线代代数课件王继忠编

1、2022-2-112022-2-12第一章第一章 线性方程组与行列式线性方程组与行列式第二章第二章 矩阵矩阵与线性方程组与线性方程组第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第四章第四章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型第五章第五章* * 线性空间与线性变换线性空间与线性变换2022-2-132022-2-14一二元线性方程组与二阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式22221211212111bxaxabxaxa消去未知数消去未知数2x得得212221121122211baabxaaaa消去未知数消去未知数1x得得211211221122211abbaxaaaa当当021122211a

2、aaa时，时， 得方程组（得方程组（1）的）的惟一惟一解：解：;211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax221111baba=22211211aaaa22211211aaaa2212aa21bbDD1DD2主对角线主对角线副对角线副对角线2022-2-15二行二列的数表：二行二列的数表：22211211aaaa（2）21122211aaaa称表达式称表达式为数表（为数表（2）所确定的）所确定的二阶行列式二阶行列式，记作记作22211211aaaa即即2 , 1; 2 , 1jiaij元素：元素：2112221122211211aaaaa

3、aaai行标：行标：j列标：列标：对角线法则对角线法则特点：特点：（1）两行两列；）两行两列； （2）含两项）含两项(2!)的代数式；的代数式；（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；（4）一正一负。）一正一负。2022-2-16例例1： 求解二元线性方程组求解二元线性方程组1212232121xxxx解：解：1223D, 0743112121D,14121232D,21DDx11, 2DDx22. 3系数行列式系数行列式2022-2-1711 1122133121 1222233221 12223333a xa xa xba xa xa xba

4、 xa xa xb二二三元线性方程组与三元线性方程组与三阶行列式三阶行列式用消元法，当用消元法，当11223323 321221 3323 311321 3222310aa aa aaa aa aaa aa a时时,方程组的解可以表示为方程组的解可以表示为1223323321223323 31323222 31112233233212213323311321322231b a aa aab aa bab aa bxaa aa aaa aa aaa aa a1123323 31213323311321 32312112233233212213323311321322231ab aa bb a a

5、a aaa bb axaa aa aaa aa aaa aa a1122 32321221 32311213222313112233233212213323311321322231aa bb aaa bb ab a aa axaa aa aaa aa aaa aa a2022-2-18定义：三阶行列式定义：三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则322113312312332211aaaaaaaaa特点：特点：（

6、1）三行三列；）三行三列； （2）含六项）含六项(3!)的代数式；的代数式；（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；（4）三正三负。）三正三负。112233233212213323311321322231aa aa aaa aa aaa aa a111213212223313233aaaaaaaaa记记2022-2-1911 1122133121 1222233221 12223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb333231232221131211aaaaaaaaa333232322213121aabaabaab1

7、x2x3x333231232221131211aaaaaaaaa333312322113111abaabaaba333231232221131211aaaaaaaaa332312222111211baabaabaa1;DD2;DD3.DD1112132122233132330aaaaaaaaa由消元法可得：由消元法可得：方程组有惟一解方程组有惟一解2022-2-110计算三阶行列式计算三阶行列式解：解： D1242213421 22 例例2： 312 4)2()4( 411 )2()2(2 )3(2)4( D4 )6( 32 4 8 24 14 练习：000 xyxzyzabcbcacab0,

8、3333.abcabc2022-2-111求解方程求解方程094321112xx解：解：29432111xx23xx418x922x12652xx023.xx或对角线法只适合于二阶或三阶行列式。对角线法只适合于二阶或三阶行列式。【注】【注】例例3：2022-2-112解：解：61233P由由 1,2,n 组成的一个有序数组组成的一个有序数组,称为一个排列称为一个排列 12321nnnPn!n逆序逆序: :按自然序排列，如按自然序排列，如标准次序标准次序: :排列排列 ：2 , 3为一个逆序为一个逆序用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数

