高等数学在信息专业中的应用介绍

1、高等数学在信息专业中的应用介绍一、高等数学在计算科学中的应用随着计算机的发展与普及，继理论分析、科学实验之后，在计算机上用数值计算方法（又称数值分析或计算方法）进行科学与工程计算的科学计算已成为科学研究的又一重要手段。在数值计算方法的理论与实践中处处蕴涵着高等数学的思想与方法。因篇幅有限，仅例举如下几个较为典型的实例。例：无穷级数中的泰勒展开在运算误差分析中的应用当自变量有误差时，一般情况下，相应的函数值也会产生误差。可用函数的泰勒展开式分析这种误差。设一元函数，自变量的近似值，其绝对误差限记为，的近似值，其绝对误差限记为，相对误差限记为。对在近似值附近泰勒展开：介于之间。移项，取绝对值得：。

2、设与相差不大，可忽略的高次项，于是可得到函数运算的绝对误差限和相对误差限：；。设多元函数，自变量的近似值，的近似值，函数值的运算误差可用函数的泰勒展开式得到：，于是绝对误差限为： ，相对误差限为： 。例2：微积分学中的罗尔定理、积分中值定理在数值积分公式余项证明中的应用定理： 若在a,b上连续，则抛物线求积公式的余项为 证明：由N-C（牛顿-柯特斯公式）的余项公式（*）可以得到 但此时，因为被积函数在上不再保号，故不可能直接应用积分中值导出抛物线求积公式的余项表达式，那么我们就利用带导数的埃尔米特插值多项式。 构造次数不超过三次的埃尔米特插值多项式作为辅助函数，且要求满足条件： ， ， ， 令

3、 ， ，根据前三个插值条件我们可以作二次牛顿插值多项式： ，由给定的3个插值条件，构造不超过3次的埃尔米特插值多项式。又由应满足插值条件，而节点，上的线性插值函数也满足条件 。 是的三个零点，因此我们可以设辅助函数： （*）并可以由来求出A。+ +A+ +A则可以求得 A把A代入（*）式可以得到 + 设作辅助函数 （0，1，2） 在上有四个两点，根据罗尔（Rolle）定理在上至少有三个零点，又，因此，在内至少有四个零点，反复运用（Rolle）定理，在（）内至少有一个零点，我们不妨那它记做，使得，于是可以得到 4 所以 即 （*）把 ， ， 代入 （*）式可以得到 ，另一方面，因抛物线求积公式具

4、有三次代数精度，故它对能精确成立。即有 故抛物线求积公式的余项为 此时被积函数在上不变号，故可当在上连续时，由积分中值定理可以得到 。例3：线性代数知识在线性代数方程组迭代法收敛性分析定理中的应用定理：迭代过程对任给初始向量收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径。证明：必要性:若迭代过程对任给初始向量收敛，设其收敛于则有。两者相减，得从而由的任意性，可知迭代矩阵的谱半径。充分性：若迭代矩阵的谱半径。则非奇异，令，即。与迭代过程相减，得由于迭代矩阵的谱半径，及的任意性，故，所以迭代过程对任给初始向量收敛。例4：多元微积分学在线性最小二乘法的法方程建立过程中的应用用线性最小二乘法建立拟合曲线时，是将

5、拟合函数表示成一组已知函数的线性组合：，其中为待定参数。线性最小二乘法的目标为选择待定参数，使对应的残差平方和为最小，即达到最小。为此，令。要使s达到极小，有。由此可得方程组：，。引入记号：，可得方程组：，即 上述方程组就是线性最小二乘法中的法方程组。例5：线性代数在多项式插值唯一性定理证明中的应用。定理：n+1个节点处满足插值条件的n次代数多项式是唯一的。证明：欲证的唯一性，只须证的唯一性。由于满足插值条件。故得如下线性方程组：即证线性方程组的解存在且唯一。考察其系数矩阵的行列式：，所以线性方程组的解存在且唯一。从而n+1个节点处满足插值条件的n次代数多项式是唯一的。例6：微积分在样条函数中

6、的应用三次样条插值函数：已知f(x)在n+1个互异节点x0x1x2 xn上的函数值分别为y0，y1，y2, ,yn。三次样条插值函数s(x)须满足:（1）是分段三次多项式（2）在子区间交界点上具有连续的二阶导数（3）满足插值条件建立方法推导：设s(x)在各节点: 处的二阶导数为。此时s(x)的二阶导数在内节点上连续。令由于s(x)在每个子区间上是三次多项式，记为，故是一次多项式。根据，可建立关于两个节点的一次拉格朗日插值多项式：两边两次积分得：由插值条件可得。代回（*）式，可求得。从而得的表达式如下：二、高等数学在信息科学中的应用目前，信息科学已成为21世纪影响人类文明进步、具有重大意义的学科

7、。信息科学研究的范围十分广泛，涉及到基础学科和应用技术领域的多个层面。除了信息论、控制论、系统科学、计算机科学和思维科学等以外，数学也是信息科学一个重要的基础性工具。高等数学也被广泛地应用于信息科学的各研究领域中。现例举几个实例。例7：概率论在模糊数学中的应用设随机集，记称为落影的稳定函数。对于固定的称为落影的稳定度。落影的稳定函数具有如下性质：。证明：显然。仅证。即。由于，令，则考虑函数在上的最大值。令，得到。故最大值。所以，从而。例8：反向传播学习算法也称为BP算法的例9：微积分在神经网络Hopfeild网络定理中的应用Hopfeild网络是一种网状网络，网络中的每个神经元都可以和其他神经

8、元双向联接，这种联接方式使得网络中每个神经元的输出都能反馈到同一层次的其他神经元。因此它是一种反馈网络。关于Hopfeild网络的稳定性，有如下定理：定理（Hopfeild定理）：设(W,S)是具有n 个神经元的Hopfeild网络（离散或连续），若权矩阵满足，则网洛(W,S)一定能收敛稳定状态。证明：分离散和连续两种情况来证明。先证明离散的网络情况。引入能量函数，则E随状态的变化为。因为，则记，则由离散网络模型知，若，则有，于是可知。若，则。即与同号。因此，所以网络总是朝着能量减少的方向运行，最终稳定在定态。下面考虑连续网络的情况。引入能量函数两边微分，得到=由于，代入上式得，因为是单调函数

9、，则也是单调函数，且，所以，即网络总是朝着能量减少的方向运行，最终稳定在定态。例10：微积分在随机神经网络Boltzmann机中的应用Boltzmann机是随机神经网络的典型代表。在该网络中，由于神经元状态的概率分布采用了物理学中的Boltzmann分布，故称Boltzmann机。物质在转移过程中，由于热骚动而引起系统的不稳定，在热力学中用熵表示系统的混乱无序度量。依照热力学，在神经网络中引入熵的定义：是状态S发生的概率，IR是系统所有可能状态的集合。 在Boltzmann机中，定义神经元状态S是以概率出现的，那么，在保持网络的熵为常数的条件下，使系统平均能量<E>最小的概率公式是什么？上述问题可以转化为如下的条件极值问题：目标函数：<E>=约束条件：解：利用拉格朗日乘数法，构造辅助函数又 令，得到，整理得到 ，记，则，则与统计物理学中的Boltzmann分布是一样的。例11：概率论在遗传算法中的应用遗传算法是模仿生物遗传与进化过程得到的一种随机优化方法.遗传算法是先对群体进行复制，然后交换，最后突变。在实