数值分析报告方案设计习地的题目与答案详解

1、第一章绪论习题一1. 设xO,x*的相对误差为3,求 f(x)=ln x 的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(124)有砂)H瓦护)氐“蟲I )1心罟产4，而已知 x*的相对误差；满足iI r r* I昨皿比警右詁日声(in工比也丄兰工一试指出它们有2. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值， 几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。z1.1021px；= 0.03U 560.40解：直接根据定义和式(122)(123)则得匚有5位有效数字，其误差限，相对误差限有 2 位有效数字，；- 有 5位有效数字，3. 下列公式如何才比较准确？pi_l(1) b .

2、-(2) .，； -； 2解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换 所给公式。(1)rr(2)4. 近似数x*=0.0310,是3位有数数字。15. 计算-【取.- -，利用：；： 式计算误差最小。 十（3_ 2旋代,99 _ 702四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定：|1的数值表盘0.40.50.60.7Ln x-0.916291-0.693147-0.510826-0.35(675用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8 ）。线性插值时，用 0.5及0.

3、6两点，用Newton插值In 0.54 -0 693147 +-0.510826 + 0.6931470.6-0,5(0 54-0.5) = -0 620219限匚:u-rz)=tax,P1 = A J/a 二器如x4x0,04x0.06= 0.0048Newton插值二次插值时，用0.5 , 0.6 , 0.7三点，作二次In 0.54 刘-0.620219 +(0.54 - 0.5)(0.54-0.6) = -0.620219 +(-1 40850) x 0.04 x (-0.06) = -0.616839肉卜不並|(一 0 5)(0 6)(0网一=16區(利兰x 16 x 0.04 x

4、 0 06 x Q 16 玄 0 0010242. 在-4 x 4上给出：的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少？解：用误差估计式(5.8)， = 2./w = er-w= 丸4/(力一內期勺曲 弓卫芽3 |A7d)(g)l 令 上，.卜.: _ _ - I - : I _ _ I: _ _7 1*“因 - -_0问/曰讣 0.0066得3. 若.I -】 -,求- - I和【二 - -.解：由均差与导数关系二【二/（x） = H +d +% + 1 丿=儿严（Q = 0于是一*| .:-.-.-：-4. 若了仗）叫机（X-耳）（xrj（X-耳）巧（

5、工0丄）互异，求 川亦心宀的值，这里p r cos 0,048, = 0.048,/j = 0 1J = -= 0.48 m . ZB K.丄 亠心计算h，用n=4得Newton前插公式N4(=) = Ji+M + 警垃7 +警侬-1)( 一 2) + 学必 一1雄-2)( - 3)=1 00000 + 0.4J- 0.00500 - O 3 - 2.2 x1I 2I 624)误差估计由公式(5.17 )得R4 (0.048)| 等|f(f -l)(z -2)(； -3)(f _4 1.5845xlO-7甘中 二sin 0 6 = 0.565计算 时用 Newton 后插公式x= 0.566,

6、 X. = 0.6, = - = -0 34(5.18)cos 0.566 (州 + th)二人 + Vi +1) + 警 0 +1)0 + 2) + 警 1(1 +1)0 + 习( + 3)= 0 S2534-0 34x - 0 05224 +0.66x-QQS76+1.66x2岂些+ 2亦驳。小24= 0.84405误差估计由公式(5.19 )得|&(0566)| 冬眷收f +1)0 + 2)(f + 3)(/ + 4)附 3w = Xa(2-x)，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x -1)2由p(2)=1求出A=，于是/(x) = ?2-x+l(xl)a = l?(J：-3)344

7、9. 令；一称为第二类 Chebyshev多项式，试 求-的表达式，并证明是-1,1 上带权宀 1：=的正交 多项式序列。解.因二L -1 1 i i. .: “z x 1 E 、sin(? + 1) arccos x爲 S)二-t+i() =w 4-1令忑=cos上片（叽JK也二sin(丹 +1)6 in(ws + 1)000f1210. 用最小二乘法求一个形如 一一的经验公式，使它拟合 下列数据，并计算均方误差Xi192531384419.032,34973.357.8解：本题给出拟合曲线 ，即八丄，故法方程系数4SI-04ZM 4- -*- V-.) = 5= 土才=7277699id爲

8、 y) =Z = 271= 3693215!-0j-0法方程为5ti+5327Z= 271.45327a +72776996 = 369321 5解得；- ,_ ii -ii -M最小二乘拟合曲线为 - ；均方程为P|E = H-(術= 0-0150321| =0.122611. 填空题 满足条件/ -的插值多项式p(x)=().(2) i ：,则 f 1,2,3,4 : =() , f : 123,4,5:=( ).(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则二工(龙：+ 2北)，-1(4) 设加 u是区间0,1 上权函数为p (x)=x的最 高项系数为1的正交多项式序列，其中/ - 1

