第三节有效数字

1、例：用米尺测量物体的长度例：用米尺测量物体的长度 L1= L2=3.4 3.45 6 5 6 3.4 3.4定义：在测量结果的数字表示中，定义：在测量结果的数字表示中，由若干位可靠数字加一位可疑数由若干位可靠数字加一位可疑数字，便组成了有效数字。字，便组成了有效数字。显然有效数字的最后一位是误差第一位显然有效数字的最后一位是误差第一位. .上述例子中的测量结果均为三位上述例子中的测量结果均为三位有效数字有效数字 1.1.关于关于“0”0”的有效问题的有效问题. .当当“0”0”在数字中间或末尾时有在数字中间或末尾时有效效如：如：cm.041225020m.A.0001、等中的等中的0均有效。均

2、有效。注意注意：不能在数字的末尾随便加不能在数字的末尾随便加“0”0”或减或减“0”0”8500. 2850. 285. 2数学上：数学上：物理上：物理上：8500. 2850. 285. 2这是因为误差所在位不同，既准确度是不同的这是因为误差所在位不同，既准确度是不同的.1.1.关于关于“0”0”的有效问题的有效问题. .小数点前面的小数点前面的“0”0”和紧接和紧接小数点后面的小数点后面的“0”0”不算作有效不算作有效数字数字如：如： 0.123cm 、 0.0123dm 、0.00123m均是均是3位有效数字。位有效数字。注意：注意：进行单位换算时，有效进行单位换算时，有效数字的位数不变

3、数字的位数不变.(.(指十进制指十进制) )2.2.数值的科学记数法数值的科学记数法数据过大或过小时，可用科学表达式数据过大或过小时，可用科学表达式某电阻值为某电阻值为2000020000（欧姆），保留三位有效数（欧姆），保留三位有效数字时写成字时写成 2.002.00 10104 4 又如数据为又如数据为0.0000325m0.0000325m，使用科学记数法写成，使用科学记数法写成3.253.25 1010-5-5m m这种指数形式的书写法称为科学记数法。这种指数形式的书写法称为科学记数法。注意注意:只要其指数不大于只要其指数不大于20或小于或小于-20，通过合理换，通过合理换算单位，数据

4、表达式更简单，可读性好。算单位，数据表达式更简单，可读性好。如如:2.00*104HZ写成写成20.0KHZ，1.23*10-9m写成写成1.23nm3.3.有效数字与仪器的关系有效数字与仪器的关系 2020分度游标卡尺分度游标卡尺 L=2.525cmL=2.525cm （四位有效数字）（四位有效数字）螺旋测微计螺旋测微计 L=2.5153cmL=2.5153cm （五位有效数字）（五位有效数字）米尺米尺 L=2.52cm L=2.52cm （三位有效数字）（三位有效数字）有效数字的位数有效数字的位数 测量值测量值本身大小、仪器的准确度本身大小、仪器的准确度4.4.误差和不确定度的有效位数误差

5、和不确定度的有效位数1.已定的系统误差（比如零差）及相应的相对已定的系统误差（比如零差）及相应的相对误差、修正值具有若干位可靠数字和一位可疑误差、修正值具有若干位可靠数字和一位可疑数字。数字。 如：重力加速度测量值如：重力加速度测量值 ，公认值，公认值为为 ，则绝对误差是，则绝对误差是 已定的系已定的系统误差，为三位有效数字，相对误差统误差，为三位有效数字，相对误差 也是已定的，为三位有效数字。也是已定的，为三位有效数字。 2m/s856 . 9g2792m/s. 920.107m/sg1.10%gE2.偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对不确偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对不确定度等

6、，所有位数都是可疑的，没有可靠位数，只定度等，所有位数都是可疑的，没有可靠位数，只有可疑位数，都是一位有效数字。实际应用中，为有可疑位数，都是一位有效数字。实际应用中，为了减少计算误差，一般用了减少计算误差，一般用两位可疑数字两位可疑数字数字表示，数字表示，但有效位数但有效位数仍是一位仍是一位。 决定决定N的有效位数的有效位数)(单位 NN210010cma. cmb0100220. 2m/s) 1 . 09 . 9(g2m/s)14. 087. 9 (g（1 1）用米尺测长度）用米尺测长度读数的一般规则：读数的一般规则：如果误差不知道或不明确时，可读至仪器最小分度如果误差不知道或不明确时，可

