3随机数与随机变量

1、随机数与随机变量随机数与随机变量图图2.5 2.5 离散事件系统仿真变步长时间推进法的控制流离散事件系统仿真变步长时间推进法的控制流开始开始(0)激活初始化程序激活初始化程序(1)激活时间推进程序激活时间推进程序(2)激活事件发生程序激活事件发生程序i重复重复主程序主程序设置仿真钟设置仿真钟=0初始化系统状态与统计计数器初始化系统状态与统计计数器初始化事件列表初始化事件列表(1)更新系统状态更新系统状态(2)更新统计计数器更新统计计数器(3)产生将来事件并添加到事件列表中产生将来事件并添加到事件列表中确定下一事件类型，如确定下一事件类型，如i推进仿真钟推进仿真钟生成随机变量生成随机变量仿真结束

2、？仿真结束？(1)计算有关评价指标计算有关评价指标(2)写仿真报告写仿真报告报告生成器报告生成器终止终止YN(1)i(0)3.1 随机变量与随机数随机变量与随机数v随机变量：随机变量：Xv离散型随机变量离散型随机变量：若随机变量只能在有限或：若随机变量只能在有限或可列无穷多个可列无穷多个(实数实数)点上取值，则称该随机点上取值，则称该随机变量为离散型随机变量。概率分布三种表示变量为离散型随机变量。概率分布三种表示方式：方式：公式法：如泊松分布公式法：如泊松分布列表法：列表法：图示法：图示法：x012P0.20.30.5ekkxPk!)(210 x-10.50.30.2P3.1 随机变量与随机数

3、随机变量与随机数v连续型随机变量连续型随机变量：随机变量：随机变量X在一个或多个在一个或多个非退化的实数区间连续取值，且存在非负实非退化的实数区间连续取值，且存在非负实函数函数f(x)，使得对任意，使得对任意x有有 。 v概率密度函数概率密度函数： f(x)v随机数随机数：设：设X的概率密度函数为的概率密度函数为 ,则则X为为0,1上的均匀分布函数。在计算机上上的均匀分布函数。在计算机上可产生可产生X的抽样序列的抽样序列 xn ，通常称，通常称 xn 为为0,1上均匀分布随机变量上均匀分布随机变量X的随机数的随机数。1 , 0, 01 , 0, 1)(xxxfbadxxfbaxP)(),(3.

4、2 常用分布常用分布v分布函数：分布函数：F(x)=P(Xx)，概率累积函数，概率累积函数/累积分布函数累积分布函数v泊松分布泊松分布：P()或或(), 是是X的数学期望。的数学期望。如单位时间内放射型物质放射出如单位时间内放射型物质放射出粒子的数目；粒子的数目；单位长度的布匹上的疵点数单位长度的布匹上的疵点数v指数分布指数分布：XEXPO（ ）在间隔时间在间隔时间t内放射出内放射出粒子的数目粒子的数目v均匀分布均匀分布：XU（a，b）抛硬币正反面出现的次数抛硬币正反面出现的次数v正态分布正态分布：XN（，2 ）某地区男某地区男(女女)性成人的身高性成人的身高v威布尔分布，复合泊松分布威布尔分

5、布，复合泊松分布3.3 随机数发生器随机数发生器v对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系统或过程本身包含固有的随机组成成分，就统或过程本身包含固有的随机组成成分，就需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。例如，排队系统中的时间间隔，服务时间，例如，排队系统中的时间间隔，服务时间，库存系统中的需求量等。库存系统中的需求量等。在计算机仿真中，在计算机仿真中，能否产生具有一定性能要求的随机数是决定能否产生具有一定性能要求的随机数是决定仿真是否可信的重要因素之一。仿真是否可信的重要因素之一。3.3 随机数发生器随机数发生器v

6、按照某种概率分布要求产生一系列的随机数。按照某种概率分布要求产生一系列的随机数。v伪随机数伪随机数：按照一定的计算方法产生的一列：按照一定的计算方法产生的一列数，使它们具有类似于数，使它们具有类似于均匀随机变量均匀随机变量的性质，的性质，称这样产生的一系列数值为伪随机数。称这样产生的一系列数值为伪随机数。v一一.线性同余法线性同余法(线性同余发生器线性同余发生器LCG)：*Ui为第为第i个随机数，个随机数，Z0称为随机数源或种子值；称为随机数源或种子值；a为乘子；为乘子；c为增量；为增量；m为模数；为模数；参数均为非负整数，应满足参数均为非负整数，应满足am,cm,Z0m。v将种子值将种子值Z