9、？三位数？例：例：123； 132；213； 231； 312； 321。123-标准序标准序 132；排列数排列数 -6-6个排列个排列一、排列以及逆序数一、排列以及逆序数 在在 n 个元素个元素的任一排列中，的任一排列中，当某两个元素的先后当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就次序与标准次序不同时，就说有说有1个个逆序逆序.例如：例如：2022-2-113逆序数为奇逆序数为奇 数的排列叫做数的排列叫做奇奇 排列排列。（偶）（偶）（偶）（偶）计算排列的逆序数的方法：计算排列的逆序数的方法：不妨设不妨设 n 个元素为个元素为1至至 n 这这 n 个自然数，个自然数，并规定由小到大为并规定由

10、小到大为标准次序。标准次序。 设设nppp21为这为这 n 个自然数的一个排列，个自然数的一个排列， 考虑元素考虑元素 nipi, 2 , 1 ， 若比若比ip大的大的前面的元素有前面的元素有且排在且排在ipi个，个，就说就说ip这个元素的逆序数是这个元素的逆序数是,i全体元素的逆序数之和全体元素的逆序数之和就是这个排列的逆序数。就是这个排列的逆序数。逆序数逆序数: 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数 1223nnp pp2022-2-114例例4： 求排列求排列6342751和和1342756的逆序数。的逆序数。解：解：3的逆序数的逆序数2的逆序数的逆序/p>

11、21的逆序数的逆序数2的逆序数的逆序数奇排列奇排列偶排列偶排列,13620311)6342751(. 4110200)1342756(2022-2-115练习练习： 求下列各排列的逆序数求下列各排列的逆序数（1）n (n-1) (n-2)3 2 1t =0+1+2+(n-2)+(n-1)2)1( nn（2）1 3 (2n-1) 2 4 (2n-2) 2n t = (n-1)+(n-2)+ +12)1( nn（3）1 3 (2n-3) (2n-1) 2n (2n-2) (2n-4) 2 t = 2+4+6+ +2(n-1)1( nn2022-2-116定理定理1 1： 一个排列中的任意两个元素对

12、换，排列改变奇偶性。证证先证明相邻对换的情形先证明相邻对换的情形设排列为设排列为 laa 1abmbb 1, ba a 的逆序数增加的逆序数增加1, , ba b 的逆序数减少的逆序数减少1, balaa 1mbb 1与与的奇偶性不同的奇偶性不同.balaa 1mbb 1laa 1abmbb 1相邻对换相邻对换mlbbaa,;,11 逆序数不变。逆序数不变。显然显然ba,的逆序数改变：的逆序数改变：而而b 的不变的不变a 的不变的不变6 3 4 2 7 5 1 1 3 4 2 7 5 6 对换对换 相邻对换相邻对换 二、对换二、对换 6 3 4 2 7 5 1 6 3 2 4 7 5 1 20

13、22-2-117定理定理1 1： 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论：推论：标准排列的对换次数为偶数。奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成5 4 2 3 115243(3,5)（奇）（偶）45213(1,4)（奇）次 12m所以这两个排列的奇偶性相反。所以这两个排列的奇偶性相反。总之，总之，次 1m设排列为设排列为laa 1mbb 1abncc 1laa 1abmbb 1ncc 1laa 1mbb 1abncc 1laa 1mbb 1abncc 1laa 1mbb 1abncc 1次m相邻对换相邻对换再证一般情形再证一般情形 2022-2-11833323123222

14、1131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa(1)每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积；每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积；(2)当行标按标准序，则各项的正负号为当行标按标准序，则各项的正负号为321321pppaaa带正号的三项的列标排列是：带正号的三项的列标排列是：123、231、312带负号的三项的列标排列是：带负号的三项的列标排列是：132、213、321偶排列偶排列奇排列奇排列1231231231p p ppppaaa分析：分析：共共3!项项可记为可记为3211pppt312213332112322311aaaaaaaaa 11

15、1213212223313233aaaaaaaaa2022-2-119111212122212nnnnnnaaaaaaaaadetija1 212121nnp ppppnpa aa(1) 含有含有 n! 项的代数和；项的代数和；(2) 每一项每一项nnpppaaa2121都是位于不同行、不同列都是位于不同行、不同列的的n个元素的乘积；个元素的乘积；(3) 各项的符号为各项的符号为1 21np ppdeterminant2022-2-120(1)当当 n = 1时，时，一阶行列式一阶行列式 。aa 注意注意1例例:1(2)n 阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为12121nppp nDaaa