7、读至仪器最小分度的下一位；如果误差已知，读至产生误差的那一位。的下一位；如果误差已知，读至产生误差的那一位。注意注意:在申明了误差大小的情况下，也可以多读一位。在申明了误差大小的情况下，也可以多读一位。当物体长度在当物体长度在2424与与2525之间时，之间时， 读数为读数为24.X24.X当读数正好为当读数正好为2424时读数为时读数为24.024.0被测物体（1 1）用米尺测长度）用米尺测长度（2 2）用）用0.10.1级量程为级量程为100mA100mA电流表测电流电流表测电流 读数的一般规则：读数的一般规则：如果误差不知道或不明确时，可读至仪器最小分度如果误差不知道或不明确时，可读至仪

8、器最小分度的下一位；如果误差已知，读至产生误差的那一位。的下一位；如果误差已知，读至产生误差的那一位。仪仪= 100mA= 100mA0.1% = 0.1mA0.1% = 0.1mA指针在指针在82mA82mA与与83mA83mA之间：读为之间：读为82.82.* * mA mA指针正好在指针正好在82mA82mA上：读为上：读为82.0mA82.0mA对于对于0.1级表：级表：仪仪=100mA1.0%=1mA对于对于1.0级表级表指针在指针在82mA82mA与与84mA84mA之间：之间： 可读为可读为82mA82mA、83mA83mA或或84mA84mA指针正好在指针正好在82mA82mA

9、上：读为上：读为82mA82mA 1. 如果最小刻度的如果最小刻度的1/10定义为可以连续读数仪器的定义为可以连续读数仪器的分辨率，对于不可以连续读数的仪器，分辨率就是最分辨率，对于不可以连续读数的仪器，分辨率就是最小读数。当分辨率落在仪器误差的下一位时，这一位小读数。当分辨率落在仪器误差的下一位时，这一位四舍五入就可以了。四舍五入就可以了。 例如：数字电压表的分辨率是例如：数字电压表的分辨率是0.1mV，测显示值为，测显示值为150.2mV电压时的仪器误差是电压时的仪器误差是2.8mV，则测量值的有，则测量值的有效数字应写为效数字应写为150mV。 2.实际应用时，如果不计算不确定度，应该按

10、以上实际应用时，如果不计算不确定度，应该按以上有效数字的规则读数。如果计算不确定度，可以不考有效数字的规则读数。如果计算不确定度，可以不考虑仪器误差，全部按分辨率读数。虑仪器误差，全部按分辨率读数。 说明：说明：总结总结: :读数前读数前, ,应先清楚仪器应先清楚仪器的误差所在的位置的误差所在的位置, ,然后按然后按规则读数规则读数, ,即可正确确定直即可正确确定直接测量量的有效数字接测量量的有效数字. .1.1.加减法加减法（一）通过（一）通过 如不知道直接测量量的不确定度时，可以如不知道直接测量量的不确定度时，可以使用运算法则来确定。使用运算法则来确定。例例 162 . 5 + 1. 23

11、4 = 63 . 7 62.5+ 1.23463.734结果为结果为 63.7例例 263 . 7 - 5. 43 = 58 . 3 63. 7 - 5. 4358. 27结果为结果为 58.31.1.加减法加减法加减法运算后的有效数字的最后一位，取到加减法运算后的有效数字的最后一位，取到参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位。参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位。运算规则：运算规则：例例3 20.1 + 4.178 = 24.3 20.1+ 4.17824.278结果为结果为 24.3例例4 19.68 - 5.848 = 13.83 19.68- 5.848 13.832结果为结果为 1

12、3.831.1.加减法加减法2.2.乘除法乘除法例例 53.21 6.5 = 21 3.21 6.51605结果为结果为 21192620.865 例例621 21.843=0.96_结果为结果为 0.96_210000218431965879610.13105813413030720218438877_ _ _ _1.1.加减法加减法2.2.乘除法乘除法乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算各数中有效数字位数最少的为准。各数中有效数字位数最少的为准。运算规则运算规则:4.178 10.1 = 42.2 4.178 10.14178结果为结果为 42.24