7、0代入，得到一个代入，得到一个Z0，Z1，Zi，Zn序列值。序列值。v再令再令 ，则可得到均匀分布随机，则可得到均匀分布随机数数U(0,1)。1Z( Z) mod1,2,.iiacmiZUU0,1iiimZUU0,1iiim*例：例：令令Z0 =27， a=17，c=43，m=100，确定确定i=1,2,3的随机数。的随机数。解：产生的整数值将总是在解：产生的整数值将总是在0-99之间，之间， Z0 =27， U0 =2/100=0.02 Z1 = (1727+43) mod 100=2， U1 =2/100=0.02 Z2 = (172+43) mod 100=77， U2 =77/100=

8、0.77 Z3 = (1777+43) mod 100=52， U3 =52/100=0.521Z( Z) mod1,2,.iiacmiZUU0,1iiimv线性同余发生器的缺点线性同余发生器的缺点1.由公式计算得到的随机数序列并不是真由公式计算得到的随机数序列并不是真正意义上的随机数，其取决于参数正意义上的随机数，其取决于参数a，c，m，Z0。为使利用。为使利用LCG产生的随机数在产生的随机数在0,1区间上表现出均匀分布的特性，必须区间上表现出均匀分布的特性，必须适当选择参数。所以产生的随机数是否满适当选择参数。所以产生的随机数是否满足需求，要对随机数发生器的均匀性、独足需求，要对随机数发生

9、器的均匀性、独立性和相关性进行检验和评价。立性和相关性进行检验和评价。v线性同余发生器的缺点线性同余发生器的缺点2.所得到的所得到的Ui序列只能取有理数值序列只能取有理数值0,1/m,2/m，m-1/m，或其中的一部分，或其中的一部分，这取决于这取决于a，c，m，Z0。只有当。只有当m足够大足够大时，在时，在0,1区间内的取点才足够密集。这区间内的取点才足够密集。这可以保证在大多数情况下，获得与真实的可以保证在大多数情况下，获得与真实的在在0,1区间上的均匀分布足够接近的随机区间上的均匀分布足够接近的随机数。数。3.循环，即产生的随机数具有周期性。当循环，即产生的随机数具有周期性。当Zi所取的

10、值与以前的某次取值相同时，就所取的值与以前的某次取值相同时，就会产生相同的序列取值，并无穷重复下去。会产生相同的序列取值，并无穷重复下去。这个周期的长短称为发生器的周期。显然这个周期的长短称为发生器的周期。显然周期最大周期最大=m，称为全周期。，称为全周期。LCG具有全周具有全周期的充要条件为：期的充要条件为：vm和和c互为质数，即唯一的公约数是互为质数，即唯一的公约数是1；v如果如果q是一个能整除是一个能整除m的质数的质数,则则q能整除能整除a-1；v如果如果m能被能被4整除，则整除，则a-1也能被也能被4整除。整除。v二二.中值平分法中值平分法首先给出一个初值种子首先给出一个初值种子X0，

11、对该数的平，对该数的平方取中间值的位数，将小数点放在数的最方取中间值的位数，将小数点放在数的最前方就得到一个随机数。前方就得到一个随机数。中间位数中间位数X1平方，按照同样方法产生第平方，按照同样方法产生第二个随机数。二个随机数。缺点：重复、退化缺点：重复、退化v二二.中值平分法中值平分法X0=6541，U0=0.6541X02=42784681，中间位数中间位数X1=7846，U2=0.7846若出现奇位数若出现奇位数则在平方数前补齐零则在平方数前补齐零v三三.加同余法加同余法只需要只需要n个随机数的序列个随机数的序列x1，xn，然后然后随机发生器把序列扩充为随机发生器把序列扩充为xn+1，

12、xn+2,即可即可公式公式其中其中m为模。为模。mxxxniiimod)(1mxUii/v四四.组合发生器组合发生器为了产生具有更长周期和更好统计性能为了产生具有更长周期和更好统计性能的随机数，人们研究了采用两个或者更多的随机数，人们研究了采用两个或者更多个独立的随机数发生器，将它们组合到一个独立的随机数发生器，将它们组合到一起，来生成最后的随机数，而使最后的随起，来生成最后的随机数，而使最后的随机数的周期长度和性能比其中某个单独的机数的周期长度和性能比其中某个单独的随机数发生器产生的随机数都更好。随机数发生器产生的随机数都更好。v四四.组合发生器组合发生器n个独立的随机数发生器个独立的随机数

13、发生器组合发生器组合发生器3.4 随机变量的产生方法随机变量的产生方法v随机系统中的不确定性事件的相关变量，如随机系统中的不确定性事件的相关变量，如到达间隔时间、服务时间等，是用具有某种到达间隔时间、服务时间等，是用具有某种统计分布的随机变量来进行建模的。统计分布的随机变量来进行建模的。v计算机仿真模型产生随机变量的方法计算机仿真模型产生随机变量的方法一般是一般是首先通过某种算法产生一个首先通过某种算法产生一个0,1区间均匀分布区间均匀分布的随机数，然后采用逆变法或其他方法产生的随机数，然后采用逆变法或其他方法产生服从某分布的随机变量。服从某分布的随机变量。3.4 随机变量的产生方法随机变量的

