第一章线性空间与线性变换4-7ppt课件

1、线性空间和线性变换线性空间和线性变换第一章第一章 线性映射线性映射第四节第四节 线线性性映映射射一一、 ，有有，满满足足：若若映映射射为为线线性性空空间间，设设定定义义：、FVVVTVV : 112121；)()()()1( TTT ).()()2( TT 21的线性映射，的线性映射，到到为为则称则称VVT.)( 的的像像称称为为称称为为原原像像，其其中中 T为线性映射，为线性映射，则则，如下如下定义定义、例例TTVVT )( : 1 .ET 记记为为为为线线性性映映射射，则则，如如下下定定义义、例例TTVVT 0)( : 221 .OT 记为记为换换称为恒等映射或恒等变称为恒等映射或恒等变称

2、为零映射称为零映射. )( : )( 3的线性映射的线性映射到到为为则则，如下如下定义定义，设设、例例mnmnnmijRRTATRRTaA 则则，任任取取证证： RRm AAAT )()()1(；)()( TT )()()()2( AAT ).( T .的的线线性性映映射射到到为为故故mnRRT性性质质、 2).()( 0)0()1( TTT ；1 0 ，在在线线性性映映射射定定义义中中取取 ；)()()2(11isiisiiiTkkT 线线性性相相关关，则则线线性性相相关关，设设)( )( )( )3(2121ssTTT 2121使使，零零的的数数线线性性相相关关得得存存在在不不全全为为，由

3、由证证：sskkk 0 2211 sskkk 0)( )()()2( )1(2211 ssTkTkTk 得得：，由由性性质质)0() (2211TkkkTss 线性相关线性相关，)( )( )(21sTTT 未未必必无无关关，线线性性无无关关时时，当当注注：)( )( )( 2121ssTTT . )( : 011121 23为为线线性性映映射射则则，如如下下定定义义，设设例例、TATRRTA 0111线性无关，线性无关，取取 .00111011121)(线线性性相相关关但但 T线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示二、二、 若若的线性映射，的线性映射，到到为为的基，的基，为线性空间为线性空间，

4、的基，的基，为线性空间为线性空间，设设矩阵表示：矩阵表示：、 121221121VVTVVmn njaTmiiijj 2 1 )(1， . 2121212222111211下的矩阵下的矩阵，与基与基，在基在基为线性映射为线性映射则称则称mnmnmmnnTaaaaaaaaaA )1(ATmn) () ()1( 2121 ，可可记记为为关关系系式式注注： . 1 1 )()( : 123234下下的的矩矩阵阵，与与基基，在在基基求求映映射射，为为线线性性则则，如如下下定定义义、例例xxxxxTTxfxfTxRxRT ；解解：200100)1( xxT ；200111)(xxxT ；2202102)

5、(xxxxT .30103)(223xxxxT . 1 1 )()( : 123234下下的的矩矩阵阵，与与基基，在在基基求求映映射射，为为线线性性则则，如如下下定定义义、例例xxxxxTTxfxfTxRxRT ；解解：200100)1( xxT ；200111)(xxxT ；2202102)(xxxxT .30103)(223xxxxT 300002000010 A所求矩阵为所求矩阵为 )( 22121212121221121，下下的的坐坐标标为为，基基在在，下下的的坐坐标标为为，在在基基，下下的的矩矩阵阵为为，与与基基，的的线线性性映映射射且且在在基基到到为为的的基基，为为，的的基基，为为

6、，设设原原像像与与像像的的坐坐标标关关系系：、YTXAVVTVVmnmnmn AXY 则则，由由已已知知得得：证证：ATmn) () ( 2121 ，Xn) (21 ，YTm) ()(21 XTXTTnn) () ()(2121 ， XAm) (21 ， )( (21AXm ， AXY 故故. 123)()2( 1 1)1( )()( 122032的坐标的坐标，的像在基的像在基求求下的矩阵；下的矩阵；，与基与基，在基在基求求线性映射，线性映射，为为则则，如下如下：定义定义、例例xxxxgxxxTTdttfxfTxRxRTx ；解解：2001101)1( )1( xxxdtTx ；2202101

