河北省2019年中考数学复习圆第30讲与圆有关的位置关系试题(含解析)

1、第 30 讲 与圆有关的位置关系 河:1匕中考遵么考 1. (2012，河北)如图，A 5, 0),氏一 3, 0)，点 C 在y轴的正半轴上，/ CBO= 45, CD/ AB / CDA= 90。点P从点Q4 , 0)出发，沿x轴向左以每秒 1 个单位长度的速度运动， 运动时间为t s. (1) 求点C的坐标； (2) 当/ BCP= 15时，求t的值； (3) 以点P为圆心，PC的长为半径的O P随点P的运动而变化，当O P与四边形ABCD勺边 (或边所在的直线)相切时，求t的值. r 1 c A 第 1 题图 【思路分析】(1)由/ CB8 45。，/ COB为直角，得/ BC= 45

2、 .所以/ BCOZ CBO 可得OC= OB= 3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点 C的坐标.(2)需要对点P的位置进 行分类讨论当点 P在点B右侧时，由/ BCO= 45，用/ BC(Z BCP求出/ PC8 30 . 又OO 3，在 Rt POC中，求出OP的长由Pg OQh OP求出运动的总路程，即可求出此时的 时间t.当点P在点B左侧时，用/BCQ-Z BCP求出/ PC= 60 .又OG= 3，在 Rt POC中, 求出OP的长，由P3 OQ OP求出运动的总路程，即可求出此时的时间 t.(3)当O P与四边形 ABCD勺边(或边所在的直线)相切时，分三种情况讨论当O P与BC

3、边相切时，利用切线的 性质得到BC垂直于CR可得出/ BCP= 90，由/ BC= 45，得到/ OCP= 45，即此时 COP 为等腰直角三角形，可得出 OP= OC由OO 3，得到OP= 3,用OG OF求出点P运动的路程， 即可得出此时的时间t.当O P与CD相切于点C时，点P与点O重合，可得出点 P运动的路 程为OQ的长，求出此时的时间 t.当O P与AD相切时，利用切线的性质得到 A为切点，由 PC= PA且PA= 9 t , PO= t 4,在 Rt OCP中，禾U用勾股定理列出关于 t的方程，求出方 程的解得到此时的时间 t.综上，得到所有满足题意的时间 t的值. 解：/ CBO

4、= 45,/ COB= 90, / BCO= 90 45= 45 . / BCO=Z CBO O(= OB= 3. 点C在y轴的正半轴上， 点 C的坐标为(0 , 3) (2)分两种情况考虑. 当点P在点B右侧时，如答图. / BCP= 15,/ BC= 45, / PCO= 30 . OP= CO- tan 30 = 3. 此时t = 4+ 3. 当点P在点B左侧时，如答图. / BCP= 15,/ BC= 45, / PC= 60 . OP= CO- tan 60 = 3 3. 此时 t = 4 + 3；二 3. 当/ BCl 15。时，t 的值为 4+，3 或 4 + 3 3. 由题意，

5、知若O P与四边形ABC啲边相切时，有以下三种情况. 如答图，当O P与BC相切于点C时， 有/ BCP= 90 . / BCO= 45,./ OCP= 45 . OP= 3，此时 t = 1. 如答图，当O P与CD相切于点C时， 有PCX CD即点P与点O重合，此时t = 4. 如答图，当O P与AD相切于点A时， 有 PC= PA PC = PA= (9 t)2, PO= (t 4)2. (9 1)2= (t 4)2+ 32. 解得t = 5.6. t的值为 1 或 4 或 5.6. 2. (2018，河北，导学号 5892921)如图，点A在数轴上表示的数为 26,以原点O为圆心, 4

6、 OA的长为半径作优弧 AB，使点B在点O的右下方，且 tan / AOB=-，在优弧 AB 上任取一点 3 P,且能过点P作直线I / OB交数轴于点 Q设Q在数轴上表示的数为 x,连接OP 3 备用圏 第 2 题图 (1) 若优弧 AB 上的一段 AP 的长为 13 n ,求/ AOP勺度数及x的值; (2) 求x的最小值，并指出此时直线 I与 AB 所在圆的位置关系； (3) 若线段PQ的长为 12.5，直接写出这时x的值. 【思路分析】(1)利用弧长公式求出圆心角的度数利用 PQ/ OB得/ PQ8/ QOB根据 4 OP 4 tan / AO& 3，得OQT 3,求出0Q勺长即可解决