16、nppp21为行标排列为行标排列的逆序数。的逆序数。2022-2-121例例1：计算：计算dcba000000000000000000000000dcbaabcd (4321)( 1)abcd abcd 1 2 3 4123412341p p p pppppa a a a, 11p, 22p. 44p, 33p, 41p, 32p. 14p, 23p2022-2-12200000000abcdDefgh例例2：计算：计算Dacfhadehbdegbcfg解解D是一个是一个4!=244!=24项的代数和项的代数和.,acfh,adehbdeg, bcfg在这在这2424项中项中, ,除了除了其余

17、的项都至少含有一个其余的项都至少含有一个0 0因子因子, ,因而为因而为0.0.这四项之外这四项之外, 上面四项的行标都是按标准序排列上面四项的行标都是按标准序排列,列标依次为列标依次为:1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列其中第一个和第三个是偶排列,第二和第四个是奇排列第二和第四个是奇排列.所以所以2022-2-123111212221122nnnnnnaaaaaDa aaa0上三角行列式上三角行列式展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是1212121.nnp ppppnpaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只

18、有所以不为零的项只有.2211nnaaa11121222000nnnnaaaaaa1211 221nnna aa 11 22.nna aa证证 例例3 由于由于i j时，有时，有 ，则，则 0ija 2022-2-12412, 11, 2121112, 11 , 11, 2222111, 112111000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa同理：同理：次上三角行列式次上三角行列式 12, 11, 21211nnnnnnaaaa2022-2-125作为上三角和次上三角行列式的特例作为上三角和次上三角行列式的特例对角对角行列式行列式 1212; nn 112212 1.n

19、nnn 次对角次对角行列式行列式 2022-2-126例例4 计算计算nnDn00000000100200010001232100010002001!100000000nnnnDnnn 解解 1221!nnn 2022-2-127已知已知 ,1211123111211xxxxxf.的系数的系数求求3x例例5解解 1211123111211xxxxxf 对应于对应于1234112234431a a a a 112233441a a a a3112233441,a a a ax123431122344312a a a ax . 13 的系数为的系数为故故 x含含 的项有两项的项有两项,即即3x含含

20、 的项有两项的项有两项,即即3x含含 的项有两项的项有两项,即即3x2022-2-1285245312314aaaaa4514235231aaaaa4514523123aaaaa例例6：在五阶行列式中，项在五阶行列式中，项应取什么符号？应取什么符号？431521116352141116解：解：应取正号应取正号（1）（2）应取正号应取正号2022-2-129nnniiiniiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211) 1(行列式的定义又可记为：行列式的定义又可记为： 2022-2-130性质性质1 1 行列式与它的转置转置行列式相等，TDD 即即n

21、nnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111转置行列式转置行列式 TD2022-2-131性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。98764253131cc 789246135columnrow49253174349274353121rr 例：例：推论推论 如果行列式有两行（列 )完全相同，则此行列式 等于零。1D行行列列式式为为换换行行，并并设设换换行行以以后后的的1DD D2022-2-132性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一同一数数 k, ,等于用数等

22、于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。例：例：9878613532319878615213推论推论1 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。9478315116公因子可提出推论推论2 2 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零。例例:987642321091476423210推论推论3 3 行列式如果有一行（列）元素为零，则此行列式的值等于零。2022-2-133性质性质4 4 若若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,如：,2122222211111211nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD则 D 等于下列两个行列式之和：n

23、nninnniniaaaaaaaaaaaaD21222221111211.21222221111211nnninnniniaaaaaaaaaaaa2022-2-134 nnpiipiippnpipptaaaaD)(1111npippppptniniaaa1111npippppptniniaaa1111876543642531753642531864642531754364325321753642531754643532例例:2022-2-135例例 计算行列式计算行列式5000114001113011111111112 D解解将行列式按第一列拆开将行列式按第一列拆开:5000114001113

