浙江湖州中学提高练习--带电粒子在磁场中运动--最小面积

1、带电粒子在磁场中运动-最小面积1、如图所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出, 可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。2、一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面,粒子飞出磁场区后,从处穿过轴,速度方向与 轴正向夹角为30°,如图所示(粒子重力忽略不计。试求:(1圆形磁场区的最小面积;(2粒子从O点进入磁场区到

2、达b点所经历的时间;(3b点的坐标。 3、在平面内有许多电子(质量为、电量为,从坐标O不断以相同速率 沿不同方向射入第一象限,如图所示。现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场,要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向x正方向运动,求符合该条件磁场的最小面积。 4、如图,ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为0v的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场。不计重力,求:(1此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;(2此匀强磁场区域的最小面积。5、如图所示,直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方

3、向的匀强电场。现有一质量为,电量为的电子从第一象限的某点(,L83 以初速度沿轴的负方向开始运动,经过轴上的点(4L,0进入第四象限,先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域,磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合,电子偏转后恰好经过坐标原点O ,并沿轴的正方向运动,不计电子的重力。求 (1电子经过点的速度;(2该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。6、处在磁场的边界上.现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v (0vE/B垂直于MO 从O 点射入磁场,所有粒子通过直线MO 时, 速度方向均平行于PQ 向左。.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力,求:(1速度最大的粒子

4、自O 点射入磁场至返回水平线POQ 所用的时间.(2磁场区域的最小面积.(3根据你以上的计算可求出粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离,请写出该距离的大小。 7、如图所示,在倾角为30°的斜面OA 的左侧有一竖直挡板,挡板上有一小孔P,现有一质量kg m 20104-=、电量C q 14102-+=带电粒子,从小孔以速度sm v 40103=水平射向磁感应强度T B 2.0=、方向垂直于纸平面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板,且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面OA 上,粒子重力不计。 求:(1粒子在磁场中作圆周运动的半径R ; (2粒子在磁场中运动的时间t ;

5、 (3正三角形磁场区域的最小边长L带电粒子在磁场中运动-最小面积近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题;或带电粒子在空间运动范围问题,这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆,其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界,运动过程中的临界点(如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等难以确定。下面以实例进行分析。一、磁场的边界线为圆形【例题1-1】如图所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出,可在适当

6、的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。解:质点在磁场中作半径为R的圆周运动,洛伦兹力提供做向心力:qvB=(Mv2/R, 得R=(MV/(qB根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a点作平行于x轴的直线,过b点作平行于y轴的直线,则与这两直线均相距R的O点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O为圆心、R为半径的圆(图中虚线圆上的圆弧MN,M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。在通过M、N两点的不同的圆周中,最小的一个是

7、以MN连线为直径 的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为: 所求磁场区域如图中实线圆所示。【例1-2】一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面,粒子飞出磁场区后,从处穿过轴, 速度方向与轴正向夹角为30°,如图所示(粒子重力忽略不计。试求:(1圆形磁场区的最小面积;(2粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间;(3b点的坐标。 解析:(1由题可知,粒子不可能直接由O点经半个圆周偏转到点,其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。可知,其离开磁场时的临界点与O点都在圆周上,到圆心的距离必相等。如图2,过点逆

8、着速度的方向作虚线,与轴相交,由于粒子在磁场中偏转的半径一定,且圆心位于轴上,距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的点即为圆周运动的圆心,圆的半径。由R v mBv 200q =,得qB v 0m R =。弦长为:R 3=l 要使圆形磁场区域面积最小,半径应为的一半,即:qB mv R l 0232321r =,面积22222min43B q v m r S =(2粒子运动的圆心角为1200,时间qB m T t 3231=。 (3距离 ,故点的坐标为(,0。点评:此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点,注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等;还要明确所求

9、最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。【例1-3】在平面内有许多电子(质量为、电量为,从坐标O 不断 以相同速率沿不同方向射入第一象限,如图所示。现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场,要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向x 正方向运动,求符合该条件磁场的最小面积。解析:电子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供做向心力:Rv m Bv 20e =,半径eB m v R 0=是确定的,设磁场区域足够大,作出电子可能的运动轨道如图a 所示,因为电子只能向第一象限平面内发射,其中圆O1和圆O2为从圆点射出,经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在x轴上方的41个圆弧odb 就

10、是磁场的上边界。其它 各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心,以R 为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出磁场,故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明,磁场下边界为一段圆弧,只需将这些圆心连线(图中虚线O1O2向上平移一段长度为eBm v R 0=的距离即图b 中的弧ocb 就是这些圆的最高点的连线,即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积:2022(22(241(2s eBmv R R -=-=还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x 轴夹角为,若离开磁场速度变为水平方向时,其射出点也就是轨迹与

11、磁场边界的交点坐标为(x ,y ,从图c 中看出,即(x >0,y >0,这是个圆方程,圆心在(0,R 处,圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下边界。点评:这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围,磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。【例题1-4】(2009年海南卷,第16题如图,ABCD 是边长为a 的正方形。质量为m 、 电荷量为e 的电子以大小为0v 的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC 边上的任意点入射,都只能从A 点射出磁场。不计重力,求:(1此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;

12、(2此匀强磁场区域的最小面积。解:(1设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力 0f ev B = 应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧AEC 的圆心在CB 边或其延长线上。依题意,圆心在A 、C 连线的中垂线上,故B 点即为圆心,圆半径为 a ,按照牛顿定律有2v f ma = 联立式得mv B ea =(2由(1中决定的磁感应强度的方向和大小,可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出,且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。因而,圆弧 AEC