9、 ,贝UI= ( )，=( )答:(2)/U3/ = 2,/l,23A 习=0(3)2：址0)=吃(才+纠(羽= x4 + 2= 202 0第4章数值积分与数值微分习题41. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.j:讨严心解本题只要根据复合梯形公式（6.11 ）及复合Simpson 公式（6.13 ）直接计算即可。对卷寸，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11 ）求出m，按式（6.13 ）求得八m，积分-1。齐2. 用Simpson公式求积分“，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7 ）得I1 八必 -（1 + 也宀 +訂）=0.63233J0

10、 6由（6.8 ）式估计误差，因 -，故 丄 C）U1 o0 646x12即vin-Jm取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5.用Romberg求积算法求积分 ，取；-解：本题只要对积分 力使用Romberg算法（6.20 ）,计算 到K= 3,结果如下表所示。00 63994010.6452350.63233320.635410O.63213E0.63212230.6329430.6321210.6321200.632120于是积分一 ：，积分准确值为0.7132726. 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.st*討必解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。工_丄由于

11、区间为，所以先做变换二 于是I -0.555556 x(l,774597atfa8+(l -0.774597)2 - aiU7M) +0-888839tf05= 0.718252本题精确值：-2 = 0.7182818287.用三点Gauss-Chebyshev 求积公式计算积分解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算于是 - ,因n=2,即为三点公式，于是,即2上+168. 试确定常数A, B, C及a,使求积公式即恥-4/H）+鸟 Y畑有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确 度是多少.它是否为Gauss型的求积公式？ 解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足

12、的方程，令对公式精确成立，得到A + B + C=dx=4（1）2-aAaC= f 入必二 0（2）* 2/K + /C 二= 丄23-a3+C=O（4）a由（2）（ 4）得A=C,这两个方程不独立。故可令，得a2A+a*C =山 5（ 5）（12 10 16由（3）（5）解得 ，代入（1）得:则有求积公式令 : 公式精确成立，故求积公式具有三点求积公式最高代数精确度为5次，5次代数精确度。故它是Gauss型的第五章解线性方程组的直接法 习题五1. 用Gauss消去法求解下列方程组.fl1 . * o解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。再=-154x

13、153 = -177.69=-60（-4 += 476.92西=4（9-黒-爲）二2刀蕊 故2. 用列主元消去法求解方程组2xx -3 + 3z3 = 15-18 不 1 + 3 叼 + 3z3 = -15心十也并求出系数矩阵A的行列式detA的值解：先选列主元-，2行与行交换得-18冲叫二-183-1_1亍12-33151116 消元-1731718-153163行与2行交换1-1-133-1-15-183-1-1507173107173161876186750722660_ 16i3消兀77回代得解 吃-3rx2 2,Xj - 1行列式得7 22 detA= -18- = -666 73.

14、用 Doolittle分解法求111硏+产+評111o亍可+才兀1十弓也=8+ 勺 + 2 也 8解：由矩阵乘法得14A=LU= 一321 41-36 111561 160451315再由一求得 = (9-154/由川-解得x = (-227 08,476 92-177.69/4. 下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是 否唯123A =241彳167解：A中I ，若 AM1 1 11 2 6 2 2 1251533161546 能分解步分解后，11-: 1 -11，相互矛盾，故 A不能分解，但戸，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B,显然-.-，但它仍可分解为_1：11

15、1 -B =2 100-1? 1_o0 42 一2-分解不唯一，为一任意常数，且 U奇异。C可分解，且唯卩 1 2 6 _0=2 1136 3 1_1 _5. 用追赶法解三对角方程组 Ax=b,其中2-i0001T2-1000P-12-100b0-12-1000-120 解：用解对三角方程组的追赶法公式（）和（）计算得123401= _才炖=_亍炖=一才，灿=_弓.3456a. = 2,a2 -= 一卫 = 一卫5 - T23 A 55 11111*_,5 2 1 1 1 r亍宁亍亍&八6r 3*2 3 66. 用平方根法解方程组1648-445-4=38-422B10k解：用：分解直接算得4

16、= 1 22-33由：及- J求得7. 设*用，证明亦虬 解: 即卜，另一方面眩7;十卅+尤S段創彳1 =啡I故 “ I-_卩6 0.5& 设A 。】计计算A的行范数，列范数及F-范数和2 范数解：. -l,:-ata =0.37 0.3310.33 0.34（） = 0.68534故制空=J0.68534 = 0.827859. 设M为上任一种范数，丨一是非奇异的，定义啊|H，证明厂円門证明：根据矩阵算子定义和定义，得IM亠I如亠jwn令S 因P非奇异，故x与y为一对一，于是制户七十侶|10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.；40-179-*240-179 5-3i9ir24

