第4章各态历经性与随机实验

1、第4章 各态历经性与随机实验2022-2-12目录4.1 各态历经性各态历经性4.2 参数的估计与测量方法4.3 随机模拟方法与实验4.4 简单随机数的产生方法2022-2-13为什么要研究各态历经性？ 要得到随机过程的统计特性，需要观察大量的样本函数； 求统计平均的试验工作量很大，处理方法也很复杂； 随机信号具有各态历经性时，对统计特性的测量与实验只需要在其一个样本函数上进行即可。2022-2-14 各态历经性的定义各态历经性的定义：在一定条件下，随机信号的任何一个样本函数的时间平均（观察时间足够时间平均（观察时间足够长）长），从概率意义上趋近于或等于统计平均值趋近于或等于统计平均值（或集平

2、均）（或集平均），称为各态历经性(Ergodicity)(或埃尔哥德性或遍历性)。1,( )2TTTAX tX tdtE X tT4.1 各态历经性2022-2-15各态历经性或遍历性的理解各态历经性或遍历性的理解 随机过程的各样本函数都同样经历了随机随机过程的各样本函数都同样经历了随机过程的各种可能状态，或者说彷佛过程的各种可能状态，或者说彷佛“遍历遍历”信号的全部状态；信号的全部状态； 从随机过程的任何一个样本函数都可以得从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息；到随机过程的全部统计信息； 任何一个样本函数的特性可以充分代表整任何一个样本函数的特性可以充分代表整个随机过

3、程的特性。个随机过程的特性。2022-2-16名称分类依据基本特征均值各态历经信号均值样本统计平均样本时间平均相关函数各态历经相关函数样本统计相关函数样本时间相关函数一阶分布各态历经一阶概率分布一阶概率分布一阶分布时间平均各态历经性的分类各态历经性的分类2022-2-17 如果随机信号的所有参数都具有各态历经性，则称该信号为严格（或狭义）各态历经的。 如果随机信号的均值和相关函数同时具有各态历经性，则称该信号为广义各态历经的或广义遍历的，简称为各态历经的或遍历的。严格各态历经和广义各态历经严格各态历经和广义各态历经2022-2-18各态历经过程或遍历过程的实际应用各态历经过程或遍历过程的实际应

4、用 l 一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经(或遍历)过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间不可能无限长，只要足够长即可。l 例如，测量接收机的噪声，用一般的方法，需要在同一条件下对数量极多的相同接收机进行测量和记录，然后用统计方法计算出所需的数学期望、相关函数等数字特征，对输出噪声做长时间记录，然后用统计方法计算数字特征。若利用随机过程的各态历经性，则只要一部接收机，在环境条件不变的情况下，对输出噪声做长时间记录，然后用求时间平均的方法求出数字特征。2022-2-19各态历经（或遍历）过程与平稳过程的关系各态历经（或遍历）过程

5、与平稳过程的关系l 各态历经(或遍历)过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是各态历经（或遍历）的。l 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性l 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。2022-2-110( )( );E X tx t f x t dx实验数据:（一段）样本函数X(t,) 121212,;,XRx x f x x tt dx dx 均值和相关函数为：随机信号的统计均值和统计相关函数随机信号的统计均值和统计相关函数2022-2-111由随机信号的某一样本函数X(t,)测量均值EX(t)=m(t) ,1,2TTTAX tX tdtT称为局部时间平均，当T足够大，上

6、式趋于EX(t)。 12TTTAdtT均值各态历经性均值各态历经性其中 ， 称为局部时间平均算子。当T时，上式变为全局时间平均（或算术平均）。 1limlim2TTTTTAAdtT，称为全局时间平均算子。1,lim,lim,2TTTTTA X tAX tX tdtT2022-2-112 ,1P E X tA X t均值各态历经性是指：等价于(1) EX(t)=m（常量），称该信号均值平稳；(2) VarAX(t,)=0, 即时间平均只取一个固定值。物理含义：只要观测的时间足够长，每个样本函物理含义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的所有状态，因此，从任一样本数都将经历信号的所有状

7、态，因此，从任一样本函数中可以计算出其均值。函数中可以计算出其均值。2022-2-113定义定义如果它依概率如果它依概率1收敛于集合均值，即收敛于集合均值，即则称则称X(t)均值具有各态历经性或遍历性。均值具有各态历经性或遍历性。则称则称X(t)自相关函数具有各态历经性或遍历性自相关函数具有各态历经性或遍历性 。如果它依概率如果它依概率1收敛于集合自相关函数，即收敛于集合自相关函数，即TTTdttXTtXtXA)(21lim)()(TTTXdttXtXTtXtXtt)()(21lim)()(),(XmtXEtXtXA)()()()()()()()(),(XXRtXtXEtXtXtt为时间均值，