14、产生方法v本节假定一个本节假定一个已经完全确定的分布已经完全确定的分布，来寻，来寻找方法生成这个分布的随机数样本，以输找方法生成这个分布的随机数样本，以输入仿真模型使用。入仿真模型使用。v本节所有方法均本节所有方法均假设随机数假设随机数u1，u2，为均为均匀分布匀分布U(0,1)。v1.逆变换法逆变换法(反函数法反函数法)*逆变换法也称逆变换法也称反函数法反函数法，若，若UU(0,1)，而，而F-1(U) 是分布函数是分布函数F(x)的反函数，则的反函数，则X= F-1(U) F(x)。由随机数由随机数U(0,1)可直接生成规定分布可直接生成规定分布F(x)的随机的随机变量变量 xi 。算法步

15、骤：算法步骤：v设随机变量设随机变量x的分布函数为的分布函数为F(x) ；v在区间在区间0,1上取均匀分布的独立随机变量上取均匀分布的独立随机变量u= F(x) ；v由分布函数的反函数由分布函数的反函数F-1(u) 得到的值即为所需要的随得到的值即为所需要的随机变量机变量x ；vx= F-1(u) 即为所需要的随机变量。即为所需要的随机变量。v逆变换法生成指数分布的随机变量逆变换法生成指数分布的随机变量概率密度函数概率密度函数分布函数分布函数指数分布随机变量生成器指数分布随机变量生成器简化式简化式0,00,)(xxexfx1,0( )0,0 xxexF xf(t)dtx 1ln(1)xu 1l

16、niixu v逆变换法生成均匀分布的随机变量逆变换法生成均匀分布的随机变量概率密度函数概率密度函数累积分布函数累积分布函数均匀分布随机变量生成器均匀分布随机变量生成器其他,0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF,1,0)(uabax)( 2.卷积法卷积法 由两个或更多个独立随机变量的和形成的概率分布称为原由两个或更多个独立随机变量的和形成的概率分布称为原始变量的卷积分布。卷积法就是通过两个或多个随机变量始变量的卷积分布。卷积法就是通过两个或多个随机变量的相加来得到新的具有某种所希望的分布的随机变量。假的相加来得到新的具有某种所希望的分布的随机变量。假设具有独立同分布的随机变量设具有

17、独立同分布的随机变量 , , ，令，令12mYXXX 则则 的分布函数与的分布函数与 的分布函数相同，此时称的分布函数相同，此时称 的的 分布为分布为 的的 折卷积。折卷积。为了生成为了生成 ，可先独立地，可先独立地从相应分布函数产生随机变量从相应分布函数产生随机变量 , , ，然后，然后利用上式得到利用上式得到 ，这就是卷积法。，这就是卷积法。1X2XmXY1miiXYiXmY1X2XmXY3.合成法合成法若若x的密度函数可写成的密度函数可写成 且且 。合成法步骤如下：合成法步骤如下：(1) 产生一个正随机变量产生一个正随机变量 ，满足，满足 =0,1,2,(2) 根据根据 取不同的取不同的

18、 值，产生服从分布函值，产生服从分布函数数 (与与 相对应相对应)的的 ，然后返回。，然后返回。JjP JjpjJj( )jF x( )jfxX)()(1xfpxfjjj1,01jjjpp例题例题 双指数分布的概率密度函数为双指数分布的概率密度函数为 密度分布如图所示。试生成服从该分布的随机变量。密度分布如图所示。试生成服从该分布的随机变量。xexf-5 . 0)(图图 双指数分布的密度函数曲线双指数分布的密度函数曲线例题例题 解：该分布的概率密度函数，可以由以下两个函数解：该分布的概率密度函数，可以由以下两个函数组合起来表示组合起来表示 式中式中 可以看出，函数可以看出，函数 是两个函数是两个函数 和和 之和，并且之和，并且 。对于。对于 和和 可以应用逆变换法，从而利用合成法生成可以应用逆变换法，从而利用合成法生成随机变量的过程如下。随机变量的过程如下。)(5 . 0)(5 . 0)(), 0(-)0 ,(xIexIexfxxAxAxxIA01)( )f x1(,0)( )e( )xf xIx)()(), 0(-2xIexfx120.5pp1( )f x2( )fx例题例题 (1) 在在 区间上生成两个相互独立的均匀区间上生成两个相互独立的均匀分布随机数分布随机数 ， 。 (2) 当当 时，则时，则 从从 生成，利用生成，利用逆变换法可以