高等数学下册总习题八H

1、目录 上页 下页 返回 结束 1向量代数向量代数 1、向量、向量(自由向量自由向量)的坐标表示的坐标表示kajaiazyx ),(zyxaaa 222zyx ),(zyxr 设设 r)cos,cos,(cos ),(1222zyxzyx 给定向量的模与方向角，给定向量的模与方向角，则则则则)cos,cos,(cos r ),(zyxr 2.一、向量及其线性运算一、向量及其线性运算 ar)(aaar 在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 r第八章第八章内容小结内容小结r)cos(ar 目录 上页 下页 返回 结束 2设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则 ba),(zzyyxxba

2、baba a ),(zyxaaa ，为实数为实数 3.abab xxab yyabzzabzyxaaa,当当中为零，中为零，zyxbbb,中对应中对应的值也为零的值也为零. .),(111zyxA),(121212zzyyxx 212212212)()()(zzyyxx 对两点对两点, ),(222zyxB BA BA与与4.到到x轴、到轴、到xOy面的距离分别为面的距离分别为,2121zy 1z),(111zyxA第八章第八章内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 31. 定义定义ba 二、数量积二、数量积(点积点积)小结小结2. 性质性质为两个非零向量为两个非零向量,则有则有 aa)

3、1(2aba,)2(0 baba 3. 运算律运算律 )(2( ba )( ba )(ba )3(cba )1(abba 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示zzyyxxbababa ba ,0时时当当 a,0 时时当当 babjrPb babaajrP ba题型题型求夹角、求投影、将模化为数量积、判求夹角、求投影、将模化为数量积、判断向量垂直断向量垂直 cbca ),cos(baba 目录 上页 下页 返回 结束 41. 定义定义方向方向 :且符合右手规则且符合右手规则 ba ),sin( baab与与 a , b 垂直，垂直，2. 性质性质为非零向量为非零向量, 则则aa )1(0 ba

4、,)2(0 baba4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 bakji 3. 运算律运算律(2)(3)ab cba )(cbca ba )( )( ba )(ba ba )1(题型题型xayazaxbybzb求面积、求与两向量同垂直的向量求面积、求与两向量同垂直的向量三、向量积三、向量积(叉积叉积)小结小结目录 上页 下页 返回 结束 5空间解析几何空间解析几何一、曲面一、曲面1. 1. 球球面面2. 2. 旋转曲旋转曲面面4. 4. 二次曲二次曲面面 2202020Rzzyyxx 0),(22 zyxf3. 3. 柱柱面面 0,zyF准线为准线为母线平行母线平行x轴的柱面，轴的柱面，如旋

5、转椭球面、旋转抛物面、旋转双曲面、圆锥面等如旋转椭球面、旋转抛物面、旋转双曲面、圆锥面等00),( xzyF如椭圆柱面、抛物柱面、双曲柱面、平面等如椭圆柱面、抛物柱面、双曲柱面、平面等 . 椭球面椭球面 抛物面抛物面:1222222 czbyax(椭圆抛物面椭圆抛物面)同同号号、qpzqypx,2222 轴轴绕绕z 00, xzyf第八章第八章内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 6 双曲面双曲面: 椭圆锥面椭圆锥面: (单叶双曲面单叶双曲面)2222byax 22cz 1 (双叶双曲面双叶双曲面)2222byax 22cz 1 22222zbyax 二、二、曲线曲线1. 1. 一般方

6、一般方程程2. 2. 参数方参数方程程3. 3. 在坐标平面上的投影在坐标平面上的投影. . . 0, 0, zyxGzyxF tzztyytxx 第八章第八章内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 7三、三、平面的方程平面的方程1. 1. 点法式方程点法式方程 0000 zzCyyBxxA2. 2. 一般式方程一般式方程0 DCzByAx3. 3. 截距式方程截距式方程 1 czbyax（特殊平面的系数特点）（特殊平面的系数特点）4. 4. 平面束方程平面束方程 022221111 DzCyBxADzCyBxA 第八章第八章内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 8四、四、直线的

7、方程直线的方程1. 1. 一般方程一般方程2. 2. 对称式方程对称式方程 3. 3. 参数方程参数方程 pzznyymxx000 （m, n, p 中有零时的含义）中有零时的含义）ptzzntyymtxx 0000022221111 DzCyBxADzCyBxA第八章第八章内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 9五、面面、线线、线面间的关系五、面面、线线、线面间的关系均转化为均转化为向量夹角余弦的绝对值向量夹角余弦的绝对值 cos222222212121212121CBACBACCBBAA cos222222212121212121pnmpnmppnnmm sin,3.,3.线面夹角