8、为时间均值， 定义时间自相关函数为：定义时间自相关函数为：时间平均和时间相关函数的其他表示符号时间平均和时间相关函数的其他表示符号2022-2-114 lim0,0CC 且 1lim02TTTCdT 221lim1022TTTCdTT定理4.1 若实信号X(t)广义平稳，协方差函数为C()，则其均值具有各态历经性的判断条件如下。充分条件：充要条件：充要条件：2022-2-1151,lim,21NNnNA X nX nN对于离散随机序列，时间平均由下式计算。其均值各态历经性的判断条件与连续随机信号相仿。例如，如果 ，则X(n)是均值各态历经的。 lim0mC m2022-2-116 1lim2T

9、TTA X tCdtCT222,ccR ttE Cm常量 cE X tE Cm常量例例 4.1 随机信号随机信号X(t)=C，其中，其中C为某随机变量为某随机变量(C的方差不为零的方差不为零)，讨论其均值各态历经性。，讨论其均值各态历经性。解：X(t)的均值和相关函数分别为：故X(t)为广义平稳信号。但是即AX(t)为一随机变量，虽然均值为mc，但方差不为0，故X(t)不是均值各态历经的。2022-2-117例例4.2 设随机信号设随机信号X(t)=A+n(t)，其中，其中A为常量，为常量，n(t)是白噪声，且是白噪声，且Rn()=q()。讨论其均值的各。讨论其均值的各态历经性。态历经性。解：

10、因为白噪声的均值为零，又因为 CX()=Rn()=q()，利用定理4.1的条件, 判定X(t)的均值是各态历经的。 022121limlimlimTqdqTdCTTTTTTTT2022-2-118( ),( , )1P E X tX tA X tX t 1,( , )lim(, )2TXXTTE A X tX tRtt dtRT 相关函数各态历经性指X(t)满足：EX(t+)X(t)与t无关，表示为R()，则相关函数各态历经性等价于：RX(t+,t)=RX()，即该信号的相关函数是平稳的；VarAX(t+,)X(t,)=0, 即时间平均以概率1取一个确定函数。2022-2-119定理定理4.2

11、 若实信号若实信号X(t)广义平稳，相关函数为广义平稳，相关函数为RX()，其相关函数各态历经性的充要条件为，其相关函数各态历经性的充要条件为: 2201lim102TZXTuRuRduTT其中Z(t)=X(t+)X(t)， RX()=EZ(t) 。2022-2-120对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数 连续，则此过程具有各态历经性或遍历性的充要条件为)(XRdRX0)(注意：注意：判断一个平稳过程是否各态历经或遍历的，我们判断一个平稳过程是否各态历经或遍历的，我们总是先假设其是各态历经或遍历的，然后看是否满足定总是先假设其是各态历经或遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率

12、义要求（即时间平均以概率1 1等于统计平均），一般不等于统计平均），一般不用两个判别定理。用两个判别定理。 2022-2-121 00111( )Tt TTtE X ts tdsdsdTTT常量 011,() ()() ( )Tt TXXtRtts ts tdssdRTT例例4.3 设设S(t)是一个周期为是一个周期为T的函数，随机变量的函数，随机变量在在0,T)上均匀分布，称上均匀分布，称X(t)=s(t+)为随机周期函数。例如，为随机周期函数。例如，X(t)=acos(w0t+)。试讨论。试讨论X(t)的平稳性及各态历经性。的平稳性及各态历经性。解：(1)分析平稳性。令=t+，因为s(t)

13、的周期为T，它在任一周期内的积分相等，则利用s()s(+)关于是周期为T的函数，故X(t)为广义平稳随机信号。2022-2-122（2）分析各态历经性。011,lim()()21( )( )LTLLTA X ts tdts tdtLTsdE X tT 001,lim() ()211() ()() ( )1() ( )LLLTTTXA X tX ts ts tdtLs ts tdtssdTTssdRT 因为时间平均等于统计平均，故X(t)的均值和相关函数都是各态历经的。2022-2-123000cossin1( )limcoslim02TTTTaw TA X taw tdtTw T2200001()( )limcoscoscos22TTTaA X tX taw tw twdtwT 设随机过程设随机过程X(t)=acos(w0t+)，其中，其中a,w0为常数，为常数，是在区间是在区间(0,2)上均匀分布的随机变量，讨论上均匀分布的随机变量，讨论X(t)的各态历经性。的各态历经性。补充例1解：由于EX(t)=AX(t), EX(