24、011111111112 D5000114001113011111111111 5000014000113001111011111 0 60 60 2022-2-136性质性质5 5 把把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。如nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111jikcc nnnjnnjnjaaaaaaaaa122211111 njnijijikaakaakaa2211k 2022-2-137例：例：987642211987211122rr 022987642211132cc 87 42 11025第一行乘

25、以-2加到第二行上去第一列乘以-2加到第三列上去2022-2-138计算计算3351110243152113D例例1：解解:D12cc 12rr 648072160 33151120435121311120213132rr 72160648011202131234rr 248rr 11202131 10800 1510003445rr 108001120213125000 40145rr 注：计算数字行列式，一个重要的方法就是将其 化为上（下）三角形行列式。2022-2-139解解:D4321rrrr311113111131666661r3111131111311111612rr 111161

26、3rr 14rr 00020200200048计算计算3111131111311113D例例2：nabbbbabbDbbabbbba abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1( .)() 1(1 nbabna2022-2-140dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423212rr 13rr 14rr baabaacbabaadcba373002000343rr abaacbabaadcba00020004a232rr 243rr cbabaacbabaacbabaadcba361036302342320

27、0例例3： 计算计算解：解：D2022-2-14123rr 另解：另解：dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423234rr dcbacbabaadcbacbabaadcba2342320aba 3cba36cbabaadcbacbabaadcba3630cba 230aba 212rr cbabaacbabaadcba36302320cbabaa 0即：自第3行开始，自下往上每行都乘以-1后，加到下一行。2022-2-142dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423234rr 23rr 12r

28、r 34rr 23rr 12rr dcbacba 0aba 3cba36cba 230aba 2 0 ba acbabaadcba0baa3 00baa2 0034rr baacbabaadcba2000a 0 004a34rr 23rr 2022-2-143例例4 设设nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110,det ,det1111211111nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD证明：证明：.21DDD 任何任何n阶行列式总能利用阶行列式总能利用行列式的行列式的行（列）行（列）变换变换化为化为上（下）三角形行列式。上（下）三角形行列式。注注：

29、2022-2-144证：证：对 作行变换r,1D把 化为下三角形行列式：1DkkkpppD11110kkppp2211对 作列变换c,2D把 化为下三角形行列式：2DnnnqqqD11120nnqqq2211nnnnknkkkkqqccqccppp11111111110nnqqq2211.21DD对 的前 k 行作行变换r,D对后 n 列作列变换c,nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD11111111111101D2Dkkppp22112022-2-145例如：例如：1206803297213210002300012 D2312 120032213 )34( )289( .15

30、2022-2-146余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 i 行和行和ija留下的留下的 n-1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，ija记作记作 ；ijM记记 ijjiijMA 1ijA叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式.ija如如 32M,444341242321141311aaaaaaaaa 32A444341242321141311aaaaaaaaa 231 第第j列划去后，列划去后，444342413433312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaD 32a.4443412

31、42321141311aaaaaaaaa 2022-2-14762275332121M6232, 6例如. 6) 1(211221MA代数余子式乘积之和。ijnjijAa 1ijniijAa 1ni, 2 , 1nj, 2 , 1或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则njnjjjjjAaAaAaD 2211例如ininiiiiAaAaAaD 22113DjjjAa2312 232322222121AaAaAa展开按第二行定理定理1 1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的2022-2-148,00212222111nnnnnaaaaaaaD 1111MaD 又又11A 11

32、11111MM 从而从而1111AaD 证证ininiiiiAaAaAaD 2211（先特殊，再一般）（先特殊，再一般）分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。(1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除11a外都是外都是 0 。2022-2-149nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 先将先将 调换到第一行，调换到第一行，ija调换次数为调换次数为 i-1, 再将再将 调换到第一列，调换到第一列，ija调换次数为调换次数为 j-1次，次，nnnjnnjijiaaaaaaa11111100)1( nnnnjnjijjiaaaaaaa111

33、111100) 1() 1( ijijjiMa 112)1()1(ijijjiMa )1(ijijAa (2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 。2022-2-150(3)一般情形一般情形nnnniniinaaaaaaaaaD212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 22112022-2-151例例1：计算：计算05320041400132025271

