四边形综合题

1、四边形综合题1、如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1）设AE=时，EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。2、数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1)

2、请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【答案】（1）解：过作直线平行于交，分别于点， 则，.，.-2分，. -4分（2）证明：作交于点，-5分则，. ， ，. .-7分.-8分3、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF（1）求证：BE = DF；ADBEFOCM第21题图（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论【答案】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABA

3、D,B = D = 90°AE = AF，BEDF（2）四边形AEMF是菱形四边形ABCD是正方形，BCA = DCA = 45°，BC = DCBEDF，BCBE = DCDF. 即OM = OA，四边形AEMF是平行四边形AE = AF，平行四边形AEMF是菱形4、(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90°.求证：BECF. (2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90°, EF4.求GH的长.(3) 已知点E,H,F,G分

4、别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90°,EF4. 直接写出下列两题的答案：如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； 如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).【答案】(1) 证明：如图1， 四边形ABCD为正方形， AB=BC,ABC=BCD=90°， EAB+AEB=90°. EOB=AOF90°, FBC+AEB=90°， EAB=FBC， ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如图2,过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N,A

5、M与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， EF=BN,GH=AM， FOH90°, AM/GH，EF/BN, NO/A=90°,故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 5、（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90°，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90°，AB=BCNMC=1

6、80°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=°时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）【答案】解：（1）AE=MC，BE=BM， BEM=EMB=45°， AEM=135°， CN平分DCP，PCN=45°，AEM=MCN=135&#

7、176;在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立在边AB上截取AE=MC，连接MEABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60°，ACP=120°AE=MC，BE=BMBEM=EMB=60°AEM=120°CN平分ACP，PCN=60°，AEM=MCN=120°CMN=180°AMNAMB=180°BAMB=BAMAEMMCN，AM=MN（3）EA DB CNM6、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到

8、BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小； 当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.【答案】解：ABE是等边三角形，BABE，ABE60°.MBN60°，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，FEA DB CNMAMBMCM的值最小. 理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60°，MBNB，BMN是等边三角形.B

9、MMN.AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF90°60°30°.设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为.7、如图，已知在矩形ABCD中，AB2，BC3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A，D），连接PC，过点P作PEPC交AB于E（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QCQE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系

10、；若不存在，请说明理由；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q，FEPC，APEDPC90°，D90°，DPCDCP90°，PAEPDC，同理可得，即，APAQ，APAQ3.APAQ，AP，即P不能是AD的中点，当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时APAQ3（2）设APx，BEy，则DP3x，AE2y，又PEPC，PAEPDC，即，当时，y有最小值，y的最小值为，又E在AB上运动，且AB2，BE的取值范围是BE28、如图

11、，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE（1）求证：DAEDCE；ABCDEFG（2）当AE2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形ADE=CDE，AD=CDDE是公共边ADECDE（SAS）DAE=DCE(2)FG=3EF解法一：四边形ABCD是菱形ADBC，DAE=GDAE=DCEDCE=GCEF=GECECFEGCADECDEEA=ECAE=2EFEG=2EC=4EFFG=3EF 解法二：四边形ABCD是菱形ABCDABEFDE同理BEGDEAEG=2AE=4EFFG=3EF9、如

12、图 ，ABC是等腰直角三角形，A=90，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点. （） 求证：PDQ是等腰直角三角形；（） 当点P运动到什么位置时，四边形PDQ是正方形，说明理由. 解：（1）证明：连结AD ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点ADBC，AD=BD=DC，DAQ=B 又BP=AQ BPDAQD PD=QD，ADQ=BDP BDP+ADP=90 ADQ+ADP=PDQ=90 PDQ为等腰直角三角形. （2）当P点运动到AB的中点时，四边形PDQ是正方形.由（）知ABD为等腰直角三角形.当P点运动到AB的中点时，DPAB，即APD=90又A=90，PD

13、Q=90四边形PDQ为矩形又DP=AP=AB四边形PDQ是正方形.10、如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP (1)如图，若M为AD边的中点， ,AEM的周长=_cm； 求证：EP=AE+DP； (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，PDM的周长是否发生变化?请说明理由【答案】11、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PFDC于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF。 （1）如图2，若点P在线段A

14、O上（不与A、O重合0，PEPB且PE交CD点E。 求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论； （2）若点P在线段CA的延长线上，PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断（1）中的结论、是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）【答案】（1）证明：延长FP交AB于点Q，证明即可得出4分 （2）解：PC-PA=理由如下8分 （3）正确完成图3得1分，结论仍成立，不成立11分第12题图（2）ABCDF第12题图（1）ABMCFDNWPQMNWPQ此时中三条线段的数量关系是12、如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB6，BC4，点F