7、问题.(2)当点Q在点0的左边，直线PQ与O O 相切时，x的值最小.(3)因为P是优弧 AB 上的任意一点，所以点P的位置分三种情形， 分别 求解即可解决问题. 解：(1)由叭26 = 13 n解得n= 90. 180 / AOP= 90 . / PQ/ OB / PQO=/ QOB 4 OP tan / PQ8 tan / QO& -= . 3 OQ -OO 39. 39 x = 2 . 如答图.当点Q在点O的左边，直线PQ与O O相切时，x的值最小. 在 Rt OP(中, O(= O严 4= 32.5 , 5 此时x的值为32.5. (3) 分三种情况： 如答图，过点 O作OHL PC于

8、点H 设 OH= 4k, QH= 3k. 在 Rt OPH中, v OP = OlH+ PH, 2 2 2 26 = (4 k) + (3 k 12.5). 整理，得 k2 3k 20.79 = 0. 解得k= 6.3. OQ 5k = 31.5，此时 x 的值为 31.5. 如答图，过点 O作OHL PQ交PQ的延长线于点H 设 OH= 4k, QH= 3k. 在 Rt OPH中, v OP = OH+ PH, 2 2 2 26 = (4 k) + (12.5 + 3k). 整理，得 k2+ 3k 20.79 = 0. 解得k= 3.3. OQ 5k = 16.5，此时 x 的值为一 16.

9、5. 如答图，过点 O作OHL PQ于点H 设 OH= 4k, QH= 3k. 在 Rt OPH中, v OP = OH+ PH, 2 2 2 26 = (4 k) + (3 k 12.5). 整理，得 k2 3k 20.79 = 0. 解得k= 6.3.5 OQ 5k = 31.5，此时 x 的值为一 31.5. 综上所述，满足条件的 x的值为 31.5 或一 16.5 或一 31.5. 第 2 题答图 经典例析与针对讪 1 练 翁荒点与圆的位置关系 例 1 （2017，福州）如图，在 6X6的正方形网格中，有 6 个点，M N, Q P, Q尺除点 R外其余 5个点均为格点），以点Q为圆心

10、，QQ勺长为半径作圆，则在O Q外的点是（C） 【解析】/ QQ= .12+ 22 = 5, QP= 22+ 22= 2 2, QN= 2, QR= 12 + 1.5 2 = 3 , QM =J2+ 22= 5, .在O Q外的点是 P. 针对训练 1 如图，在 ABC中, AB的中点Q与O C的位置关系是（B） 训练 1 题图 A.点Q在O C外 B.点Q在O C上 C.点Q在O C内 D.不能确定 【解析】在 ABC中，/ C= 90, AB= 4, Q是AB的中点， QC= 2. v以点C为圆心, 2为半径作O C,. QC=半径.点 Q在O C上. 存負：直线与圆的位置关系/ C= 9

11、0, AB= 4,以点C为圆心，2 为半径作O C,则 I H I I i i I I I I i/J I I 1 I I I IE I 卜斗斗茁彳 I i 8(/ i iA I I 例 2 如图，O O的半径为 4, P是O O外的一点，PO= 10, A是O O上的一个动点，连接 【解析】 如答图，连接 OA OCC为切点)，过点O作OBL AP于点B在 Rt AOB中 OB =OA AB= 16-AELTI 与O O相切， OCL I . v/ OBD=/ OCD=Z CDB= 90, A 四边形 BOCD 为矩形. BD= OC= 4. v 直线 | 垂直平分 PA A PD= BM

12、AB= 4 + AB PB= 8 + AB 在 Rt OBP 训练 2 题图 设切点为 C连接OC则圆的半径 OC= 1, OCL PC v/ AO= 45, OA/ PC / OP= 45 . PC= OC= 1. OP= 2.同理，原点左侧的距离也是 2，且 线段长是正数. x的取值范围是 (lf) 切线的判定和性质 例 3 (导学号 5892921)如图，在矩形 ABCD，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的 A. 10 21 B. 1 D. 43 4 中，OB + PB= OP，即 5 16 AB+ (8 + AR2= 102.解得 AB=-. PA=2PD=2X 5 21 4 +