7、02)(xxxtdtxTx 2/100100 A所求矩阵为所求矩阵为，下下的的坐坐标标为为，在在基基 23 1)( )2(Xxxg下下的的坐坐标标为为，在在基基2 1)( xxxgT 232/100100 130AXY 相相关关结结论论、 3. )( )1(2121221121ATTaAVVmnnmijmn下的矩阵为下的矩阵为，与基与基，在基在基使使，则存在唯一的线性映射则存在唯一的线性映射的基，的基，为为，的基，的基，为为，设设 ，且且任任取取证证： nnxxxV21211) ( .)( (22121VxxxAnm ，则，则，令令，如如下下令令 )( :21TVVT.21的的线线性性映映射射

8、到到为为则则VVT， 001) ( 211n 1211121211) ()001)( ()( mmmaaaAT ， mnnnmmmmaaaTaaaT212122212212) ()( ) ()( ，同同理理. 2121ATmn下的矩阵为下的矩阵为，与基与基，在基在基故故 下证唯一性下证唯一性 ) () ( 212112121，使使得得，上上的的线线性性映映射射到到设设有有ATTTVVmn ATmn) () (21212 ， ，) () (212211nnTT ，则，则，且且任取任取XVn) (211 XTXTTnn) () ()(2112111 ， ) () (212212XTXTnn ， ，

9、)(2 T .21，故唯一性成立，故唯一性成立TT 则则，下下的的矩矩阵阵为为，与与基基，在在基基，为为下下的的矩矩阵阵，与与基基，在在基基若若的的线线性性变变换换，到到为为，的的基基且且过过渡渡矩矩阵阵为为为为，；，的的基基且且过过渡渡矩矩阵阵为为为为，；，设设 . )2(21212121212212112121BATVVTQVPVmnmnmmnn .1APQB ，由由已已知知得得：证证：Pnn) () ( 2121 ，Qmm) () (2121 ，BTmn) () (2121 ，ATmn) () (2121 ) ( ) (2121PTTnn ， PTn) (21 ， PAm) ( 21 ，

10、 )( (21APm ， .1APQB BQTmn) ( ) ( 2121 ，又又 ，)( (21QBm APQB 故故等等价价与与即即矩矩阵阵BA线性空间和线性变换线性空间和线性变换第一章第一章 值值域域与与核核第第五五节节 值域与秩值域与秩一、一、 .)( 1121值域值域的的为为则称则称的线性映射，的线性映射，到到为为设设值域：值域：、TVTVVT ).()(1VTTR或或记为记为.)( 22的的子子空空间间为为结结论论：、VTR )(dim 3的秩，的秩，称为称为秩：秩：、TTR).(Tr记为记为 )( ，任任取取证证：FTR )( )( 11111TTV，使得使得，则存在则存在)()

11、()(1111 TTT)()(11 TT .)(2的的子子空空间间为为故故VTR则则，下的矩阵为下的矩阵为，与基与基，的线性映射且在基的线性映射且在基到到为为的基，的基，为为，的基，的基，为为，设设值域与秩的求法：值域与秩的求法：、 4212121221121AVVTVVmnmn ；，)( )( )()()1(21nTTTLTR ).()()2(ArTr ，)(TR ，)(TR ，)( )( )(21nTTTL )()1( ，任任取取证证：TR .)( 1 TV使使得得，则则存存在在，nnkkk 2211 ，)()()()( 2211nnTkTkTkT ).( )( )()(21nTTTLTR

12、 ， ，任取任取)( )( )(21nTTTL ，则则)()()( 2211nnTkTkTk ,)( )()( 为为子子空空间间，TRTRTi ，)(TR ).()( )( )(21TRTTTLn ，).( )( )()(21nTTTLTR ，故故 )( )( )(dim)()2(111 TTTLTr， )( )( )(21nTTTr ， ) (21nTr ， ) (21Arm ， )(Ar ；，)( )( )()()1(21nTTTLTR ).()()2(ArTr 核与零度核与零度二、二、 . 0)( 1121的的核核为为，则则称称的的线线性性映映射射，到到为为设设核核：、TVTVVT ).

