河南省郑州市七校联考2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

1、2017-2018学年河南省郑州市七校联考高二 （上）期中数学试卷（理 科） 一、选择题（本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知 ab, cd，且c, d 不为 0,那么下列不等式一定成立的是（ ） A . ad bc B. ac bd C. a- c b- d D . a+cb+d 2. 不等式(x - 1) (2 - x) 0 的解集为( ) A . x|1 w xw 2 B . x|xw 1 或 x 2 C. x| 1v xv 2 D. x|xv 1 或 x 2 3在数列an中，若 a1= - 2,且对任意的 n

2、N*有 2an+1=1+2an,则数列an前 10 项的和为( 5 R A . 2 B. 10 C . . D ., 2 4 4.已知等比数列 an满足 a1=3, a+a3+a5=21，贝 U a3+a5+a7=( 5.在厶 ABC 中，a=x, b=2, B=45 若此三角形有两解，则 x的取值范围是 A . x 2 B . xv 2 C . - a2 - 3a 对任意实数 x 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ x A. - 1 , 4 B . (- s,- 2 U 5, +s) C. (- s,- 1 U 4, +呵 D . - 2, 5 &若变量 x, y 满足约束条件

3、1 ：,且z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m- A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 则 BC 的长为（ n=（ ） A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 9.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 是60m，则河流的宽度 BC 等于（ ） A . m B , C 的俯角分别为 75 30此时气球的高 B . -1 - m C . - m D . ： ： .； - m 10.在 ABC 中，角 A , B, C 的对边分别为 2c 成等比数列，则 cosAcosB=( ) A B . .* a, b, c,若 A , B , C 成等差数列，2a,

4、 2b , C D -2 3 112 12 3 11.已知数列an:石，W + Q， 一 + 一+ 匕 u D 那么数列 bn的前 n项和 Sn为 A .-B.如 C .匹 D . n+1 n+1 n+1 4 4 4 ( ) 5n n+1 ，若bn=v 12.已知各项均为正数的等比数列 为满足 a7=a6+2a5，若存在两项 am,如使得，且；丄一 =4ai. 则一+上的最小值为( m n A 丄 二、填空题(本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分) 亠 1 1 1 13. - 已知数列an中，a1=1 且 - =+ . ( n an+l an 14. 在 ABC 中，角 A , B,

5、 C 的对边分别为 a, N ),贝 U a10= b, c,已知 bcosC+ : bsinC - a- c=0，则角 y - 60 值为 10,则 a2+b2的最小值为 _ . 16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列an称为斐波那契数列”该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属 性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割 列an的每一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列 的值是 15.设实数 x,

6、 y 满足约束条件 若目标函数.06180339887 .若把该数 bn，在数列bn中第 2016 项 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 2 17.已知关于 x的不等式 kx - 2x+3kv 0. (1) 若不等式的解集为 (2) 若不等式的解集为 x| xv- 3 或 x- 1，求 k 的值; ?，求实数 k 的取值范围. 18.在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. cosA i 2cosC 2c a 已知 casB 求一;的值; (2)若 cosB= ABC 的周长为 5,求 b 的长. 19. 己知数列an的前 n项和 Sn=i厂亠11

7、 , n N* 2 (1) 求数列an的通项公式； (2) 设 bn=2an+ (- 1) 求数列bn的前 2n项和. 20. 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知丄一=- c cosC (1) 求角 C 的大小， (2) 若 c=2，求使 ABC 面积最大时 a, b 的值. 21某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售 Q (万件)与广告费 x (万元)之间的函数关系为 Q= L (x 0).已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生 x+1 产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元，若每件销售价为 平均每件生产成本的 150% ”与

8、 年平均 每件所占广告费的 50% ”之和. (1) 试将年利润 W (万元)表示为年广告费 x (万元)的函数； (2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ 22 .已知函数 f (x)满足 f (x+y) =f (x) ?f (y)，且 f (1)詰. (1) 当 n N*时，求 f (n)的表达式； (2) 设 an= n?f (n), n N*，求证 a1+a?+a3+anb, cd，且 c, d 不为 0,那么下列不等式一定成立的是( ) A ad bc B. ac bd C. a- c b- d D a+cb+d 【考点】不等关系与不等式. 【分析】a b,

9、 cd，根据不等式的性质即可得到答案. 【解答】 解：令 a=2, b= - 2, c=3, d=- 6, 则 2X 3v (- 5) (- 6) =30,可排除 A 2X(- 6)v (- 2 )X 3 可排除 B; 2- 3 b, c d, a+c b+d (不等式的加法性质)正确. 故选 D. 2不等式(x - 1) (2 - x) 0 的解集为( ) A . x|1 w xw 2 B . x|xw 1 或 x 2 C. x| 1 x 2 D. x|x 2 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】此题是 x的系数不为正的二次不等式，可转化为 x 的系数为正的整式不等式然后再 利用二次不等

