复变函数与积分变换经典—复变函数第四章小结与习题ppt课件

1、x xy yz zS SN NP P复变函数与积分变换复变函数与积分变换第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1. 复变复变函函数积数积分的分的概概念念2. 柯西柯西古古萨萨基本定理基本定理3. 基本定理的推广基本定理的推广复复合合闭闭路定理路定理4. 原函数与不定积分原函数与不定积分5. 柯西积分公式柯西积分公式6. 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数7. 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系8. 第三章小结与习题第三章小结与习题xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径第四章 级数小结与习题重点与难点重点与难点1内容提要内容提要2典型例题典型例题33一、重点与难点一、重

2、点与难点重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质解解析析在在0)(zzf为为复复常常数数 )(zfnn为为函函数数 1nn 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数二、内容提要二、内容提要1.1.复数列复数列 , 0 数数相应地都能找到一个正相应地都能找到一个正如果任意给定如果任意给定 , ),

3、(时成立时成立在在使使NnNn , 时时的的极极限限当当称称为为复复数数列列那那末末 nn 记作记作.lim nn . 收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n , ), 2 , 1( 其其中中为为一一复复数数列列设设 nn ,nnniba , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和nnns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.2.复数项级数复数项级数,), 2 , 1(为为一一复复数数列列设设 nbannn 1) 定义定义2) 复级数的收敛与发散复级数的收敛与发散0lim1

4、 nnnn 收敛收敛都都收收敛敛与与收收敛敛 111nnnnnnba 充要条件充要条件必要条件必要条件,收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns ,1收收敛敛那那末末级级数数 nn .lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn ,不不收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛假如假如 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为绝对收敛为绝对收敛. 1nn 1nn .111绝绝对对收收敛敛与与绝绝对对收收敛敛 nnnnnnba

5、 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的部分和称为这级数的部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n3.复变函数项级数复变函数项级数 , ), 2 , 1()( 为为一一复复变变函函数数序序列列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 . )(1 nnzf4. 幂级数幂级数1) 在复变函数项级数中在复变函数项级数中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数称为幂级数的级数称为幂级数.,

6、0时时当当 a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, , z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, , 假如假如在在级数发散级数发散, , 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散. .满足满足2)2)收敛定理收敛定理(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三

7、种:对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除0 z外都发散外都发散.此时此时, , 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径方法方法1: 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4)4)收敛半径的求法收敛半径的求法, 0lim 1 nnncc如如果果那末收敛半径那末收敛半径.1 R .

8、, 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如如果果那末收敛半径那末收敛半径.1 R.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 5)5)幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当Rz 时时, 0.)()(nnnzgazgf(2)(2)幂级数的代换幂级数的代换(

9、(复合复合) )运算运算复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性 00)(nnnzzc设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为,R那末那末是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或 01.)(1d)(nnnzaazncf 5. 泰勒级数

10、泰勒级数, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数 1)定理定理 设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn2)常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz,)!2()1

11、(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6(132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7(zzzz ,!)1()1( nznn )1( z内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末析析内内处处处处解解在在圆圆环环域域设设DzfRzzRzf )( , )( 201 6. 洛朗级数1) 定理定理,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其其中中),1,0( nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数为洛朗系数.函数函数

12、)(zf在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗展开式)(zf在圆环域内的洛朗在圆环域内的洛朗(Laurent)级数级数. nnnzzczf)()(0 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的幂项的级数是唯一的, 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .(2) 间接展开法间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法将函数展为洛朗级数的方法(1) 直接展开法直接展开法,d)()(21

13、10 Cnnzfic 根据洛朗定理求出系数根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf 然后写出然后写出三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性. .;21)1(1 nnin解解 11 nn因为因为发散，发散， 121nn收敛，收敛，. 21 1发发散散所所以以 nnin三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性. .;251)2(1 nni解解,226251 nni 因因为为, 0226lim nn. 251 1发发散散所所以以 nni;)3(1 nnni解解 541321 1iiininn因因为为 614121,51311 i .

14、1收敛收敛故故 nnni收敛收敛收敛收敛三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性. .()nni 1123解解 ,)32(1nni 设设innnn321limlim 1 因为因为131 , 1 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知 1)32(1nni绝对收敛绝对收敛.三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性. .例例2 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径.)4(!)3(!)2()1(100022 kknnnnnnzznnznz解解nnncc1lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnn

15、cc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . R得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得 12)4(kkz ., 1;, 0,22knknCn即即因因为为级级数数是是缺缺项项级级数数, 1lim1 nnnCR故故. 1 R例例3 3 展开函数展开函数 成成 的幂级的幂级数到数到 项项. .zeezf )(z3z解解,)(zezeezf ,)()(2zzezezeeeezf zzzezezezeeeeeezf32)()(3)( 由此得由此得,)0(ef ,)0(ef ,2)0(ef .5)0(ef 所以所以.6532 ezezezeeze解析

16、函数展为幂级数的方法解析函数展为幂级数的方法利用定义来求利用定义来求.分析：采用间接法即利用已知的展开式来求分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解解)(21cos izizzzeeeze 因因为为21)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式. .zezfzcos)( 0 znnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以.4cos!)2(0nnnznn )( z由于由于,214iei ;214iei 例例5 5. sin 的的幂幂级级数数展展开

17、开成成把把zzez分析：利用级数的乘除运算较为简单分析：利用级数的乘除运算较为简单.解解,! 0 nnznze因为因为,)!12()1(sin012 nnnnzz故乘积也绝对收敛故乘积也绝对收敛., 内内绝绝对对收收敛敛两两级级数数均均在在 z 2)010()01(0sin zzzez所所以以.30131532 zzzz)( z例例6 6. 0 sec)( 的的泰泰勒勒展展开开式式在在点点求求 zzzf设设 nnzczczcczf2210)(又又,)()(2210 zczcczfzf由泰勒展式的唯一性由泰勒展式的唯一性, 0531 ccc又又,! 4! 21cos42 zzz所以所以)(! 4

18、! 21seccos14422042 zczcczzzz解解 利用待定系数法利用待定系数法 40242020! 4! 2! 2zccczccc 42! 45! 211sec zzz所所以以 2z比较两端系数得比较两端系数得, 10 c,! 212 c,! 454 c例例7 7. 1 )1(1 3内的泰勒展开式内的泰勒展开式在在求函数求函数 zz分析：利用逐项求导、逐项积分法分析：利用逐项求导、逐项积分法.解解 )1(21)1(1 13zz因因为为)1( z所以所以 0321)1(1nnzz22)1(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z例例8 8. 11的的幂幂级级数数展展

19、开开成成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)( 11zezf 因为因为211)1(1)(zezfz ,)1(1)(2zzf , 0)()()1( 2 zfzfz所所以以对上式求导得对上式求导得0)()32()()1(2 zfzzfz0)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff ,3)0(ef ,13)0(ef 故故.! 313! 2313211 zzzeez)1( z例例9 9. 0 )1)(3(785)( 2234的的泰泰勒勒展展开开式式在在点点求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法

20、. 即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后, 应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1( z故故2)1(1322)( zzzzf,) 1()1 (1112 nnnznz)1( z两端求导得两端求导得nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn) 1() 1(2 nnnnznz 2132)1()1(921312)1( z, 0 内内在在