13、0()(1 TTN或或记记为为.)( 21的子空间的子空间为为结论：结论：、VTN )(dim 3的零度，的零度，称为称为零度：零度：、TTN).(Tnul记为记为 )( ，任任取取证证：FTN . 0)( 0)( TT，则则，000)()()( TTT，00)()( TT.)(1的子空间的子空间为为故故VTN则则，的的基基础础解解系系为为且且，下下的的矩矩阵阵为为，与与基基，的的线线性性映映射射且且在在基基到到为为的的基基，为为，的的基基，为为，设设核核与与零零度度的的求求法法：、 0 421212121221121rnmnmnAxAVVTVV ；，其其中中，inirnLTN ) ( )()

14、1(2121 ).()()2(ArnTnul ).(TN ).(TN 下下的的坐坐标标为为，在在基基且且，任任取取证证：nTN )()1( 21 . )( 0)(21 ATTm下下的的坐坐标标为为，在在基基且且，则则 ，任任取取 21rnL ) ()( 21iniTT ， dim)()2(21rnLTnul ， 21rnr ， . rn rnrnkkk 2211则则)( )()()(2211rnrnTkTkTkT inT ) (21， imA ) (21， )( (21imA ， ，00) (21 m ，0)( T).(TN . )( 21rnLTN ，故故.0 0的的解解为为即即， AxA

15、rnrnkkk 2211).( 21TNLrn ，) ( ) () () (212212121121rnnrnnnnkkk ，rnrnkkk 2211， 21rnL . )(21rnLTN ，；，其其中中，inirnLTN ) ( )()1(2121 ).()()2(ArnTnul ).()()2( (1) .0110 1001 0101 0011 101 110 011 )( : 110202211321 1432132144321332143TNTRATRRBTRRTB及及；下的矩阵下的矩阵，与基与基，在基在基求求的基的基为为，的基，的基，为为，如下如下定义定义，设设、例例 0111102

16、02211321)( )1( 1 T解解：， 1223， 2235)(2 T， 1434)(3 T)( )( )() ( 321321 TTTT， 121422332453，又又AT) () ( 4321321 )( )( )() ( 321321 TTTT， 121422332453，又又AT) () ( 4321321 ，A 0100101010010111121422332453 12142233245301001010100101111A 211121211121 110000110121 )2(A 000000110301)( )( )()( 321 TTTLTR， 22 43214

17、321 ，L，的的基基础础解解系系为为 1130 Ax3213213 113) ( ，3)(321 LLTN线性空间和线性变换线性空间和线性变换第一章第一章 线线性性变变换换第第六六节节 线性变换线性变换一、一、 ，有有，满满足足：上上的的变变换换若若为为线线性性空空间间，设设线线性性变变换换：、FVTVV 1；)()()()1( TTT ).()()2( TT .上的线性变换上的线性变换为为则称则称VT. ) () ( 132133213上上的的线线性性变变换换为为则则，定定义义在在、例例RTaaaaaaTR 则则，任任取取证证： ) ( ) ( 3321321RRbbbaaa ) ( )

18、(321332211aaabababa ， .3上的线性映射上的线性映射为为故故RT，) ()( ) ()(213213bbbTaaaT ) ()()1(221133bababaT ， )()() () (213213 TTbbbaaa ，) ()()2(213aaaT ， ).() (213 Taaa ，. 有有相相同同的的性性质质线线性性变变换换与与线线性性映映射射具具注注：若若线线性性变变换换，上上的的为为的的基基，为为线线性性空空间间，设设矩矩阵阵表表示示：、 221VTVn njaTniiijj 2 1 )(1， 下下的的矩矩阵阵，在在基基为为线线性性变变换换则则称称nnnnnnnT