13、4 =亍 针对训练 2 如图， P在数轴上运动.若过点 Ov x 1.2 , 以DE为直径的圆与BC的位置关系是 3. （2018，唐山路南区三模）如图，已知直线 m/把厶ABC剪成三部分，点 代B, C在 直线n上，点 O在直线 m上，则点 0是厶ABC的 （C）2. （2018，保定二模）如图，在 ABC中, 中点，则以DE为直径的圆与 AB= 3, AC= 4, BG= 5, D, E 分别是 AC AB的 第 2 题图 B. 相交 无法确定 DE于点 N v AB= 3, AC= 4, BC= 5, A.垂心 B.重心 【解析】如答图，过点O作OD丄BC于点D,OE丄AC于点E, OF

14、丄AB于点F. 如答图，过点 O作ODL BC于点D, OEL AC于点E, OFL AB于点F. v m/ n,/ OD= OE= OF 由裁剪，知 OD= OD , OE= OE , OF= OF，/ OD = OE = OF . 点O是三角形三个内角 的平分线的交点点 。是厶ABC的内心. D.外心 C.内心 B n 第 3 题图 C D 4. (2018 ,石家庄桥西区一模 若/ P= 40，当PA与O O相切时，/ B的度数为(B)第 3 题答图 )如图，AB是O O的直径，P是OO外一点，PO交O O于点C, A. 20 【解析】 1 AOP= 第 4 题图 B. 25 C. 30

15、 D. 40 / PA 是O O 的切线，/ PAO= 90 . / AOP= 90/ P= 50 . /-Z B= 5. (2018 于点D,过点 ，重庆 A)如图，已知 AB是O O的直径，点 P在BA的延长线上，PD与O O相切 B作PD的垂线交PD的延长线于点 C若OO的半径为 4, BC= 6,则PA的长为(A) A. 4 【解析】 B. 2 3 D. 2.5 如答图，连接 DO PD与O O相切于点 D,/Z PD= 90 . v/ C= 90, DO PO DO/ BC PDA PCB/. 亍二 BC PB 第 5 题答图 6. (2018，泰安)如图，BM与O O相切于点B若/

16、 MBAF 140,则/ ACB的度数为(A) 连接BC PA =|.解得 x = 4. PA= 4. 3 第 6 题图 A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【解析】 如答图，连接 OA OB / BM是O O的切线，/ OBM= 90 . v/ MBA= 140 ，/ ABO= 50 . / OA= OB, / BAO=/ ABO= 50 . AOB= 80 . ACB= 1 2/ AOB= 40 . 7. （2018 ，常州）如图，AB是O O的直径，MN是O O的切线，切点为 N若/ MNB= 52，则/ NOA勺度数为（A） 第 7 题图 A. 76 B. 56 C. 54

17、 D. 52 【解析】/ MN是O O 的切线， ONL NMONM 90 . ONB= 90 -/ MNB= 90 52 = 38 . v ON= OB / B=/ ONB= 38 . NOA= 2/ B= 76 . 8. （2018，深圳）一把直尺、含 60角的直角三角板和光盘如图摆放, 的交点，AB= 3,则光盘的直径是（D） A. 3 C. 6 【解析】如答图，设三角板与圆的切点为 C,连接OAOB由切线长定理, 5A为 60角与直尺 知AO平分/ BAC 63. D. 6 3 /OAB= 60 .在 Rt ABC中, 光盘的直径为 第 8 题答图 180 9. (2018，石家庄二模

18、)如图，O O与直线l i相离，圆心 O到直线li的距离OB= 2 3, OA =4,将直线l i绕点A逆时针旋转 30后得到的直线12刚好与O O相切于点C,则OC的长为 (B) A. 1 C. 3 D.4 OB 2巧 J3 【解析】 在 Rt ABC中, sin / OAB= 看寸=三，二/ OAB= 60 . v直线li绕点A逆 时针旋转30后得到的直线l 2刚好与O C相切于点C,./ CAB= 30, CCL AC /-Z CAC= 60 1 30= 30 .在 Rt CAC中, CC= qCA= 2. 10. (2018 ,湘西州)如图，直线AB与OC相切于点 A, AC CD是O