34、02135解：解： 50532004140013202527102135c53204140132021351252 532414132152111c21312 231 10072066rrrr 108066272101c2022-2-152例例2：计算：计算3351110243152113D解：解：D312cc 35 1031 115110534cc 1100055111111513312rr0550261155526131 4025562022-2-153例例3： 计算计算解解按第一行展开nD2dcdcdcbababaDn20000ddcdcbaba0000000000000121cdcdc

35、bababn000ab12ndD121121nncD a1112022-2-15412nadD121121nncDb12nDbcad222nDbcad121nnnDbcad21Dbcadndcbabcadn 1nbcad nD22022-2-155例例4 计算计算 n 阶行列式阶行列式. 212121nnnnaxaaaaxaaaaxD 解解nnnaxaaaaxaaaax212121nD naaa 1 21000行行减减第第一一行行第第i1, 2 ninaaa211 0 0 1x 0 0 1x x 0 0 1 箭形行列式箭形行列式 1211njjcxc xxxaaan00000021 njjxa

36、11000 njjnxax11将将 Dn 加边加边, 构成一个构成一个n+1阶的行列式阶的行列式0 0 Dx时，时，当当2022-2-156例例5. 证明证明jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD1112112222121111证：证： 用数学归纳法证。 当 n=2 时，21211xxD 12xx jijixx 12显然成立。现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立，2322213213111xxxxxxD 例13xx 12xx 后面减前面Vandermonde行列式行列式23xx 2022-2-157112112222121111 nnnnnnxxxxxxxxx 111101222xx

37、xn1323xxxn12xxxnnn00122xxx133xxx1xxxnn12xx 13xx 1xxn 11312xxxxxxn 223222232232111 nnnnnnxxxxxxxxx 11312xxxxxxn jijinxx 2 jijinxx 1证毕11 nnrxr211 nnrxr112rxr 213rxr 2022-2-1581111111111naaanaaanaaaDnnnnnnn)()()()(例例6nnnnnnnnnaaanaaanaaa)()1()()1(1111)1(1112)1(nnnnnnaanaaanaaana)1()()1()(1111111nijji0)

38、()()(jaia)(ji 2022-2-159jninjijiAaAaAa 2211ininiiiiAaAaAa 2211 0 D ?推论推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即02211jninjijiAaAaAa02211njnijijiAaAaAaji ji 即即 .,0,1ikikDAansisks当当.,0,1jljlDAanssjsl当当和和 2022-2-160证：证：nnnjnjininaaaaaaaa111111行展开按第jjnjnjjjjAaAaAa2211jninjijiAaAaAa 2211nnnininaaaaaa1111

39、1iniaa1 0同理可证列的情形。2022-2-161例例7：设：设,3142313150111253 D解：解：12cc 011511222)1(33 5220113 4 14131211AAAA 41312111MMMM 求求及及 14131211AAAA3142313150111111 31rr 0011313150112022 34rr 001521202 2022-2-162 41312111MMMM41312111AAAA 312 rr 311501121)1( 0 3141313150111251 34rr 311501501 0010313150111251 2022-2-1

40、63n元一次线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnna xa xa xba xa xa xba xaxaxb(1) 对于方程组(1),若 不全为零,则称(1)为; 若 , 即 mbbb,21021mbbb11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax (2) 称(2)为. 2022-2-164n元一次线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(3)如果线性方程组（3）的系数行列式0212222111211nnnnnnaa

41、aaaaaaaD那么，方程组有唯一解：. , , ,2211DDxDDxDDxnn （证略）克莱姆法则克莱姆法则2022-2-165例例1： 解线性方程组解线性方程组. 0674 , 52 2 , 96 3 , 8 5 243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512D212rr 21206031 07513127 7 024rr 12772121357 212cc 232cc 2733. 027 7157032032022-2-16667012150609115822D,10860412520693118123D,27,2707415120903185124D, 311DDx6741 2120 6031 1512 D1D0598=81, 422DDx, 133DDx144DDx2022-2-167如果（3）无解或有两个不同的解，则D=0推论推论nnnnnnnnnnbxaxaxab