关系拉格朗日和欧拉两种系统的变换关系 引用雅可比行列式引用雅可比行列式 独立变量互换的唯一条件独立变量互换的唯一条件 雅可比行列式的时间导数雅可比行列式的时间导数 , 0)(tJJJxudtdJii)(ujixtJ det)(2 2 粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式1.2.2 1.2.2 雷诺输运方程雷诺输运方程 系统和控制体系统和控制体 系统：系统： 包含着确定不变的流体质点，随流体流动而流包含着确定不变的流体质点，随流体流动而流动动拉格朗日法拉格朗日法 体积和形状变化，体积和形状变化，包含

17、的流体质点不变包含的流体质点不变 控制体：控制体： 空间坐标系中空间坐标系中固定不变的一个体积固定不变的一个体积，流体质点随，流体质点随时间流入和流出该空间体积时间流入和流出该空间体积欧拉法欧拉法 设在流动中取定一个系统，设在流动中取定一个系统，t=t时，系统所占据的空间为时，系统所占据的空间为控制体控制体V(t)。在。在t=t0时系统所占据的空间时系统所占据的空间V0=V(t0)作为识别作为识别这一系统的标志。这一系统的标志。 令令 ， 则则 1.2.2 1.2.2 雷诺输运方程雷诺输运方程用欧拉导数表示一个流体系统的拉格朗日变化率（全用欧拉导数表示一个流体系统的拉格朗日变化率（全导数）导数

18、）321ddd)(dxxxtV3210ddddV0321321ddddddd)(dVJJxxxtV系统所具有的运动要素，如质量、动量或能量，对时间的全导系统所具有的运动要素，如质量、动量或能量，对时间的全导数推导如下。数推导如下。F F代表运动要素代表运动要素( (压力、速度等）的体积分布密度。压力、速度等）的体积分布密度。由高斯公式由高斯公式系统的物质导数也包括非定常性引起的当地变化率和系统的物质导数也包括非定常性引起的当地变化率和系统在空间移动因空间不均匀性引起的迁移变化率系统在空间移动因空间不均匀性引起的迁移变化率输运方程是流体质团（系统）的物质导数输运方程是流体质团（系统）的物质导数V

19、FuVtFVFutFtVtVtVd)(dd)()()()()()()(ddddtStVtVSFVtFFdVtnu2 2 粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式1.2.3 1.2.3 连续方程连续方程- -质量守恒原理质量守恒原理 连续方程是质量守恒在流体运动中的表现形式。系统连续方程是质量守恒在流体运动中的表现形式。系统质量为：质量为： 质量守恒要求质量守恒要求 此即拉格朗日型的积分形式连续方程。应用此即拉格朗日型的积分形式连续方程。应用输运方程输运方程 或或 此即欧拉型的积分形式连续方程。此即欧拉型的积分形式连续方程。 为质量流量为质量流量0dddddd)()(VttmVmtVtV)()(

20、ddtStVSVtnu0d)(ddd)()(VtVttVtVuStVd)(nu连续方程的微分形式与不可压流体的连续方程 V(t)V(t)是任意选取的，因此，是任意选取的，因此， 此为微分形式的欧拉型连续方程式，也可写为此为微分形式的欧拉型连续方程式，也可写为 不可压缩流体，不可压缩流体， ，其连续方程为，其连续方程为 由于由于 ，上式还可写为，上式还可写为 或或0)(ut0ddt0ddut0 u00 u0332211xuxuxu2 粘性流动的基本方程式1.2.4 雷诺第二输运方程 将将 看作某一物理量，应用雷诺输运方程看作某一物理量，应用雷诺输运方程 右侧二、三项可写为，右侧二、三项可写为，

21、，此项为，此项为0 0 此为雷诺第二输运方程。此为雷诺第二输运方程。VFtFtFVFtFVFttVtVtVd)(ddddd)(d)d(ddd)()()(uu)( F)(ddutFVtFVFttVtVdddddd)()(2 2 粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式1.2.5 1.2.5 动量方程动量方程- -动量守恒原理动量守恒原理运动流体微团的运动流体微团的动量动量为为动量守恒要求流体系统动量守恒要求流体系统 动量变化率动量变化率= =全部作用力全部作用力流体运动流体运动作用力作用力 体积力体积力：作用于每一：作用于每一 流体质点流体质点 面积力面积力：固体或液体表面：固体或液体表面通过接

22、触面施加的对另一通过接触面施加的对另一部分流体的作用力，部分流体的作用力，是空是空间坐标间坐标x,x,时间时间t t和外法向和外法向方向方向n n的函数的函数Vmdduu)(dddtVVtFuVf),(),(321321nnnpppnp1.2.5 1.2.5 动量方程动量方程- -动量守恒原理动量守恒原理 流场中某一点、某一刻的面积力，流场中某一点、某一刻的面积力， 定义应力张量为定义应力张量为 面积力表示为张量形式为面积力表示为张量形式为 面积力可以表示为面积外法线单位向量面积力可以表示为面积外法线单位向量n与该点应力张与该点应力张量量的点积的点积3332231133332222112233

