正弦和余弦转换

1、公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一的值相等:sin (2k n+ a) = sin aCOS ( 2k n+ a) = COS atan (2k n+ a) = tan aCOt (2k n+ a) = COt a公式二：设 a为任意角，n + o的与 a的三角之间的关系：sin(n+a)= sinaCOS(n+a)= COSatan(n+a)= tan aCOt(n+a)= COt a公式三：任意角 a与 -a的三角函数值之间的关系：sin ( a) = sin aCOs ( a) = COs atan ( a) = tan aCOt ( a) = COt a公式四：禾U用公式二和公式

2、三可以得至Un a与 a的三角函数值之间的关系：sin ( n a) = sin aCOs (na)=COsatan (na)=tanaCOt (na)=COta公式五：利用公式一和公式三可以得到2n a与 a的三角函数值之间的关系:sin (2 n a) = sin acos (2 n a) = cos atan (2 na) = tan acot (2 n a) = cot a公式六：n /2 土与 a 的三角函数值之间的关系：Sin (n /2十 a) = COS aCOS (n /瞥 a) = sin atan (n /2十 a) = cot acot (n /瞥 a) = tan a

3、Sin ( n /2 a) = COS aCOS ( n /2 a) = Sin atan (n /2-a) = cot acot (n /2- a) = tan a诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于kn /2 土 a Z)的个三角函数值， 当k是时，得到 a的同名函数值，即函数名不改变； 当k是时，得到 a相应的余函数值，即sin tcos;cos宀sin;tancot,cottan.(奇变偶不变)然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。(符号看)例如：sin(2 丁 a) si n(4) k = 4 为偶数，所以取 sin a当 a 是锐角时，2n a (270

4、° 360°, sin(2 丁 a* 0,符号为 ”。所以 sin(2 丁 a)= sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把a视为锐角时，角 k 360° + (xk Z) , - a、180°±,a360°- a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 一全正；二；三为切；四这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是牛”；第二象限内只有正弦是牛”，其余全部是 ”；第三象限内只有是牛”，其余全部是 ”；第内只

5、有余弦是牛”，其余全部是 ” 上述记忆口诀，一全正，二正弦，三正切，四余弦其他三角函数知识：同角三角函数基本关系1同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan a 瞅 asin a cscacos a sec a商的关系：sin a /costan a= sec a /CSC acos a /sin =cot o= esc a /sec a平方关系：sin人2( aCOSA2( a=11 + tan 人2( a ) se"2( a)1 + COL2( a= CS“2( a)同角六角形六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接) 构造以”、中切、下割；左正、右余、中间1"的为模型。(

6、1) 倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2) 商数关系：任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。(3) 平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式2.两角和与差的sin (a+份 =sin a cosp cos a sin 3sin ( a B) = sin a cos-g cos a sin 3cos (a+3)=cos a cos# sin a sin 3cos (a3)=cos a cos* sin a sin 3tan (a+3

7、)=(tan a tan 3 )/( tana tan3)tan (a3)=(tan tan 3 )/(1+ tana tan3)3二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式)si n2 a= 2sin a COS aCOS2 a= COS2( a sin 人2( a=) 2cos2( a 1 = 1 2sin 人2( a) tan2 a= 2tan a /(1- tan人2( a )4半角的正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)Sin2( a 毋(1 COS a )/2COS2( a /2卜(1 + COS a )/2tan 人2( a /2 片(1 COS a )/(1+ COS a)5万能

8、公式sin a= 2tan( a /2)/(1+ tan人2( a /2)cos a= (1 tan人2( a /2)”(1+ tan人2( a /2)tan a= (2tan( a /2)/( tan人2( a /2)万能公式推导附推导：sin2 a =2sin a cos a =2sin a COS a /(cos2( a )+sin人2( , a )*(因为 COS2( a )+sin人2( a )=1再把 * 上下同除 cos2( a) 可得 si n2 a= 2ta n a /(* tan 人2( a ) 然后用 a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦

9、比余弦得到。6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a= 3sin a-4sin人3( a)COS3 a= 4cos3( a 3COS atan3 a= (3tan tan人3( a )/(1 3tan2( a )三倍角公式推导附推导：tan3 a= sin3 a /cos3 a=(si n2 a cos*cos2 a sin a )/(cos2 a cOna a sin a)=(2s in a cos2( a)osA2( a )sin sin 人3( a )/(cosA3( cbs a sin 人2( )2sin 人2( a )cos a)上下同除以 COS3( a)得：tan3 a= (3

10、tan tan人3( a )/(13tan2( a)sin3 a= sin(2 a a)= sin2 a cos*cos2a sin a=2sin a cos2( a)(1 2sin人2( a )sin a=2sin 2sin人3( a»sin 2sin人2( a)=3sin a 4sin 人3( a)cos3 a cos(2 O- a 并 cos2 a cos a sin2 a sin a=(2cos2( a a 1)cos a 2cos a sin人2( a=2cos3( a a COS a (2cos a 2COS3( a )=4cosA3( a a 3cos a即sin3 a

11、 3sin oa 4sin 人3( a)COS3 aa 4COSA3( a a 3COS a三倍角公式:谐音、联想正弦三倍角：3元 减4元3角(欠债了(被减成)，所以要 挣钱”音似 正弦”)余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有余”)注意函数名，即正弦的三倍用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。7.三角函数的公式sin a sin a 2sin( a B )/2) cos(B »/2)sin a sin a 2cos( a B )/2)-sia( B a/2)COS a+cos a 2cos( + B )/2) cos a/2)COS acos B=a 2sin( + B )/2)

12、 Sira a/2)8三角函数的公式sin a cos Sin ( a+ B) + sin(a B)COS a s= Bin ( a+ B) sin(a B) 1COS a caBos ( a+ B + cos ( a B)sin a sa COS ( a+ B)cos ( a B)和差化积公式推导 附推导：首先，我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得至Usi n(a+b)+si n(a-b)=2si na*cosb所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若

13、把两式相减，就得至U cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相力口，我们就可以得至U cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得至U ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得至 Usin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：si na*cosb=(si n(a+b)+si n(a-b)/2cosa*si nb=(si n(a+b)-si n(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b 设为 x