2016_2017学年高中数学2.1.2演绎推理学案

1、优质文本2 2. .1.21.2演绎推理演绎推理1.理解演绎推理的意义.(重点)2.掌握演绎推理的根本模式，并能运用它们进行一些简单推理.(难点)3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.(易混点)根底初探教材整理演绎推理阅读教材 P32P33例 1 以上内容，完成以下问题.1.演绎推理(1)含义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规那么得到正确结论的过程，叫做演绎推理.(2)特点：当前提为真时，结论必然为真.2.三段论一般模式常用格式大前提的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P判断(正确的打“，错误的打“)(1)演绎推理一般模式是“三

2、段论形式.()(2)演绎推理的结论是一定正确的.()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()【解析】(1)正确.演绎推理一般模式是“三段论形式，即大前提、小前提和结论.(2)错误.在演绎推理中， 只有“大前提“小前提及推理形式都正确的情况下， 其结论才是正确的.(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.【答案】(1)(2)(3)质疑手记优质文本预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型把演绎推理写成三段论的形式将以下演绎推理写成三段论的形式.(1)一切奇数都不能被 2 整除，75 不能被 2 整除，所以 75 是奇数

3、.(2)三角形的内角和为 180，RtABC的内角和为 180.(3)菱形的对角线互相平分.(4)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列.【精彩点拨】三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果bc，ab，那么ac.其中，bc为大前提，提供了的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.【自主解答】(1)一切奇数都不能被 2 整除.(大前提)75 不能被 2 整除.(小前提)75 是奇数.(结论)(2)三角形的内角和为 180.(大前提)RtABC是三角形.(小前提)RtABC的内角和为 180.(结论)(3)平行四边形的对角线互相平分.

4、(大前提)菱形是平行四边形.(小前提)菱形的对角线互相平分.(结论)(4)数列an中，如果当n2 时，anan1为常数，那么an为等差数列.(大前提)通项公式an3n2，n2 时，anan13n23(n1)23(常数).(小前提)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列.(结论)优质文本1.三段论推理的根据，从集合的观点来讲，假设集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2.演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的.再练一题1.(1)三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这

5、艘船是准时起航的中的“小前提是()A.B.C.D.(2)将推断“假设两个角是对顶角，那么这两个角相等，所以假设1 和2 是对顶角，那么1 和2 相等改写三段论的形式.【解析】(1) 大前提为，小前提为，结论为.【答案】D(2)两个角是对顶角，那么这两个角相等，大前提1 和2 是对顶角，小前提1 和2 相等.结论演绎推理的应用证明f(x)x3x在 R R 上为增函数，并指出证明过程中所运用的“三段论.【精彩点拨】可利用函数单调性定义证明.【自主解答】在 R R 上任取x1，x2，且x10.因为f(x)x3x，所以f(x2)f(x1)(x32x2)(x31x1)(x32x31)(x2x1)(x2x

6、1)(x22x2x1x211)(x2x1)x2x12234x211，因为x2x12234x2110，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)x3x在 R R 上是增函数.优质文本在证明过程中所用到的“三段论：大前提是“增函数的定义，小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义，结论是“f(x)是增函数.1.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了表达的简洁，如果前提是显然的，那么可以省略.2.数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理， 即一连串的三段论， 关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.

7、再练一题2.如图 2110 所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，BFDA，DEBA，求证：DEAF.写出“三段论形式的演绎推理.图 2110【证明】同位角相等，两直线平行，(大前提)BFD和A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFAE.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DEAF.(结论)探究共研型合情推理与演绎推理的综合应用探究 1我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列，请你给出“等

8、积数列的定义.【提示】如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究 2假设an是等积数列，且首项a12，公积为 6，试写出an的通项公式及前n项和公式.优质文本【提示】由于an是等积数列，且首项a12，公积为 6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇数项都等于 2，所有偶数项都等于 3，因此an的通项公式为an2，n为奇数，3，n为偶数.其前n项和公式Sn5n2，n为偶数，5n1225n12，n为奇数.探究 3甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去

9、过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 A，B，C 三个城市中的哪一个？【提示】由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市，说明甲去过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市，说明乙去过城市 A，由此可知，乙去过的城市为 A.如图 2111 所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.图 2111(1)求证：O为BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜测此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.【精彩点拨】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为BCD的

10、重心.(2)先利用类比推理猜测出一个结论，再用演绎推理给出证明.【自主解答】(1)证明：ABAD，ACAD，AD平面ABC，ADBC，又AO平面BCD，AOBC，ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可证CDBO，优质文本O为BCD的垂心.(2)猜测：S2ABCS2ACDS2ABDS2BCD.证明如下：连接DO并延长交BC于E，连接AE，BO，CO，由(1)知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EOED，12BCAE212BCEO12BCED，即S2ABCSBOCSBCD.同理可证：S2ACDSCODSBCD，S2ABDSBODSBCD.S2ABCS2ACDSABD