23、12211111nnnpnnnpnnnpjjiinpnp333231232221131211ij1.2.5 1.2.5 动量方程动量方程- -动量守恒原理动量守恒原理1.2.5 1.2.5 动量方程：动量方程积分形式动量方程：动量方程积分形式 拉格朗日型积分形式拉格朗日型积分形式动量方程动量方程为为 按照雷诺第二输运方按照雷诺第二输运方程得程得欧拉型积分形式欧拉型积分形式的动量方程的动量方程 也可写为也可写为张量形式张量形式 由高斯公式有由高斯公式有 从而从而动量方程的欧拉动量方程的欧拉型积分形式最终为型积分形式最终为)()()(dddddtStVtVSVVtnfu)()()(dddddtSt

24、VtVSVVtpfu)()()(dddddtSjijtVitViSnVfVtuVxSntStVjjijijdd)()()251 (ddddd)()()(tVjjitVitViVxVfVtu1.2.5 1.2.5 动量方程：动量方程微分形式动量方程：动量方程微分形式V(t)V(t)为任意控制体，得为任意控制体，得微分形式欧拉型动量方程微分形式欧拉型动量方程向量形式为向量形式为物质导数展开后物质导数展开后以以 成连续方程得成连续方程得（1-281-28）+ +（1-291-29）式得）式得)261 (ddjjiiixftu)271 (ddfut)291 (0)(jjixutuiu)281 ( jj

25、iijijixfxuutu)301 ()()(jijijiiuuxftu1.2.5 1.2.5 动量方程：动量方程微分形式动量方程：动量方程微分形式定义定义 ，动量通量张量（为一对称张量），动量通量张量（为一对称张量），（1-301-30）可写为）可写为（自己阅读自己阅读p23-25p23-25）证明应力张量证明应力张量 为对称张量，为对称张量， 即即 掌握掌握 均是对称张量均是对称张量 ijjijiuu)311 ()(futjiijijijjiijuu,2 2 粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式1.2.6 1.2.6 能量方程能量方程- -能量守恒原理（积分形式）能量守恒原理（积分形式

26、）单位体积总能量为单位体积总能量为能量守恒原理能量守恒原理表示为表示为单位时间单位时间外力做功外力做功为为单位时间单位时间传入系统的热量传入系统的热量为，为， （1）体加热）体加热 （2）表面传热）表面传热)()(d)(dtStVSVunuf)(dtVVQVxqStViitSdd)()(nq221ueE传入系统的热量系统做功由外界外力对d)21(dd)(2VuettV1.2.6 1.2.6 能量方程能量方程- -能量守恒原理（积分形式）能量守恒原理（积分形式）应用雷诺第二输运方程，得应用雷诺第二输运方程，得欧拉型能量方程的积分形式欧拉型能量方程的积分形式能量方程的微分形式能量方程的微分形式写为

27、内能的形式写为内能的形式记为张量形式记为张量形式 为应力做的功，为应力做的功， 为双点积形式为双点积形式)381 ()(d)21(ddd)21(dd)(i)()(tViijijiitViitViixqQuxufVuuetVuuet)391 ()(ddddixqQuxuftuuteiijijiiii)411 (ddijxqQxuteiiji)421 (:ddquQteu :2 2 粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式1.2.7 1.2.7 偏应力张量偏应力张量静力学，设静力学，设p p为静压强，仅为坐标为静压强，仅为坐标x x和时间和时间t t的函数的函数，大小与作用面，大小与作用面法线方向

28、无关。面积力与作用面法线方向平行，方向相反，大小法线方向无关。面积力与作用面法线方向平行，方向相反，大小与作用面法线方向无关与作用面法线方向无关 因此因此对于对于理想流体理想流体，不管流动或精止，（，不管流动或精止，（1-441-44）仍成立）仍成立对于对于粘性流动，存在切应力粘性流动，存在切应力，应力张量为，应力张量为 为偏应力张量，为偏应力张量， 为对称张量为对称张量ijjiipnnp)441 ( ijijp)451 ( ijijijpij)461 (100010001333231232221131211333231232221131211pppppijijij1.2.7 1.2.7 偏应

29、力张量偏应力张量应用偏应力张量的能量方程应用偏应力张量的能量方程方程（方程（1-411-41）中）中能量方程改写为能量方程改写为 为为压缩功压缩功。 写为写为 ，为，为非对称张量非对称张量，但是，但是， 为为粘性应力对剪切变形做功粘性应力对剪切变形做功，称为，称为耗散功耗散功，以下式表示以下式表示 恒为正。恒为正。jiijjiijjiijijjiijjijixupxuxupxuxu)()471 (:ddquuQpteu pu:)(21)(21ijjiijijjijiijjiijjijixuxuxuxuxuxuijjixuxuijijjijixuxujiijxuijijijjiijjiijexuxuxu)(212 2 粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式1.2.8 1.2.8 粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式- -总结总结粘性流动的基本方程式粘性流动的基本方程式连续方程连续方程动量方程（动量方程（3个）个）能量方程能量方程状态方程状态方程内能方程内能方程傅里叶热传导公式（傅里叶热传导公式（3个）个） 共共16个变量，个变量，10个方程个方程，需，需本构方程本构方程最后封闭方程。最后封闭方程。0ddut)271 (ddfut)501 (ddquQpteRTpTpf对于完全气体，)511 (0)