8、线面夹角1. 面面夹角面面夹角2， 线线夹角线线夹角 2121nnnn 2121ssss snsn 222222pnmCBACpBnAm 第八章第八章内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 100212121 CCBBAA21/ 21212121DD CCBBAA21 重重合合与与21 21212121DDCCBBAA 重重合合或或21 、21/ 0212121 ppnnmm21/ LL212121ppnnmm 21LL 0 CpBnAm LpCnBmA /L内内在在或或 L重合重合或或21、LL第八章第八章内容小结内容小结21ss 21/ ssns/ns 21nn 21/ nn2121

9、21CCBBAA 目录 上页 下页 返回 结束 11点点 到平面到平面 0000,zyxP0 DCzByAx的距离的距离六、六、点到平面、直线的距离点到平面、直线的距离),(0000zyxM到直线到直线的距离的距离pzznyymxx111 点点ssMMd 10 kji 2221pnm101010 zzyyxx pnm d 10nnPP 222000CBADCzByAx 第八章第八章内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 12P416. 6解解故在故在xOy面上的投影为面上的投影为故在故在xOz面上的投影为面上的投影为同理在同理在yOz面上的投影为面上的投影为 .(3) (2) ,sin(

10、1) ,cos 程程投投影影曲曲线线的的直直角角坐坐标标方方在在三三个个坐坐标标面面上上的的求求螺螺旋旋线线 bzayax, 0,222 zayx, 0,cos ybzax0sin xbzay由由(1)、(2)得：得：,222ayx 由由(1)、(3)得：得：,cosbzax 讲讲7、10、11、16、17目录 上页 下页 返回 结束 13解解|a|b 23 22|ba 22|2|bbaa 1 ),cos(babaP51.7的夹角。的夹角。与向量与向量求向量求向量设设babababa ,6),( , 1 , 3 第八章总习题第八章总习题 72 1.求向量与向量夹角用数量积求向量与向量夹角用数量

11、积,类似有类似有8、9题题2.向量的模可化为数量积向量的模可化为数量积)()(baba 7 22|2|bbaa )()(|bababa 讲讲7、10、11、16、17 )()(baba2 |ba),cos( ba bababababa )()(目录 上页 下页 返回 结束 14P51.8).,(,274,573 bababababa求求设设解解 0)27)(4( , 0)57)(3( babababa 0|830|70|1516|72222bbaabbaababa 2|2122 bababa3),( babab 22baa 22式，得：式，得：将之代入方程组中任一将之代入方程组中任一两式相减：

12、两式相减：22346bba 第八章总习题第八章总习题 |),cos(bababa 讲讲7、10、11、16、17目录 上页 下页 返回 结束 15P51.9.,),(,), 1, 1(),2, 1, 2( 并并求求此此最最小小值值最最小小为为何何值值时时问问设设 bazzba解解)(2321|),cos(2 zfzzbababa 0)2(34)(32 zzzf令令 的的极极大大值值点点。是是得得zfz4 4),(4 最最小小，最最小小值值为为时时，当当 baz是是减减函函数数，上上，由由于于在在 cos0 第八章总习题第八章总习题 讲讲7、10、11、16、17目录 上页 下页 返回 结束 1

13、6P51.10积。积。为边的平行四边形的面为边的平行四边形的面求以求以设设babababa3,2,6),( , 3, 4 解解bbabbaaa 623ba 5)3()2(babaS 6sin345 第八章总习题第八章总习题 1.求面积用向量积的模求面积用向量积的模,类似有类似有18题题2.向量积满足反交换律向量积满足反交换律讲讲7、10、11、16、17 )3()2(baba|5ba 30 目录 上页 下页 返回 结束 17P51.11.,14Pr,),2, 1, 2(),3, 2, 1(),1, 3, 2( rrjbrarrcbac求求满满足足向向量量设设 解解321132 kjibar 设

14、设ccr 2 )2,10,14( r3)2514( ,brar 而而第八章总习题第八章总习题 求与两向量垂直的量用叉乘求与两向量垂直的量用叉乘投影可用数量积表示投影可用数量积表示讲讲7、10、11、16、17ccba )( rjcPr bakji 5714 目录 上页 下页 返回 结束 18P51.12解解 kikjiba364322310)( cba共面共面、cba bkakc21设设 642123332212121kkkkkk1, 521 kk证证明明设设),6 ,12, 3(),4, 3, 2(),2 , 3 , 1( cba. ,cbacba表表示示和和并并用用共共面面、三三向向量量第

