随机过程的统计特性和平稳随机过程

1、自然界变化的过程可以分为自然界变化的过程可以分为确知过程确知过程和和随机过程随机过程两大类两大类每次观测所得结果都相同，都是时间每次观测所得结果都相同，都是时间t t的的一个确定的函数，具有确定的变化规律。一个确定的函数，具有确定的变化规律。每次观测所得结果都不同，都是时间每次观测所得结果都不同，都是时间t t的的不同函数，观测前又不能预知观测结果，不同函数，观测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。没有确定的变化规律。确知确知过程过程随机随机过程过程正弦信号正弦信号调制信号调制信号周期性脉冲信号周期性脉冲信号雷达接收机的噪声雷达接收机的噪声鸟叫声鸟叫声爆破信号爆破信号实际过程实际过程2.

2、1 随机过程的基本概念及定义随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程典型的随机过程01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101随机相位信号 0( )cos()X nAn 0( ,)cos()iiix nAn050100150200-505050100150200-5050501

3、00150200-505050100150200-505接收机噪声 t11、随机过程、随机过程(Stochastic Process)定义定义定义定义1 1：设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S=eS=e，对其每一个元素，对其每一个元素 都以某种法则确定一个样本函数都以某种法则确定一个样本函数 , ,由全部元由全部元素素ee所确定的一族样本函数所确定的一族样本函数 称为随机过程称为随机过程, ,简记为简记为 。 ( ,)ix t e(1,2,.)iei( , )X t e( )X t定义定义2 2：设有一个过程设有一个过程 ，若对于每一个固定的时刻，若对于每一个固定的时刻 ，

4、是一个随机变量，则是一个随机变量，则 称为随机过程。称为随机过程。 ( )X t(1,2,.)jtj( )jX t( )X t随机过程是样本函数的集合随机过程是样本函数的集合随机过程是随机变量的集合随机过程是随机变量的集合随机过程随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：四种不同情况下的意义：当当t t固定，固定，e e固定时，固定时， X(t)X(t) 是一个是一个确定值确定值； 当当t t固定，固定，e e可变时，可变时， X(t)X(t) 是一个是一个随机变量随机变量； 当当t t可变，可变，e e固定时，固定时， X(t)X(t) 是一个确定的是一个确定的时间函数时间函数； 当当t t

5、可变，可变，e e可变时，可变时， X(t)X(t) 是一个是一个随机过程随机过程； 2、随机过程分类、随机过程分类状态状态时刻时刻连续型随机过程连续型随机过程连续连续连续连续连续随机序列连续随机序列连续连续离散离散离散型随机过程离散型随机过程离散离散连续连续离散随机序列离散随机序列离散离散离散离散半二元传输信号半二元传输信号 用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程X(t)， ( )第 次投出正面第 次投出反面-1nX t(n-1)TtT1nX(t)称为半二元传输信号。 0 5 10 15 20 25 -1 0 1 时间时间 - 秒秒 ( 假定假定 T=1 秒秒 0 5 10 15 20

6、 25 -1 0 1 时间时间 - 秒秒 ( 假定假定 T=1 秒秒） 半随机二元传输信号半随机二元传输信号 1( )1kX nk质点正向移动一个距离单元质点向移动一个距离单元反0pq x质点沿x轴作随机游动 n0 1 2 3 4 5 6 7( )X n随机游动随机游动设X(n)表示质点在t=n时刻与原点的距离，如果X(n-1)=k，那么， 05010015020000.20.40.60.81 在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出

7、随机序列的特征，我们把它称为过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列伪随机序列，伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程 。伪随机序列 1 1、一维概率分布、一维概率分布)(),(xtXPtxFXxtxFtxfXX),(),(连续随机过程：连续随机过程：( , )( )XFx nP X nx( , )( , )XXFx nfx nx随机序列：随机序列：一、随机过程的概率分布一、随机过程的概率分布例例1、 设随机振幅信号设随机振幅信号 其中其中 是常数，是常数，Y是均值为零，方差为是均值为零，方差为1的正态随机的正态随机变量，求变量，求 时的概

8、率密度。时的概率密度。tYtX0cos)(0002,32,0t2 2、二维概率分布、二维概率分布)(,)(),(22112121xtXxtXPttxxFX21212122121),(),(xxttxxFttxxfXX注意：注意：X(t1)及及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。为同一随机过程上的随机变量。例例2、设随机相位信号设随机相位信号其中其中 ，且取值概率各为，且取值概率各为1/2, 求求 ， 时的一维和二维概率分布。时的一维和二维概率分布。 )2/, 0( )cos(/10)X nn10n 210n 0204060-101x2(n) 0204060-101x1(n) 二、随机过程的数

9、字特征二、随机过程的数字特征均值均值dxtxxftXEtmXX),()()(方差方差)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX)(2tXE)()(22tmtXX均值与方差的物理意义：均值与方差的物理意义：表示消耗在单位表示消耗在单位电阻上的总的平电阻上的总的平均功率。均功率。相关函数相关函数(correlation function)(correlation function) 212121212121),()()(),(dxdxttxxfxxtXtXEttRX相似均值和方差的随机过程 协方差函数协方差函数)()()()(),(221121tmtXtmtXEttKXXX如果如果0