19、aaaaaaaaaA 21212222111211 )1(ATnn) () ()1( 2121 ，可可记记为为关关系系式式注注： )( 221212121，下的坐标为下的坐标为，在基在基，下的坐标为下的坐标为，在基在基，下的矩阵为下的矩阵为，线性变换且在基线性变换且在基上的上的为为的基，的基，为为，设设原像与像的坐标关系：原像与像的坐标关系：、YTXAVTVnnnn AXY 则则，由由已已知知得得：证证：ATnn) () ( 2121 ，Xn) (21 ，YTn) ()(21 XTXTTnn) () ()(2121 ， XAn) (21 ， )( (21AXn ， AXY 故故. )()3(

20、)( )3 2 1()2( )1( 001 011 111100 010 001 13213213213213213下的坐标下的坐标，在在及及求求下的坐标；下的坐标；，在基在基求求，设设下的矩阵；下的矩阵；，在基在基求求，变为基变为基，将基将基中线性变换中线性变换设在设在、例例 TTTTRT )( )1( 32111，解：解： T，2122)( T，133)( T 001011111 321AT下下的的矩矩阵阵为为，在在基基 321 )2(321下下的的坐坐标标为为，在在基基 321001011111 )( 321下下的的坐坐标标为为，在在基基 T 136. )()3( )( )3 2 1()

21、2( )1( 001 011 111100 010 001 13213213213213213下的坐标下的坐标，在在及及求求下的坐标；下的坐标；，在基在基求求，设设下的矩阵；下的矩阵；，在基在基求求，变为基变为基，将基将基中线性变换中线性变换设在设在、例例 TTTTRT 001011111 (1) :321AT下下的的矩矩阵阵为为，在在基基解解 136 )( 2)(321下的坐标为下的坐标为，在基在基 T的的过过渡渡矩矩阵阵，到到基基，为为基基矩矩阵阵321321 )3( A 321 1321A下下的的坐坐标标为为，在在基基 321011110100 113 136 )(1321AT下的坐标为

22、下的坐标为，在基在基 136011110100 321则则，下下的的矩矩阵阵为为，在在基基，下下的的矩矩阵阵为为，在在基基若若的的基基且且过过渡渡矩矩阵阵为为为为，；，设设上上的的线线性性变变换换，为为线线性性空空间间设设不不同同基基下下的的矩矩阵阵关关系系：、 . 321212121BATCVVTnnnn .1ACCB ，由由已已知知得得：证证：Cnn) () ( 2121 ，BTnn) () (2121 ，ATnn) () (2121 ) ( ) (2121CTTnn ， CTn) (21 ， CAn) ( 21 ， )( (21ACn ， .1ACCB BCTnn) ( ) ( 2121

23、 ，又又 ，)( (21CBn ACCB 故故相似相似与与即矩阵即矩阵BA下下的的矩矩阵阵，在在基基求求，且且，下下的的矩矩阵阵为为，的的基基在在线线性性空空间间设设线线性性变变换换、例例321132123211321 1 222122 21 1 TAVT 001011111 321321C的的过过渡渡矩矩阵阵为为，到到基基，由由基基解解： 1321321 CD的的过过渡渡矩矩阵阵为为，到到基基，由由基基 011110100ADDBT1321 下的矩阵为下的矩阵为，在基在基故故 011110100122212221001011111 011110100221033111 102030001运算

24、运算二、二、 FVST 1上上的的线线性性变变换换，为为线线性性空空间间、运运算算：设设、).()()( )1( STSTST 定定义义为为加加法法：).()( )(2 TTT 定义为定义为数乘：数乘：).()( )3( STTSTS 定定义义为为乘乘法法： )4(可可逆逆，则则称称，设设可可逆逆：TESTTS .1 TSTS的的逆逆变变换换，记记为为称称为为且且相关结论相关结论、 2.)( )1(1上上的的线线性性变变换换都都为为可可逆逆、则则上上的的线线性性变变换换，为为、设设VTTTSTSTVST 为线性变换，为线性变换，只证只证证：证：TS 则则，任任取取 FV )()( STTS)(

