初数1截长补短与倍长中线法ppt课件

1、截长补短法与倍长中线法 培训师：张文静一、截长补短法1、截长 在某条线段上截取一条线段与特定线段相等2、补短 将某条线段延伸使之与特定线段相等 利用三角形全等的有关性质加以阐明，这种作法，适宜于证明线段的和、差、倍、分等类的标题1、利用对称思想、利用对称思想、 FFFF D C B A证明：在AC上取点E，使AEAB，衔接DE AD平分BAC BADCAD ABAE，ADAD ABD AED SAS DEBD，AEDB AEDC+CDE，B2C C+CDE2C CDEC DECE BDCE ACAE+CE ACAB+BDEABCD分析：由于平角等于分析：由于平角等于180，因此应思索把两个不在

2、一同的经过全等转，因此应思索把两个不在一同的经过全等转化成为平角，图中短少全等的三角形，因此解题的关键在于构造直角化成为平角，图中短少全等的三角形，因此解题的关键在于构造直角三角形，可经过三角形，可经过“截长补短法来实现截长补短法来实现.2、利用旋转思想、利用旋转思想F F E D C B AFF N M D C B A证：延伸MB至E使BE=NC,衔接DE等边三角形ABC中ABC=ACB=60DBC中,DB=DC,BDC=120DBC=DCB=30ABD=ACD=90EBD=NCD=90在EBD与NCD中BD=NDEBD=NCDBE=CNEBD NCDSASED=DN,1=3BDC=120,

3、MDN=602+3=601+3=60MDE=MDN=60在MDE与MDN中MD=MDMDE=MDNDE=DNMDE与MDNSAS MN=ME=BM+BE=BM+NCAMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+NC=AB+AC=23、当系数不为、当系数不为1GPFG解答：1证明：tanB=2， AE=2BE； E是BC中点， BC=2BE，即AE=BC； 又四边形ABCD是平行四边形， 那么AD=BC=AE；2证明：作AGAF，交DP于G；如图2 ADBC， ADG=DPC； AEP=EFP=90， PEF+EPF=PEF+AEF=90， 即ADG=AEF=FPE； 又AE=AD，FAE=G

4、AD=90-EAG， AFE AGD， AF=AG，即AFG是等腰直角三角形，且 EF=DG； FG=2AF，且DF=DG+GF=EF+FG， 故DF-EF=2AF；3解：如图3，当EP2BC时，DF+EF=2AF，解法同2 当EP2BC时，EF-DF=2AF解：1如图1，延伸BD至E，使BE=AB，衔接AE、CE， ABD=60， ABE是等边三角形， AE=AB，AEB=60， AB=AC， AC=AE， ACE=AEC， ACD=60， ACE-ACD=AEC-AEB， 即DCE=DEC， DE=CD， BE=BD+DE=BD+CD， AB=BD+CD； 故答案为：AB=BD+CD；2猜

5、测：AB= ( BD+CD理由如下：如图2，过点A作AEAB交BD的延伸线于点E，衔接CE，ABD=45，ABE是等腰直角三角形，AE=AB，AEB=45，AB=AC，AC=AE，ACE=AEC，ACD=45，ACE-ACD=AEC-AEB，即DCE=DEC，DE=CD，BE=BD+DE=BD+CD，在RtABE中，AB=BEcosABD=BD+CDcos45= BD+CD，即AB= BD+CD；2222223如图3，过点A作AFBD于点F，延伸BD到E， 使EF=BF，衔接AE、CE， 那么AE=AB等腰三角形三线合一， AEB=ABD=， AB=AC， AC=AE， ACE=AEC， AC

6、D=， ACE-ACD=AEC-AEB， 即DCE=DEC， DE=CD， BE=BD+DE=BD+CD， 在RtABF中，ABcosABD= BE， 即ABcos= BD+CD2121BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图例3、在RtABC中，ACB=90，tanBAC= 点D在边AC上不与A，C重合，衔接BD，F为BD中点1假设过点D作DEAB于E，衔接CF、EF、CE，如图1 设CF=kEF，那么k=_；2假设将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；3假设BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F一

7、直为BD中点，求线段CF长度的最大值211F为BD中点，DEAB， CF=12BD，EF=12BD， CF=EF， k=1； 故答案为12如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q 由题意，tanBAC= ， BC/AC=DE/AE= D、E、B三点共线， AEDB BQC=AQD，ACB=90， QBC=EAQ ECA+ACG=90，BCG+ACG=90， ECA=BCG BCGACE BC/AC=GB/AE= GB=DE F是BD中点，F是EG中点 在RtECG中，CF= EG， BE-DE=EG=2CF；212121213情况1：如图，当AD= AC时，取AB的中点M，

8、衔接MF和CM， ACB=90，tanBAC= ，且BC=6， AC=12，AB= M为AB中点， CM= ， AD= AC，AD=4. M为AB中点，F为BD中点， FM= AD=2 如图4：当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大， 此时CF=CM+FM=2+ 情况2：如图5，当AD= AC时，取AB的中点M，衔接MF和CM， 类似于情况1，可知CF的最大值为4+ 综合情况1与情况2，可知当点D在接近点C的三等分点时，线段CF 的长度获得最大值为：4+ 故答案为：4+3121565331215332535353二、倍长中线法 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线处理几何问题

9、时，经常采用“倍长中线添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延伸一倍，以便构造初全等三角形/类似三角形，从而运用全等三角形/类似三角形的有关知识来处理问题的方法，倍长中线它延续着旋转的思想，它们都是把离散的条件集中起来，构成新的图形，从而产生新的知条件。全等三角形-证明线段不等全等三角形-证明线段相等AQ全等三角形-证明线段倍分F延伸CD至F,使DF=CD,衔接AF,AD=BD,CD=DF,ADF=BDC,ADF BDC,AF=BC,AFBCCAF+ACB=180, ACB=ABC,ABC+CBE=180CAF=CBE又AC=BE,CAF CBECE=CFCE=2CD 类似三角形-证明线段倍分AA E D A B C倍长中线-角相等F证明：延伸AE到F,使EF=AE,衔接BFAE是ABD的中线BE=DE又EF=AE,BEF=AEDBEF DEASASAD=BF,ADE=FBEADC=ABD+BADABF=