10、式的解法即可求解. 【解答】解：( x - 1) (2 - x) 0, ( x - 2) (x - 1)w 0 结合二次函数的性质可得解集为 1 w xw 2. 故选 A. 3. 在数列an中，若引=-2，且对任意的 nN*有 2an+1=1+2an,则数列前 10 项的和为( ) 5 5 A . 2 B. 10 C . D ., 2 4 【考点】数列递推式；数列的求和. 【分析】由已知数列递推式可得数列 an是公差为的等差数列，代入等差数列的前 n项和公 式得答案. 【解答】解：由 2an+1=1 +2an,得 2an+1 - 2an=1 ,则；亠“ 一.-三 数列an是公差为一的等差数列，

11、又 a1=- 2 , 4. 已知等比数列an满足 ai=3, 81+33+35=21，贝 y as+a5+a7=（ ） A . 21 B . 42 C . 63 D . 84 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由已知，3i=3 , 81 + 83+85=21，禾 U 用等比数列的通项公式可求 q，然后在代入等比数列 通项公式即可求. 【解答】解：I 81=3, 81+83+85=21 , o A j_ I, 4 2 , q +q +1=7, 4 2 . q +q _ 6=0, 83+85+87=屯 1 厂一 JJ =3 x（ 2+4+8）=42. 故选：B 5. 在 ABC 中，8=x,

12、b=2, B=45 若此三角形有两解，则 x 的取值范围是（ ） A . x2 B . xv 2 C . :D. 【考点】正弦定理的应用. 【分析】利用正弦定理和 b 和 sinB 求得 8 和 sinA 的关系，利用 B 求得 A+C ；要使三角形两个 这两个值互补先看若 A 180与三角形内角 和矛盾；进而可推断出 45v A v 135若 A=90,这样补角也是 90 解不符合题意进而可推 断出 sinA 的范围，禾ij用 sinA 和 8 的关系求得 8 的范围. 8=2 si nA A+C=180 - 45 =135 A 有两个值，则这两个值互补 若 A 90 这样 A+B 180不

13、成立 45v Av 135 又若 A=90，这样补角也是 90 一解 所以一v si nA v 1 2 a=2=； IsinA 所以 2 v av 2 故选 C 6 .在 ABC 中，A=60 AB=2，且 ABC 的面积为：，贝 U BC 的长为（ ） S1O-1OX(-2 【考点】余弦定理. 【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把 AB , sinA,已知面积代入求出 AC 的长，再利 用余弦定理即可求出 BC 的长. 【解答】解：在 ABC 中，A=60 AB=2，且 ABC 的面积为亚， 解得：AC=1 , 2 2 2 由余弦定理得：BC2=AC 2+AB - 2AC ?AB ?co

14、sA=1 +4 - 2=3 , 则 BC= * 故选：B. 7.若关于 x的不等式 x+二 a2 - 3a 对任意实数 x 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) x A . - 1 , 4 B . ( - a, - 2 U 5, +8) C. (- ,- 1 U 4, +) D. - 2, 5 【考点】函数恒成立问题. 【分析】利用基本不等式求出不等式 x+ 的最小值为 4,转化 4a2- 3a,由此解得实数 a 的 取值范围. 【解答】解：/x0，不等式 x+门 厂:=4,当且仅当 x=2 时，表达式取得最小值为 4, 由关于 x的不等式 x+ a2 - 3a 对任意实数 x 0 恒成

15、立， 可得 4a2 - 3a,解得-1 aw4, 故选：A . 8 若变量 x, y 满足约束条件1 x+yC 1 ,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m- n=( ) A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论. 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y，得 y= - 2x+z, 平移直线 y= - 2x+z，由图象可知当直线 y= - 2x+z 经过点 A , 直线 y= - 2x+z 的截距最小，此时 z 最小， ry= - 1 - 1

16、 B C. 2 D. 2 AB?AC?s inA= 2 由， ，解得* -, 即 A (- 1,- 1),此时 z= - 2 -仁-3，此时 n= - 3,平移直线 y= - 2x+z，由图象可知当直线 y= - 2x+z 经过点 B , 直线 y= - 2x+z 的截距最大，此时 z最大, 即 B (2,- 1),此时 z=2X 2- 1=3，即 m=3, 则 m - n=3 -( - 3) =6, 故选：B. 【解答】解：如图，/ DAB=15 tan45& - tan30* l+tan45Q tan30Q 在 Rt ADB 中，又 AD=60 , DB=AD ?tan15=60X

17、( 2 - -) =120 - 60. 在 Rt ADC 中，/ DAC=60 AD=60 , DC=AD ?tan6060 一. BC=DC - DB=60 一 - =120 (- 1) ( m). 河流的宽度 BC 等于 120 ( - 1) m.x=2 9.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 是60m，则河流的宽度 BC 等于（ ） B , C 的俯角分别为 75 30此时气球的高 A.、江 4”# :厂 m B. - m 【考点】解三角形的实际应用. C.厂上- m D. y： - m 【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出 得到 DC 和 DB 的长度，作差后可得答案.