25、)( SST )()( STST )()( TSTS )()( STTS )( ST )( TS )( ST .为为线线性性变变换换故故TS加加法法满满足足的的规规律律)2(；TSST ；)()(WSTWST ；TOT .)(OTT 数数乘乘满满足足的的规规律律)3(；TT 1；TT)()( ；TTT )(乘乘法法满满足足的的规规律律)4(；)()(SWTWTS ；)()()(TSSTST ；TWTSWST )(.)(STST .)(WTSTTWS )5(线线性性空空间间，上上的的所所有有线线性性变变换换构构成成线线性性空空间间V).(VL记为记为则则，下下的的矩矩阵阵为为，且且在在基基，设设

26、 )( )6(21BAVLSTn ；的的矩矩阵阵为为BAST ；的的矩矩阵阵为为 AT ；的矩阵为的矩阵为ABTS. 11 ATT的的矩矩阵阵为为可可逆逆时时，当当).()( TT 负负变变换换定定义义：注注：)()()( OTOT 证证：)(0)( TT .TOT 则则，下下的的矩矩阵阵为为，且且在在基基，设设 )( )6(21BAVLSTn ；的的矩矩阵阵为为BAST ；的的矩矩阵阵为为 AT ；的的矩矩阵阵为为ABTS. 11 ATT的的矩矩阵阵为为可可逆逆时时，当当只只证证证证： ，由由已已知知得得：ATnn) () ( 2121 ，BSnn) () (2121 ) () )(2121

27、nnSTTS ， ) (21BTn ， BTn) (21 ， BAn) (21 ， )( (21ABn ， .ABTS的矩阵为的矩阵为故故. 2)2( (1) 5231 )( 121121下下的的矩矩阵阵，在在基基求求可可逆逆；证证明明，下下的的矩矩阵阵为为，在在基基且且设设、例例 TTTATVLT 01 )1( ，解解： A可逆，可逆，A.可逆可逆T 123552312 2)2(211BTT下下的的矩矩阵阵为为，在在基基 11237线性空间和线性变换线性空间和线性变换第一章第一章 线线性性空空间间同同构构第第七七节节 ，有有，满满足足：映映射射若若存存在在为为线线性性空空间间，设设同同构构：

28、、FVVVVV :11 112121；)()()()1( ).()()2( . 2121VVVV 记记为为同同构构，与与则则称称.称为同构映射称为同构映射 . dim 1nFVnV 证证明明：，设设、例例有有则则的的基基，为为，设设证证：VVn 21nnxxx 2211 ) ()( 21，如如下下：令令TnnxxxFV .11映映射射为为则则 nnyyyV 2211且且，任任取取 ) ()(21，则则Tnyyy nnnyxyxyx )( )()(222111 nnxxx )( )()(2211 Tnnyxyxyx) ()(2211 ， TnTnyyyxxx) () (2121， )()( .

29、dim 1nFVnV 证证明明：，设设、例例有有则则的的基基，为为，设设证证：VVn 21nnxxx 2211 ) ()( 21，如如下下：令令TnnxxxFV .11映映射射为为则则 nnyyyV 2211且且，任任取取 ) ()(21，则则Tnyyy nnnyxyxyx )( )()(222111 nnxxx )( )()(2211 Tnnyxyxyx) ()(2211 ， TnTnyyyxxx) () (2121， )()( Tnxxx) ()(21 ， Tnxxx) (21， )( 为同构映射，为同构映射，故故 .nFV 性质性质同构映射同构映射、 2).()( 0)0()1( ；1

30、0 ，在在同同构构定定义义中中取取 ；)()()2(11isiisiiikk )()( )( )()( )3(2121无无关关相相关关，无无关关相相关关，ss 21线线性性相相关关，设设证证：s 0 2211 sskkk 0)( )()()2( )1(2211 sskkk 得得：，由由性性质质)0() (2211 sskkk线性相关线性相关，)( )( )(21s 线线性性相相关关，设设)( )( )(21s 使使，则则存存在在不不全全为为零零的的数数 21skkk0)( )()(2211 sskkk )0() (2211 sskkk0 2211 sskkk 线线性性相相关关，故故s 21使使，则则存存在在不不全全为为零零的的数数 21skk