13、17842.1978 例例748216 123=392123 48216392369113111072462460_结果为结果为 392_例例81.1.加减法加减法2.2.乘除法乘除法3.3.乘方与开方乘方与开方结果的有效数字与其底或被开结果的有效数字与其底或被开方数的有效数字位数相同。方数的有效数字位数相同。错误错误正确正确运算规则：运算规则：1002=100 1024.02=164.02=16.0例例949 7.049 7100 10.01.1.加减法加减法2.2.乘除法乘除法3.3.乘方与开方乘方与开方4.4.函数运算函数运算(1)对数函数对数函数lgxlgx的尾数与的尾数与x x的位数

14、相同的位数相同例例 10lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.2973lg 1983 = 3.29722714 3.2973 (2)(2)指数函数指数函数1010 x x或或e ex x的位数和的位数和x x小数点后的位数小数点后的位数相同（包括紧接小数点后面的相同（包括紧接小数点后面的0 0）例例 11106.25=1778279.41 1.8 106100.0035=1.00809611.0081.1.加减法加减法2.2.乘除法乘除法3.3.乘方与开方乘方与开方4.4.函数运算函数运算5.5.自然数与常量自然数与常量(一一)自然数不是测量值，不存在

15、误差，自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。故有效数字是无穷位。 常数常数 、e e等的位数可与参加运算的等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位或多取一位。如在如在D=2RD=2R中，中，2 2不是一位有效数字，而是无穷位不是一位有效数字，而是无穷位例例 12L=2 R 其中其中R=2.35 10-2m 就应取就应取3.14(或或3.142)即即L=2 3.142 2.35 10-2=0.148(m)综合运算举例综合运算举例 50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )

16、= 50.00 2.0 100 1.00= 1.0 102 100 = 1.0 例例 13 10.02 lg100.0 27.3211 27.31 35= 100 2.0000 0.012 104 35= 2 104 35例例 14 在已知直接测量量是不确定度的情况下，在已知直接测量量是不确定度的情况下，通过不确定度的传播公式求出间接测量量的通过不确定度的传播公式求出间接测量量的不确定度，再由不确定度决定间接测量量的不确定度，再由不确定度决定间接测量量的有效数字。有效数字。（二）用不确定度确定有效数字：（二）用不确定度确定有效数字：CBAN 其中：其中：2206043500302341cm.C

17、,cm.B 试确定试确定N的有效数字。的有效数字。（2）求出）求出N的不确定度的不确定度N 解：解：（1）)cm(.N2304584352341562 210562cm.A 22222NABCAC2221006010cm.).().( （3）用不确定度决定结果的有效数字）用不确定度决定结果的有效数字210358cm.N 即即 三位有效数字三位有效数字NC/ABN 其中：其中：cm.C,cm.B,cm.A0040843212056010213 试确定试确定N的有效数字。的有效数字。解：解：（2）计算不确定度）计算不确定度N 6528432100405620213010222222 .CBANCB

18、AN （1）先计算）先计算NcmN957. 08 .215 . 621. 3（3）根据不确定度决定有效数字，有：）根据不确定度决定有效数字，有：cmN03. 096. 0cm.N0309570652 即即 两位有效数字两位有效数字N首先用传递公式计算首先用传递公式计算 cosx 的不确定度的不确定度x=20018 x=1 0.0003 弧弧度度 求求 cos x 的有效数字的有效数字三角函数三角函数解：解：误差第一位在小数点后第四位误差第一位在小数点后第四位而而cos20o18=0.937889.根据不确定度得到根据不确定度得到:cos20o18=0.9379例例 17 cosx= |sinx| x = sin(20018) 0.0003 = 0.0001注意：注意：有效数字可以方便地表示出不确定度有效数字可以方便地表示出不确定度在哪一位，即方便地表达出了测量结果的好在哪一位，即方便地表达出了测量结果的好与坏。但与不确定度的传递结果相比，有效与坏。但与不确定度的传递结果相比，有效位数表示出的不确定度是很粗略的。因此，位数表示出的不确定度是很粗略的。因此，在处理时不计算不确定度的实验数据时在处理时不计算不确定度的实验