18、15 的正切值，然后通过求解两个直角三角形 / tan 15 =tan (45 - 30 =2 -二. 解得2 角 A , B, C 的对边分别为 a, b, c,若 A , B , C 成等差数列， 2a, 2b , cosAcosB=( ) C 2 - 2 C .- 10.在 ABC 中， 2c 成等比数列，则 A . B . 4 6 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】先根据 A , B, C 成等差数列和三角形内角和定理求出 可知 b2=ac 代入余弦定理求得 a2+c2 ac=ac,整理求得 a=c, 和定理求出 A 和 C,最后求出式子的值. 【解答】解：由 A , B ,

19、 C 成等差数列，有 2B=A +C (1) / A , B , C ABC 的内角， A+B+C= n (2). ir 由(1) (2)得 B= . 由 2a, 2b, 2c 成等比数列，得 b2=ac, 由余弦定理得，b2=a2+c2 2accosB JI 2 把 B= .、b =ac 代入得， B 的值, 即得 A=C, 根据等比中项的性质 最后利用三角形内角 a2+c2- ac=ac, 2 即(a - c) =0，贝 y a=c, 7T 从而 A=C=B= cosAcosB= =, r 故选 A. 11.已知数列an:-, 那么数列bn的前 n项和 Sn为( . n 4n _ 3n 5

20、n B .而 C .荷 D . Ml 数列的求和. 先确定数列 an的通项，再确定数列 ，若bn= r A .,. n+1 【考点】 【分析】 【解答】 解：由题意，数列an的通项为 bn的通项，禾 U 用裂项法可求数列的和. an= n+1 1 1 1 =4 ( ) 1 1 +一 - bn=. Sn=4( 1-Hi 3 故选 B. n n+1 1)=4 1 4n (1.：厂)=:!- 3 ， 12.已知各项均为正数的等比数列 an满足 37=36+235，若存在两项 am, an使得聲=4ai, 则+的最小值为（ ） m n A A.- 【考点】 5 9 25 B . C . D . 3 4

21、 6 基本不等式；等比数列的通项公式. 【分析】 由 a7=a6+2a5求得 q=2,代入，： r 厂丄，】求得 m+n-6,利用基本不等式求出它的最 小值. 【解答】解：由各项均为正数的等比数列 a.满足 a7=a6+2a5，可得-, i - , 2 q - q- 2=0 , q=2 . ， qm+2=162m+n-2=24,A m+n=6. ,当且仅当1 =时，等号成立. ID n 6 m rt 6 IEI n 6 2 m n 故二的最小值等于：, ID n 2 故选 A. 4 个小题，每题 5 分，共 20 分） 111 * nt -=匸+= （n N ）,贝 V aio= an+l a

22、n 3 【考点】等差数列的通项公式. 1 1 . 1 【分析】由数列递推式可知数列 是以一一为首项，以 为公差的等差数列，由此求得 an al 3 数列an的通项公式，则答案可求. 1 1 1 【解答】解：由 =+匸， an+l 3 1 1 数列 是以一为首项， an al 1 一 小+2 则 - - an . 3 1 则 T 故答案为：.二、填空题（本题共 13.已知数列an中，ai=i 且 1 1 1 得 - =-一 得,I I ， 以.为公差的等差数列, 14.在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 bcosC+ :_bsinC - a-c=0，则角 【考

23、点】正弦定理. 【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到 cosB=，结合 B 的范围即可得解 B 的值. 2 【解答】 证明：在厶 ABC 中，I bcosC+tjbsinC - a- c=0, 利用正弦定理化简得： sinBcosC+ _sinBsinC - sinA - sinC=0 , 即 sinBcosC+ sinBsinC=sinA +sinC=sin ( B+C) +sinC=sinBcosC +cosBsinC+sinC=sinBcosC +sinC (cosB+1), 7T i _sinB=cosB+1，即 sin ( B - ) = _ , / Ov Bv n, - 一

24、 v B - V , 6 6 6 B - = ，即 B= . 6 6 3 7T 故答案为：. - y-60, b0)的最大 值为 10,则 a2+b2的最小值为 二 13 【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式对应的平面区域，禾 U 用线性规划的知识先求出 1 9 本不等式求 -.的最小值. a, b 的关系，然后利用基 【解解：由 z=ax+by (a0, b0) 得 y= b 作出可行域如图: / a 0, b 0, 平移直线 且截距最大z 也最大. y= 一二门上，由图象可知当 二直线 y= 的斜率为y= 经过点 A 时, 此时 z=4a+6b=10,由3x - y- 6=0 i -