19、 C的两条弦，且CD/ AB 若O O的半径为 5, CD= 8,则弦AC的长为(D)A. 10 B. 8 C. 4 3 D. 4 5 【解析】v直线AB与OO相切于点 A,/.OAL AB又v CD/ AB / AOL CD记垂足为 E / CD 1 2_ 2 =8,/. CEF D吕 2CD= 4.如答图，连接 OC 贝y OC= OA= 5.在 Rt OCE中, OEF . OC CE= 52 42 = 3,/. AE= AO OE 8. / AC= CE+ AE= 42 + 82 = 4 5. 11.如图，点I ABC勺内心，点 D在BC上，且ID丄BC若Z B= 44 ,Z C= 5

20、6 , 则Z AID的度数为(A) A. 174 B. 176 C. 178 D. 第 10 题图 B 第 10 题答图 180 【解析】 如答图，连接 CI.在厶ABC中，Z B= 44 ,Z AC= 56 ,/.Z BAC= 180 1 / B/ACB= 80 . T点 I ABC的内心，/ CAI= / BAC= 40,/ ACI=/ DCI= ACB= 28 . /AIC= 180/ CAI/ACI= 112 .又 ID 丄 BCCID= 90/ DCI 二、填空题 12. （2018，台州）如图，AB是OO的直径，C是OO上的点，过点 C作O O的切线交AB的 延长线于点 D若/ A

21、= 32,则/ D= 26 . 第 12 题图 【解析】 如答图，连接 OC由圆周角定理，得/ CO= 2/ A= 64 . tCD为O O的切线, OCLCD / D= 90/ COI= 26 . ，大庆）在厶ABC中，/ C= 90, AB= 10,且 AC= 6，则这个三角形的内切圆 T/ C= 90, AB= 10, AC= 6, BC=: 10 6 = 8.设内切圆的半径为 r,则 1 1 2：二 r = 2X 6X 8.解得 r = 2. =62 . /AID=/ AIC+/CID= 112 13. （2018 OD的延长线，长沙）如图，点A, B, D在O 0上，/ A= 20,

22、 BC是O O的切线，B为切点, / A= 20, / BO= 40 【解析】 90 . / OC= 90 40= 50 . 第13题图 14. (2018 的半径为 2 . 【解析】 1 1 尹 6 r + 2X 8 r + x 10 15. （2018，连云港）如图，AB是O O的弦，点C在过点B的切线上，且 OCLOA OC交AB 于点 P.已知/ OAB= 22，则/ OC= 44 . 第 15 题图 【解析】 如答图， 连接 0B BC是O O的切线， OBL BC 上OBA/CB圧 90 . / OC 丄 0A / OABHZ APO= 90 . T OA= OB OBA=Z OA

23、B= 22 . APO=Z CB4 68 . / APO=Z CPB CPB=Z 16. （2018 ,安徽）如图，菱形 ABOC的边AB AC分别与O O相切于点D, E若D是AB的 中点，则/ DO旨 60 .【解析】 如答图，连接 OA四边形 ABOC是菱形， BA= BO / AB与O O相切于点 D, ODLAB / D是AB的中点，.直线 OD是线段 AB的垂直平分线.二 OA= OB AOB是等边 1 三角形./ AO2/ AOB= 30 .同理，/ AOEF 30 . DOEFZ AOD-Z AOEF 60 . 三、解答题 17. （2018，潍坊）如图，BD ABC外接圆O

24、O的直径，且/ BAE=Z C （1）求证：AE与OO相切于点 A 若AE/ BC BC= 2 羽，AC= 2 寸 2，求AD的长. 68 = 第 15 题答图 第 16 题图 第 16 题答图 第 17 题图 【思路分析】（1）连接OA交BC于点F.根据OA= OD可得/ D=Z DAO由同弧所对的圆 周角相等及已知，得/ BAE=Z DAO再由直径所对的圆周角是直角，得/ BAD= 90 .进而可得 1 结论.（2）先证明 OAL BC由垂径定理，得 AB = AC , FB= -BC根据勾股定理计算 AF, OB AD的长即可. (1)证明：如答图，连接 OA交BC于点F, 贝U OA=

25、 OD / D=Z DAO / D=Z C, / C=Z DAO / BAE=Z C,./ BAE=Z DAO / BD是O O的直径， / BAD= 90,即/ DAQ-Z BAO= 90 . / BAEZ BAO= 90，即Z OAE= 90 . AE! OA AE与OO相切于点A 解：I AE/ BC AE! OA - OAL BC 1 - AB = AC , FB= qBC AB= AC BC= 2 7, AC= 2 2, BF= 7, AB= 2 2. 在 Rt ABF中，AF= ( 2 ,2) 2( 7) 2= 1. 在 Rt OFBK OB = BF- (OB- AF)2. OB