13、 是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为(不妨设02<的情形。该电子的运动轨迹qpA 如右图所示。图中,圆弧 AP 的圆心为O ,pq 垂直于BC 边 ,由式知,圆弧AP 的半径仍为a ,在以D 为原点、DC 为x 轴,AD 为y 轴的坐标系中,P 点的坐标(,x y 为 sin x a = (cos cos y a a a a =-=- 这意味着,在范围02内,p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 AFC ,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界。因此,所求的最小匀强

14、磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 AEC 和AFC 所围成的,其面积为 2221122(422S a a a -=-=评分参考:本题10分。第(1问4分,至式各1分;得出正确的磁场方向的,再给1分。第(2问6分,得出“圆弧 AEC 是所求磁场区域的一个边界”的,给2分;得出所求磁场区域的另一个边界的,再给2分;式2分。二、磁场的边界线为矩形【例2】 如图所示,直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为,电量为的电子从第一象限的某点(,L8 3以初速度沿轴的负方向开始运动,经过轴上的点(4L ,0进入第四象限,先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩

15、形匀强磁场区域,磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合,电子偏转后恰好经过坐标原点O,并沿轴的正方向运动,不计电子的重力。求(1电子经过点的速度;(2该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。解析:(1电子从点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到点,可知竖直方向: ,水平方向:解得。 而,所以电子经过点时的速度为: ,设与方向的夹角为,可知 ,所以=300。(2如图,电子以与成30°进入第四象限后先沿做匀速直线运动,然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿轴向上的速度经过O点。可知圆周运动的圆心一定在X轴上,且点到O 点的距离与到直线上M点(M点即为磁场的边界点的垂直距离相等,找出点,画

16、出其运动的部分轨迹为弧MNO,所以磁场的右边界和下边界就确定了。设偏转半径为,由图知OQ=,解得,方向垂直纸面向里。矩形磁场的长度,宽度。矩形磁场的最小面积为:点评:此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程,解题思路相似,关键要注意矩形磁场边界的确定。三、磁场的边界线为三角形【例3-1】 如图所示,一个质量为,带电量的粒子在BC 边上的M 点以速度垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。为了使该粒子能在AC 边上的N 点(CM =CN 垂真于AC 边飞出ABC ,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力

17、。试求:(1粒子在磁场里运动的轨道半径r 及周期T ;(2该粒子在磁场里运动的时间t ; (3该正三角形区域磁场的最小边长;解析:(1由R v mBv 2q =和v r 2T =, 得:qB m v =r, qB m T 2= (2由题意可知,粒子刚进入磁场时应该先向左偏转,不可能直接在磁场中由M 点作圆周运动到N 点,当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时,其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径,如图作出圆O ,粒子的运动轨迹为弧GDEF ,圆弧在G点与初速度方向相切,在F 点与出射速度相切。画出三角形,其与圆弧在D 、E 两点相切,并与圆O交于F 、G 两点,此为符合题意的最小磁场区域。由数

18、学知识可知FOG =600,所以粒子偏转的圆心角为3000,运动的时间qB m T t 3565= (3连接并延长与交与H点,由图可知r ao 2=,r OH 23=,该正三角形区域磁场的最小边长qB mv r r os oH ao L ac 134(30cos 30cos 230c 000+=+=+= 处在磁场的边界上.现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v (0vE/B垂直于MO 从O 点射入磁场,所有粒子通过直线MO 时,速度方向均平行于PQ 向左。.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力,求:(1速度最大的粒子自O 点射入磁场至返回水平线POQ 所用的时间.(2磁场区域

19、的最小面积.(3根据你以上的计算可求出粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离,请写出该距离的大小(只要写出最远距离的最终结果,不要求写出解题过程 【例3-2】如图所示,在倾角为30°的斜面OA 的左侧有一竖直挡板,挡板上有一小孔P,现有一质量kg m 20104-=、 电量C q 14102-+=带电粒子,从小孔以速度sm v 40103=水平射向磁感应强度T B 2.0=、方向垂直于纸平面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板,且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面OA 上,粒子重力不计。 求:(1粒子在磁场中作圆周运动的半径R ;(2粒子在磁场中运动的时间t ;(3正

20、三角形磁场区域的最小边长L解:(1带电粒子从b 点进入磁场,从c 点离开磁场,在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力： qBv0 = m 2 v0 R 则 粒 子 在 磁 场 中 作 圆 周 运 动 的 半 径 R= mv0 4 ´ 10-20 ´ 3 ´ 104 = m = 0.3m qB 2 ´ 10-14 ´ 0.2 t= （2）粒子在磁场中运动的时间 所以 2pm 5 T T= qB 6 ,而 t = 5.23´ 10-5 s L= （3）正三角形磁场区域的最小边长 MN 2 R + Rcos300 = 0.99m co

21、s300 cos300 点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从 AC 边射出速度的 反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注 意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。 四、带电粒子能到达的空间范围 【例 4-1】 （2004 年广东卷） （17 分）如图，真空室内存在 匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小 B=0.60T，磁场内有一块平面感光板 ab，板面与磁场方向平 行，在距 ab 的距离 l = 16cm 处，有一个点状的 a 放射源 S， 它向各个方向发射 a 粒子， a 粒子的速度都是 v = 3.0 ´106 m / s ，已知 a 粒子的电荷与质量之比 q = 5.0 ´