17、0 jt3 M-319.512403S B34 即处7，即（卫+剑）0十&）=心解:记4 二240-319_-179240（54 s-0 5-0.50则Ax = b的解（讨，而（乂 +期）（疋十和亠的解（卄斫（诃故 IK 二 4,|阖L 二 4宀丄严499 179240卩曲(机廿吐测626.2|-ML-0-5j|A-lL|L = 0.56012由(3.12 )的误差估计得CondA) i-tLA JL = 56012 1.274k別 0.43988圖L刃卅Lio表明估计 阖L略大，是符合实际的。11. 是非题(若是在末尾()填+,不是填-):题目中(1)若A对称正定，一丁,贝y是上的一种向量范

18、数(2)定义()他)二 maxEr jiff是一种范数矩阵(3)定义I心茁严是一种范数矩阵(4)只要畑上疋0，贝y A总可分解为A=LU,其中为单位下三角阵，U为非奇上三角阵(5) 只要 ，则总可用列主元消去法求得方程组(6)若A对称正定，则A可分解为話-工，其中L为对角元素为正的下三角阵(7)对任何二-从都有HL-(8)若A为正交矩阵，则-1答案:(1) ( + ) (2) (-) (3) ( + )(4)(-)(5) ( + ) (6) ( + ) (7)(-)(8)(+ )第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A,序列收敛于零矩阵解：由于而-2.方程组考查用Jacobi法

19、和GS法解此方程组的收敛性(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以；-计算到5-12为止A =解：因为24-3210具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。(2) J法得迭代公式是计 W*（12十2韵射十習）x严詁（20 +屮）_鸟皆）x严）二丄（3-勿妁+玄护）卞=0丄取- 1 - ，迭代到18次有 十二(-3.999996,2.999974,1 99999)7 |Am-?1&)|L 14.85，取 K= 15上仁一In 对于 GS法 ： ： -： 154252 07944“-42，取 K= 8对于SOF法RS3.4001，取 K= 58. 填空题J法是收敛的，R （吩-血成= -I

20、n 0 8二0一223）0丄20 -1B =：G =2（3）J法迭代矩阵是-2 o,GS法迭代矩阵0 -L 3L 3 J10可要使： -|应满足（）.（2）已知方程组Jacobi迭代法是否收敛（）1 2 0.321h &2阵是（）设方程组Ax=b,其中，则解此方程组的.它的渐近收敛速度 R（B）=（）.2 1 14其j法的迭代矩GS法的迭代矩阵是（）用GS法解方程组方法收敛的充要条件是1（5）给定方程组（）,且Ovsv 2时SOF迭代法收敛. ，其中a为实数， a满足（）.門卜1屮川勾M,a为实数.当a满足（4）满足-/满足- 1第七章非线性方程求根习题七1. 用二分法求方程.:-丨-的正根，

21、使误差小于0.05解 使用二分法先要确定有根区间o本题f(x)=x2-x-仁0,因 f(1)=-1,f(2)=1, 故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表N%bn跖F(X)符号0121.511.521.75+21.51751 625+31.51 6251 56254L56251 6251 59375-一其误差1 三2. 求方程1 -在=1.5附近的一个根，将 方程改 写成下列等价形式，并建立相应迭代公式X = 1 + % = 1 十(1) ,迭代公式I(2) 八丁,迭代公式一 :1 -.1 11,迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种

22、收敛最快的方 法求具有4位有效数字的近似根7的 / 八 怖e、-i= 1 + We1.3T1.6 eCO二飞解：(1)取区间且，在131 血且卩3 = -?,在ii血中0.4880.911,则 l1 ,满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2 ）评U）二軌+ H ,在1.3,1 q 中 x）e131.6,且 机却+宀，在口1可中有|0.46=1,故迭代收敛。（3）厂一 : - 在一附近,故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小， 故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取：1 ：，贝UXj =1481248,1； = 1.472706； x3 = 1.468817, j4 =1.4

23、67048Xj = 1.466343, =1.465877, = 1.465710, xe =1465634可=1.46559910 = 1.4655S3n = 1.465577 Ia =1465574x13 =1 465572, x14 =1.4655723. 设方程：-:的迭代法2=4 + -cos（1）证明对 1 ,均有,其中为方程的根.（2）取h =4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.（3）此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论解：（1 ）迭代函数,对“有 3 （P （兀）艺茂故炸 G） （-00+00）2 ”0 （对二一 一sin 工(2)取，则有各次迭代值Xj = 3.5642, x2 =3.3920 =33541Fzt = 3.3483 xj = 3.3475,1(, =3.3474, = 3.3474取-八：-,其误差不超过 故此迭代为线性收敛4. 给定函数】：，设对一切X,幕存在，而且二二 -.证明对