10、),(21ttKX，则称，则称)(1tX和和)(2tX是是不相关不相关的。如果的。如果12( ,)0XRt t，则称，则称)(1tX和和)(2tX是相互是相互正交正交的。如果的。如果),(),(),(22112121txftxfttxxfXXX，则称随机过程在，则称随机过程在1t2t时刻的状态是相互时刻的状态是相互独立独立的。的。和和离散随机过程数字特征离散随机过程数字特征和NiiiXtptxtm1)()()(NiiXiXtptmtxt122)()()()(NiNjijjiXttptxtxtXtXEttR1121212121),()()()()(),(NiNjijXjXiXttptmtxtmt

11、xttK1121221121),()()()()(),(例例3、设随机振幅信号为设随机振幅信号为其中其中 为常数，为常数，V是标准正态随机变量。是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。tVtX0sin)(0dxetxfeEtxjXtXjX),(),()(dettxfxjXX),(21),(Nitjxiietp1)()(离散形式：离散形式：0),()()(nXnnndtdjtXE三、随机过程的特征函数三、随机过程的特征函数例例4、设设 为相互独立的随机变量序列，其分布为为相互独立的随机变量序列，其分布为 求随机过程求随机

12、过程 的一维分布。的一维分布。nXXX,212/111kkXPXPnk, 2 , 1 , 0, 3 , 2 , 11nXYnkkn)(),(xtXPtxFX随机过程是样本函数的集合随机过程是样本函数的集合随机过程是随机变量的集合随机过程是随机变量的集合随机过程的概率分布随机过程的概率分布随机过程的数字特征随机过程的数字特征)(,)(),(22112121xtXxtXPttxxFX均值均值dxtxxftXEtmXX),()()(方差方差)()()(22tmtXEtXX)()(22tmtXEX相关函数相关函数1212( , )( )( )XRt tE X t X t协方差函数协方差函数)()()(

13、)(),(221121tmtXtmtXEttKXXX课后作业：课后作业：2.3、2.4随机过程的特征函数随机过程的特征函数dxetxfeEtxjXtXjX),(),()(Nitjxiietp1)()(离散形式：离散形式：一、定义一、定义),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf)(),(xftxfXX一维概率密度：一维概率密度：二维概率密度：二维概率密度：),(),(212121xxfttxxfXX21tt (1)(1)严格平稳随机过程严格平稳随机过程(Strictly stationary Process)(Strictly stationary Process)(2)(2)广

14、义平稳广义平稳随机过程随机过程(Weakly stationary Process)(Weakly stationary Process)2121),(),(ttRttRXXXXmtm)( 严格平稳严格平稳 广义平稳广义平稳当随机过程是当随机过程是高斯分布高斯分布时，两者等价。时，两者等价。一定一定不一定不一定例例1、 设随机过程设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机为标准正态分布的随机变量。试问变量。试问X(t)是否平稳？是否平稳？例例2、 设随机过程设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，- t 。其。其中中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率为相互独立的随机变量，且分别

15、以概率2/3、1/3取值取值-1和和2。试讨论随机过程。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。的平稳性。二、平稳随机过程自相关函数性质二、平稳随机过程自相关函数性质()( )XXRR (0)( )XXRR 2)(limXXmR若随机过程不含周期分量，若随机过程不含周期分量，相关函数示意图22)0(XXXmR若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有同周期的同周期的周期分量周期分量)()cos()(0tNtAtX)(cos2)(02NXRAR例例3、已知平稳随机过程已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为的自相关函数为 求求X(t)的均值和方差。的均值和方差。2

16、51436)(XR三、相关系数及相关时间三、相关系数及相关时间222)()()(XXXXXXmRKr相关系数：相关系数：也称为归一化协方也称为归一化协方差函数或标准协方差函数或标准协方差函数。差函数。相关时间：相关时间：00)(drX05. 0)(0Xr相关时间示意图050100-4-2024050100-10-50510两个不同相关时间随机过程的样本函数 101000例例4、已知平稳随机过程已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为的自相关函数为 求求X(t)的相关系数。的相关系数。23)( eRX四、随机过程的遍历性（四、随机过程的遍历性（ergodic）定义：定义：对于平稳随机过程对于平稳随

17、机过程X(t)X(t)，若有，若有则则X(t)X(t)为遍历过程。为遍历过程。TTTXdttXTmilm)(21TTTXdttXtXTmilR)()(21)(其中其中XPXmm )()(XPXRR各态历经过程与非各态历经过程示意图 遍历性判断：遍历性判断：0)()21 (1lim202TXXTdmRTT均值遍历性：均值遍历性：dRX0)(零均值平稳正态随机信号：零均值平稳正态随机信号：相关函数遍历性：相关函数遍历性：0)()()21 (1lim202TXTdRRTT)()()(tXtXt均值和自相关函数估计：均值和自相关函数估计：TTXdttxTm)(21TTXdttxtxTR)()(21)(连续随机过程：连续随机过程：101( )NXnmx nN12201( )1NXXnx nmN101( )( ) ()1NmXnRmx n x nmNm随机序列：随机