25、 y+2=0 ，即 A (4, 6). 即 2a+3b- 5=0, 即(a, b)在直线 2x+3y-5=0 上， a2+b2的几何意义为直线上点到圆的距离的平方, 则a2+b2的最小值为 d*， 16意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列an称为斐波那契数列”该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属 性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割 .06180339887 .若把该数 列an的每一项除以 4 所得的余数

26、按相对应的顺序组成新数列 bn，在数列 bn中第 2016 项 的值是 0 . 【考点】数列的应用. 【分析】根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论. 【解答】解：1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13,除以 4 所得的余数分别为 1, 1 , 2, 3, 1 , 01 , 1, 2 , 3, 1, 0， 即新数列bn是周期为 6 的周期数列， 二 b2O16=b236x6=b6=0 , 故答案为：0 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 2 17.已知关于 x的不等式 kx2-2x+3kv 0. (1) 若不等式的解集为x|xv- 3 或 x- 1，求 k 的

27、值； (2) 若不等式的解集为？，求实数 k 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】(1)根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出 k 的值;则圆心到直线的距离 d=丨-5| 二 5 (*+护 V13 故答案为:. 2 (2)根据不等式 kx2-2x+3kv 0 的解集为？，讨论 k 的取值，求出结果即可. 【解答】 解： (1)由不等式的解集为x|xv- 3 或 x - 1, 可知 k v 0， - 3 和-1 是一元二次方程 kx2 - 2x+3k=0的两根， 所以. 解得 k=-; 2 (2)因不等式 kx2 - 2x+3kv 0 的解集为?, 若 k=

28、0，则不等式-2x v 0, 此时 x 0，不合题意； f k0 | A=4- 4kX3xC 解得 (1) 求二2-的值； sinA (2) 若 cosB= , ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 【考点】正弦定理的应用；余弦定理. 【分析】(1)利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出 -的 sinA 值. (2)利用(1)可知 c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出 b 的值. ” ” “厂，cosA - 2cosC 2c - a , cask - 2cosC 2sinC - sinA 【解答】 解：(1)因为 - : - :所以 一 COSD D CO

29、SD sino 即：cosAsinB - 2sinBcosC=2sinCcosB - cosBsinA 所以 sin (A+B) =2sin ( B+C),即 sinC=2sinA 所以H=2 sinA (2)由(1)可知 c=2a a+b+c=5 2 2 2 b2=a2+c2 - 2accosB cosB= 4 解 可得 a=1, b=c=2 ； 所以 b=2综上，实数 k 的取值范围是(0, 18 在 ABC 中，内角 A , B, C 的对边分别为 cosA - 2ucisC 2c - a a, b, c.已知 cosB 19.己知数列an的前 n项和 Sn=i厂亠11 , n N* 2

30、 (1) 求数列an的通项公式； (2) 设 bn=2an+ (- 1) 求数列bn的前 2n项和. 【考点】数列的求和；数列递推式. 【分析】(1)求得首项，再由 n换为 n - 1，相减可得数列的通项公式； (2)求得 bn=2n+ (- 1) n?n, n为奇数时，bn=n; n为偶数时，bn=3n .运用等差数列的求和 公式计算即可得到所求. 2 * 【解答】解：(1) Sn= 11 , n N , 2 可得 a1=S1=1, 综上可得，an=n , n N ; (2) bn=2n+ (- 1) n?n, n为奇数时，bn=n; n为偶数时，bn=3n. 即有数列 bn的前 2n 项和

31、为(1+3+5+-+2n - 1) + ( 6+12+-+6n) =,n (1+2n- 1) +*n (6+6n) =3n1 2+4n. 1 求角 C 的大小， 2 若 c=2，求使 ABC 面积最大时 a, b 的值. 【考点】正弦定理；余弦定理. 【分析】(1)已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角 和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值，即可确定出 C 的 度数； (2)利用余弦定理列出关系式，将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值， 进而确定出三角形 ABC 面积的最大值，以及此时 a

32、 与 b的值即可. 【解答】 解：(1)v A+C= n- B，即 cos (A+C) = - cosB, 当 n 1 时, an=Sn Sn-1 = 2 门+n ST)% - 1 2 =n, 20.在 ABC 中，角 A , B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 2且+匕亡口5(射1) c cosC 整理得：2s in AcosC+si nBcosC= - sin CcosB，即2si nAcosC=si nBcosC+cosBsi nC=sin ( B+C) =sinA , / si nA 工 0, . cosC= :, / C为三角形内角, 2兀 - C=.: (n)T c=2, cosC=-由正弦定理化简已知等式= - cosE sinC cosC 由余弦定理得： 2