26、 = ( 7)2 + (OB- 1)2. OB= 4. BD= 8. 在 Rt ABD中, AD=pBD AB =寸 64 8 = 2/14. 第 17 题答图 18. (2018，德州)如图，AB是O O的直径，直线 CD与O O相切于点C,且与AB的延长线 交于点E, C是 BF 的中点. (1) 求证：ADL CD (2) 若Z CA= 30 ,O O的半径为 3，一只蚂蚁从点 B出发，沿着 BiEO CB 爬回至点 B,求蚂蚁爬过 的路程.(n疋3.14 , 3疋1.73，结果保留一位小数) 第 18 题图 【思路分析】(1)连接OC根据切线的性质得到 OCL CD证明OC/ AD进而

27、得到ADL CDX2) 根据圆周角定理得到Z CO= 60 .根据锐角三角函数、弧长公式计算即可. (1)证明：如答图，连接 OC 直线CD与O O相切，5 OCL CD / C是 BF 的中点, :丄 EAC / OA= OC Z OC= EAC :丄 OCA OC/ AD ADL CD 解：TZ CAD= 30 Z CAD= 30 由圆周角定理，得/ COW 60 - OE= 2OC= 6, EC=3OC= 3 3, BE= 3. 蚂蚁爬过的路程为 3+ 3 ,3+ n 11.3. 19. (2018，赤峰)如图，在 Rt ABC中，/ C= 90, AD平分/ BAC交BC于点D,点O

28、在AB上，O O经过A, D两点，交 AC于点E,交AB于点F. (1)求证：BC是O O的切线； (2)若OO的半径是 2 cm, E是 AD 的中点，求阴影部分的面积. (结果保留根号) 【思路分析】(1)连接OD只要证明OD/ AC即可解决问题.(2)连接OE交AD于点K 只要证明厶AOE是等边三角形即可解决问题. (1)证明：如答图，连接 OD / OA= OD Z OAD= ODA / AD平分Z BAC Z OAD=Z 一 Z ODA= DAC OD/ AC Z ODB=Z C= 90 ODL BC BC是O O的切线. BC 60 n 3 180 第 18 题答图 解：如答图，连

29、接 0E交AD于点K. E 是 AD 的中点, 二 AE = DE . OEL AD / OAK=Z EAK AK= AK / AKO=Z AKE= 90 , AKO AKE AO= AE= OE AOE是等边三角形. / AOE= 60 . 60 n 22 S 阴影=S 扇形 OAL AOE= 360 L综合提升训练 1 1.如图，/ ABC= 80, O为射线BC上一点，以点 O为圆心，的长为半径作O O,要 使射线BA与OO相切，应将射线 BA绕点B按顺时针方向旋转（C） 第 1 题图 A. 40 或 80 B. 50 C. 50 或 110 D. 60 【解析】（1）如答图，当BA与O

30、 O相切，且BA位于BC上方时，设切点为 P,连接 BO= 30 . ABA = 50 .（2）如答 ，可求得/ A BO= 30 .此时/ ABA 110 . 或 100 OP 则/ OPB= 90 .在 Rt OPB中，OB= 2OP A 图，当BA与O O相切， 且BA位于BC下方时， 同 =80+ 30= 110 .综上所述，旋转的度数为 r -./3 2 2 n - 2 -7 x 22=可-3(cm2). B D C 第 19 题答图 题答图 50或 A 第 1 AFWA AEO然后利用相似比可计算出 FN的长. 5 2. （2018，泰州）如图，在 ABC中，/ ACB= 90, sin A=石，AC= 12，将 ABC绕点 C 13 顺时针旋转 90得到 A B C, P为线段A B上的动点，以点 P为圆心，PA的长为半径 3. （2018，荆门，导学号 5892921）如图，AB为O O的直径，O为OO上一点，经过点 C的 切线交AB的延长线于点 E, ADL EC交EC的延长线于点 D, AD交O O于点F, FML AB于点H 分别交O O, AC于点M N,连接MB BC （1） 求证：AC平分/ DAE 卄 4 （2） 右 cos M= , BE= 1. 5 求O O