15、在DC上，DF2动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时， M、N两点、同时停止运动连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得FMN，过FMN三边的中点作PWQ设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒试解答下列问题：（1）说明FMNQWP；（2）设0x4（即M从D到A运动的时间段）试问x为何值时，PWQ为直角三角形？当x在何范围时，PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值【答案】解：（1）P、Q、W分别是FMN的中点PQNF，QWMF，PWMN四边形PQWF

16、、MQWP、PQNW都是平行四边形，FPQW，MPWQFMNQWP （2）FMNQWP，PWQ为直角三角形 FMN也是直角三角形 MF24x2，MN2（4x）2（6x）2，MF242（4x）2，若MF为斜边，则4x2（4x）2（6x）242（4x）2 解得，因0x4得，；若MN为斜边，则（4x）2（6x）24x242（4x）2 解得；若NF为斜边，则42（4x）2（4x）2（6x）24x2 此方程无实数解综上，当或时，PWQ为直角三角形；而当 或或时，PQW不为直角三角形（3）当0x4时，易知当x4时，MN有最小值为24x6时，MN2（x4）2（6x）2，故 ，此时，当x5时，MN有最小值为综

17、上，x5时，MN有最小值为13、在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，D为边OB的中点.（）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.yBODCAxEyBODCAx （）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.【答案】解：（）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.若在边上任取点（与点E不重合），连接、.yBODCAxE由，可知的周长最小. 在矩形中，为的中点， ，. OEBC， RtRt，有

18、. . 点的坐标为（1，0）. 6分yBODCAxEGF（）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取. GCEF， 四边形为平行四边形，有.又 、的长为定值， 此时得到的点、使四边形的周长最小. OEBC， RtRt, 有 . . . 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）. 10分14、在ABC中，BAC=45°，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积【答案】解：（1

19、）ADBCAEB是由ADB折叠所得1=3，E=ADB=，BE=BD, AE=AD又AFC是由ADC折叠所得2=4，F=ADC=，FC=CD，AF=ADAE=AF-2分 又1+2=， 3+4=EAF=-3分四边形AEMF是正方形。-5分（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x根据题意知：BE=BD, CF=CDBM=x1; CM=x2-7分在RtBMC中,由勾股定理得： 解之得： (舍去)- -10分15、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了

20、t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；(3分)（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由(3分) （备用图）【答案】解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分） （2）SOMP =×OM× S =×（6 -t）×=+2t （0 < t

21、 <6）当时，S有最大值 （3）存在 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：（备用图）R2T1T2R1D2D1 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得直线ON与MT的交点R的坐标为SOCN ×4×36，SORT SOCN 2 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是OR1T1，如图，作R1D1y轴，D1为垂足，则SOR1T1RD1OT b2.， b =.b1 ，b2 （不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）. 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是R2NE，如图，设MT

22、交CN于点E，由得点E的横坐标为，作R2D2CN交CN于点D2，则SR2NEENR2D2 =2.，b=.b1，b2（不合题意，舍去）此时点T2的坐标为（0，）综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件16、如图9，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EFCE，且与正方形外角平分线AG交于点P。 （1）当点E坐标为（3，0）时，试证明CE=EP； （2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由； （3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是

23、平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由。【答案】解：（1）过点P作轴，垂足为H COEEHP 2分由题意知：CO=5 OE=3 EH=EA+AH=2+HP3分故CE=EP 5分（2）CE=EP仍成立。同理COEEHP 6分由题意知：CO=5 OE=t 8分 （3）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形 9分过点B作BM/EP交y轴于点M在BCM和COE中BCMCOE BM=CE而CE=EP BM=EP由于BM/EP 四边形BMEP是平行四边形 11分由BCMCOE可得CM=OE=t OM=COCM=5t故点M的坐标为 12分17、如图1，已知正方形ABCD的边CD在

24、正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC。 （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。 （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由。【答案】（1）答：（1分）证明：延长GC交AE于点H在正方形ABCD与正方形DEFG中，（3分）（5分） （2）答：成立（6分）证明：延长AE和GC相交于点H。在正方形ABCD和正方形DEFG中，（8分）又，（10分）18、如图（1），在ABC和EDC中，AC=CE=CB=CD，ACB=ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H.(1)求证：CF=CH；(2)如图（2），ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE=45° 时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论。【答案】解：（1）（5分）证明： ACB和ECD中ACB=ECD=90°1+ECB=2+ECB1=2又AC=CE=CB=CDA=D=45°ACFDCHCF=CH（2）（5分）答：四边形ACDM是菱