11、SBCD(SBOCSCODSBOD)SBCDSBCDS2BCD.合情推理仅是“符合情理的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).再练一题3.命题：“假设数列an是等比数列，且an0，那么数列bnna1a2an(nN N)也是等比数列.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：假设数列an是等差数列，那么数列bna1a2ann也是等差数列.证明如下：设等差数列an的公差为d，那么bna1a2annn

12、a1nn1d2na1d2(n1)，所以数列bn是以a1为首项，d2为公差的等差数列.构建体系优质文本1.演绎推理中的“一般性原理包括()已有的事实；定义、定理、公理等；个人积累的经验.A.B.C.D.【解析】 演绎推理中的“一般性原理包括“已有的事实“定义、 定理、 公理等.【答案】A2.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么AB180B.某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人，由此得出高三所有班级中的人数都超过 50 人C.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D.在数列an中，a11，a

13、n12an11an1(n2)，通过计算a2，a3，a4猜测出an的通项公式【解析】A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理.【答案】A3.用三段论证明命题：“任何实数的平方大于 0，因为a是实数，所以a20，你认为这个推理()【导学号：37820013】A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的【解析】这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于 0，小前提是“a是实优质文本数，结论是“a20.显然结论错误，原因是大前提错误.【答案】A4.函数y2x5 的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_；小前提：_；结论：_；【答案】一次函数的图象是一条直线函数y2x5 是一

14、次函数函数y2x5 的图象是一条直线5.用三段论的形式写出以下演绎推理.(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)ycosx(xR R)是周期函数.【解】(1)因为矩形的对角线相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的对角线相等.结论(3)因为三角函数是周期函数，大前提而ycosx(xR R)是三角函数，小前提所以ycosx(xR R)是周期函数.结论我还有这些缺乏：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评学业分层测评( (四四) )(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.(2016保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为()A.由金、银、铜

15、、铁可导电，猜测：金属都可导电B.猜测数列112，123，134，的通项公式为an1nn1(nN N)优质文本C.半径为r的圆的面积Sr2，那么单位圆的面积SD.由平面直角坐标系中圆的方程为(xa)2(yb)2r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(xa)2(yb)2(zc)2r2【解析】A，B 为归纳推理，D 为类比推理，C 为演绎推理.【答案】C2.ABC中，A30，B60，求证：ab.证明：A30，B60，AB，ab，画线局部是演绎推理的()A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【解析】 结合三段论的特征可知， 该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边，因此画线局部是演绎推理的小

16、前提.【答案】B3.“因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylog13x是对数函数(小前提)，所以ylog13x是增函数(结论).上面推理错误的选项是()A.大前提错导致结论错B.小前提错导致结论错C.推理形式错导致结论错D.大前提和小前提都错导致结论错【解析】大前提ylogax是增函数错误，当 0a1 时，函数ylogax是减函数.【答案】A4.在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点， 那么有EFBC， 这个问题的大前提为()【导学号：37820014】A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EFCB【解析】三段论中的大前提是指一个的一

17、般性结论，此题中指：三角形的中位线平行于第三边，应选 A.【答案】A5.定义运算“ 为：ababa2b2，假设 1m3，那么m的取值范围是()A.(2，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(1，2)优质文本【解析】依题意，1m3，即m1m23，整理得m2m20，解得2mBC，CD是AB边上的高，求证：ACDBCD.图 2112证明：在ABC中，因为CDAB，ACBC，所以ADBD，于是ACDBCD.那么在上面证明的过程中错误的选项是_(填序号).【解析】由ADBD，得到ACDBCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角，小前提是“ADBD，而AD与BD不在同一三角形中，故错误.【答案】

18、三、解答题9.用三段论证明通项公式为ancqn(c，q为常数，且cq0)的数列an是等比数列.优质文本【证明】设an1，an是数列中任意相邻两项，那么从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列，(大前提)因为an1ancqn1cqnq(常数)，(小前提)所以an是等比数列.(结论)10.a0 且函数f(x)2xaa2x是 R R 上的偶函数，求a的值.【解】由于f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)对xR R 恒成立，即2xaa2x2xaa2x，所以1a2xa2x2xaa2x，整理得a1a(2x2x)0，必有a1a0.又因为a0，所以a1.能力提升1.(2016海淀区模拟)下面是一段“三段论推理过程：假设函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，那么在(a，b)内，f(x)0 恒成立.因为f(x)x3在(1，1)内可导且单调递增，所以在(1，1)内，f(x)3x20 恒成立.以上推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误【解析】f(x)在(a，b)内可导且单调递增，那么在(a，b)内，f(x)0 恒成立，故大前提错误，选 A.【答案】A2.设是 R R 内的一个运算，A是 R R 的非空子集.假设对于任意a，bA，有abA，那么称A对运算封闭.以下数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四那