第三章 纳什均衡的扩展与精炼

1、第三章 纳什均衡的扩展与精炼1. 什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海萨尼转换中，自然对局中人类型的确定都是有限的吗？举例说明。(见教材)2. 什么是重复博弈中的策略?什么是一个重复博弈中的子博弈?什么是一个子博弈完美纳什均衡? (见教材)3. 以下（虚线框中的）子博弈的划分是否正确?答：两个扩展式中的子博弈划分均不正确，图1中的划分对同一信息集产生了分割，图2中的子博弈不是开始于单节信息集的决策结点。4. 在双寡头古诺模型中,设逆需求函数为p=a-Q,其中Q=q1+q2为市场总需求,但a有aH和aL两种可能的情况,并且企业1知道a究竟是aH还是aL,而企业2只知道a=

2、aH和a=aL的概率分别是和1-,该信息是双方都知道的。双方的总成本函数分别是cq1和cq2。如果两企业同时选择产量,双方的策略空间是什么？试计算出贝叶斯纳什均衡。假设企业2的产量为q2，企业1将选择q1最大化利润函数（这里a取aH或aL）由此得：企业2将选择q2最大化它的期望利润由此得： 在均衡时，q1，q2应满足由此得：企业1的策略为：企业2的策略为：因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：当a=aH时，企业1生产；当a=aL时，企业1生产，企业2生产。5. 在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯策略贝叶斯纳什均衡。(1) 自然决定收益情况是由博弈1给出，还是由博弈2给出，选择每一博弈的概率相等；(2

3、) 局中人1了解到自然选择了博弈1，还是选择了博弈2，但局中人2不知道；(3) 局中人1选择行动T或B，同时局中人2选择行动L或R；(4) 根据自然选择的博弈，两局中人得到相应的收益。LRLRT1,10,0T0,00,0B0,00,0B0,02,2博弈1 博弈2自然选择了博弈1时，局中人1选择T，自然选择了博弈2时，局中人1选择B。局中人2的策略是根据期望收益最大的原则确定。局中人2的选择策略L的期望收益为0.5×1+0.5×0=0.5，选择策略R的期望收益为0.5×0+0.5×2=1，因此局中人2会选择策略R。该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡为：自然选择博

4、弈1时，局中人1选择T，自然选择博弈2时，局中人1选择B；局中人2会选择策略R。6. 在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q1-q2-q3，这里qi是企业i的产量。每一企业生产的单位成本为常数c。三企业决定各自产量的顺序如下：(1)企业1首先选择q10；(2)企业2和企业3观察到q1，然后同时分别选择q2和q3。试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q1，第二阶段企业2和3观测到q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈进行求解。（1）假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。设企业2，3的利润函数分别为：由

5、于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件： （1） （2）求解（1）、（2）组成的方程组有： （3）（2）现进行第一阶段的博弈分析：对与企业1，其利润函数为； 将（3）代入可得： （4）式（4）对q1求导：解得： （5）此时，（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：,7. 如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为。试问应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？乙甲坦白不坦白坦白4,40,5不坦白5,01,1由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为(不坦白,不坦白)，均衡结果为(1,1)，采用触发策略，局中人i的策略组合s的最好反应

6、支付=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。若存在子博弈完美纳什均衡，必须满足：，即只有当贴现因子>1/4时，才存在子博弈完美纳什均衡。8. 假设有一博弈G=N,S,P,其中N=1,2,S1=0,50,S2=0,50,，,i=1,2。(1)求纳什均衡点;(2)在纳什均衡下的最优反应函数;(3)若该博弈重复无限次,是否存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡,其条件是什么？解：局中人1,2的最优反应函数分别为: s1=5+1/2s2 s2=20/3+1/3s1由此得唯一的纯策略纳什均衡点:sc=(10,10).相应的有P(sc)=(1000,1500).容易求得s*=(35,30),相应的有

7、P(s*)=(1750,3000),.当时，存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡(s*,sc)9. 求如图所示完全信息动态博弈的子博弈完美纳什均衡（图中数字(a,b,c)分别表示局中人1、2、3的收益）。答：局中人1采取A2行动，局中人2采取行动B1时，局中人3必然采取C2行动（因为3<6），因而该博弈的顶点只能是(7,6,6)。同样对于局中人3右边一个子博弈，必然采取C1行动（9>2），因而该博弈的顶点只能是(2,1,9)。进而原博弈简化为：这时,假设局中人1采取行动A1，对于左边一个子博弈，局中人3必定采取行动C2(3<8),因而在该子博弈顶点的结果只会是(1,7,8).

8、同样,若局中人1采取行动A2,此时局中人2必然采取行动B1(6>1),因而在该子博弈顶点的结果只会是(7,6,6).进而,该博弈又简化为： 这时，局中人1必然选择行动A2(1<7)。由于局中人1选择A2时，局中人2选择B1，进而局中人3选择C2。因此，策略组合(A2,B1,(A1,C2),(B1,C2),(B2,C1)构成整个博弈的子博弈完美纳什均衡(这里(A1,C2)表示如果局中人1选择A1,则局中人3选择C2,对(B1,C2),(B2,C1)的解释类似)。10. 考虑如下诉讼威胁博弈。如果提起诉讼的话，局中人1为原告，局中人2为被告，博弈顺序如下：(1) 原告决定是否指控被告，

9、指控的成本是c1；(2) 如果决定指控的话，在告上法庭之前，原告提出一个无协商余地的赔偿金额s以私了；(3) 被告决定接受还是拒绝原告的要求；(4) 如果被告拒绝原告的要求，原告决定是放弃还是上法庭，自己的成本是c2，给被告带来的成本是d；(5) 如果告上法庭，原告以概率P胜诉而获得赔偿r，否则什么也得不到。试问胜诉概率P满足什么条件时，原告的诉讼威胁才是可信的？一)局中人1不指控局中人2时两个人的收益均为0二)局中人1决定指控局中人2，在告上法庭之前，局中人1提出一个无协商余地的赔偿金额s以私了，(1)当局中人2接受要求时局中人的收益为s-c1;局中人2的收益为-s；(2)当局中人2拒绝局中

10、人1的要求，1)局中人1放弃上诉时，局中人1的收益为-c1,局中人2的收益为0；2)当局中人1起诉时，局中人1的期望收益为Pr-(c1+c2);局中人2的期望收益为-Pr-d因此，当局中人1的期望收益Pr-(c1+c2)>max0,s-c1，即P>max(c1+c2)/r, (s+c2)/r时原告的诉讼威胁是可信的。11. 在伯川德模型中,假定有n个生产企业,需求函数为(b>0),其中pi是企业i的定价,qi是企业i的需求量。假设企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数c,c<a.假定博弃重复无穷多次,每次的价格都立即被观察到,企业使用触发策略。求使垄断价格可以作为完美

11、均衡结果出现的最低贴现因子,并解释与n的关系。分以下几个步骤进行。1)计算纳什均衡当企业i选择价格pi,其它企业选择价格pj(j=1,2,n,ji)时,企业i的利润为:,i=1,2,n 价格组合()若是纳什均衡,则对每个企业i,应是如下最优问题的解:求解该问题,得; i=1,2,.,n解该方程组,得:,i=1,2,n企业i的利润为：2) 计算垄断情况下的价格若n家企业合并为一家,即形成垄断价格,则n家企业的价格相同,即p1=p2=pn. 可求得总利润最大时的价格为:那么每个企业的利润为(这里(n-1)b<1)易证,即在垄断价格下,各企业的利润增加了。3) 计算使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子,并解释与n的关系。当时,触发策略(p*,pc) 是子博弈完美纳什均