15、八章总习题第八章总习题 讲讲7、10、11、16、17目录 上页 下页 返回 结束 19P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成面成且与且与，和点和点，求通过点求通过点3100003 xOyBA法法1 设所求平面的单位法向量为：设所求平面的单位法向量为：),(CBAn ,3 角角成成与与 kn213cos kn21 C1222 CBA626 B03326 zyx所以所求平面的方程为：所以所求平面的方程为：第八章总习题第八章总习题 0B An3CA ,61 (-3,0,1)B An0)1(326 zyx即：即：目录 上页 下页 返回 结束 20P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成

16、面成且与且与，和点和点，求通过点求通过点3100003 xOyBA法法2设所求平面为：设所求平面为：,213cos knkn,2199322 bbb即即 , 13 zbyx第八章总习题第八章总习题 bbzybx333 263 b03326 zyx所以所求平面的方程为：所以所求平面的方程为：讲讲7、10、11、16、17目录 上页 下页 返回 结束 21P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成面成且与且与，和点和点，求通过点求通过点3100003 xOyBA法法3 设所求平面的单位法向量为：设所求平面的单位法向量为：),(CBAn ,3 角角成成与与 kn213cos kn21 C则所求平

17、面的方程可设为：则所求平面的方程可设为：0 DCzByAx 1003222CBADCDA,61,21 AD626 B03326 zyx平面过平面过 A, B 点点所以所求平面的方程为：所以所求平面的方程为：第八章总习题第八章总习题 讲讲7、10、11、16、17目录 上页 下页 返回 结束 22P51.16 程程。的的垂垂线线，求求此此平平面面的的方方到到直直线线，并并通通过过从从点点设设一一平平面面垂垂直直于于平平面面 001:111, 0 xzyLAzALBL的方向向量的方向向量 001xzy10 zyx解解第八章总习题第八章总习题 )1 , 1 , 0( s的的方方程程为为垂垂直直的的平

18、平面面且且与与过过 LA0 zy即即 , 0111110 zyx),21,21, 0(B 求求得得所求平面的法向量所求平面的法向量)0 , 1 ,21( 所求平面方程为所求平面方程为0)1(2)1( yx012 yx即即kABn n讲讲7、10、11、16、17k先求点先求点B.) () ( nABk目录 上页 下页 返回 结束 23的交点的交点的垂线与的垂线与到直线到直线设从点设从点L LA由由 001xzy0)1()1( zy),21,21, 0(B 求求得得说明说明第八章总习题第八章总习题 得得sABLB ,ALB求点求点B的坐标也可用下面方法的坐标也可用下面方法),(zyxB为为和和目

19、录 上页 下页 返回 结束 24P51.17 相交的直线方程。相交的直线方程。又与直线又与直线且平行于平面且平行于平面，求过点求过点21311:, 01043:,401 zyxLzyxA 解解 确确定定的的平平面面法法向向量量与与点点LA),1 , 4, 3(:2 n的的法法向向量量为为平平面面 所求直线的方向向量所求直线的方向向量1433410 kji所求直线的方程所求直线的方程为为28419161 zyxA L第八章总习题第八章总习题 B0skji3410 sBAsn 01 21nns430211 kji kji281916讲讲7、10、11、16、172n1n目录 上页 下页 返回 结束

20、 25P51.18 的的面面积积最最小小。使使，轴轴上上求求一一点点试试在在，已已知知点点ABCCzBA ,120,001 解解 kjzizzkjiACAB2)1(201121 ,00zC，设设2222)12(42121 zzzACABSABC524)51(55252122 zzz.51最最小小时时，ABCSz 所以当所以当第八章总习题第八章总习题 ),1, 2, 1( AB), 0, 1(zAC 讲讲7、10、11、16、17目录 上页 下页 返回 结束 26P51. 20 0222 xyxO x y z 故立体在故立体在xOy面上的面上的投影为投影为即即xOy面的区域面的区域 1122 y

21、x第八章总习题第八章总习题 求锥面求锥面 与柱面与柱面 所围立体在所围立体在三个坐标面上的投影三个坐标面上的投影22yxz xz22 解解xzyxz2222 在在 中消去中消去z得：得：01)1(22 zyx目录 上页 下页 返回 结束 27O x y z 0, 044224 zyzz故立体在故立体在yOz面上的面上的投影为投影为第八章总习题第八章总习题 O x y z xzyxz2222 在在 中消去中消去x得：得：00, 44)2(222 xzyzO x y z 022 yyxz在在 中消去中消去y得：得：xz 故立体在故立体在zOx面上的投影为面上的投影为 02yxzxxzyxz2222 在在 中消去中消去y得：得：xz22 目录 上页 下页