高等数学二重积分总结

1、第九章 二重积分【本章逻辑框架】 【本章学习目标】理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“

2、原型”平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12, , , n 的分法要任意，二是在每个小区域i 上的点(, i i i 的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0时总有同一个极限，才能称二元函数(, f x y 在区域D 上的二重积分存在。2明确二重积分的几何意义。(1 若在D 上(, f x y 0，则(, d Df x y 表示以区域D 为底，以(, f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(, f x y 1时，

3、(, d Df x y 表示平面区域D 的面积。(2 若在D 上(, f x y 0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d Df x y 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3若(, f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d Df x y 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积.3二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对

4、一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(, f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。【主要概念梳理】1. 二重积分的定义 设二元函数f(x,y在闭区域D 上有定义且有界.分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12, , , n ，同时用i 表示它们的面积，1,2, , . i n = 其中任意两小块i 和( j i j 除边界外无公共点。i 既表示第i 小块, 又表示第i 小块的面积.近似、求和 对任意点(, i i i ,作和式1(, . ni i i i f =取极限 若i 为i 的直径，记12max, , , n = ,

5、 若极限01lim (, ni i i i f = 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(, i i 的取法，称此极限为f (x,y 在D 上的二重积分. 记为01(, d lim (, . ni ii D f x y f = 称f (x,y 为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d 为面积微元(或面积元素.2. 二重积分 (, d Df x y 的几何意义(1 若在D 上f (x,y 0，则(,dD fx y 表示以区域D 为底，以f (x,y 为曲顶的曲顶柱体的体积.(2 若在D 上f (x,y 0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d Df x y 的

6、值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3若f (x,y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d Df x y 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积.3二重积分的存在定理3.1若f (x,y 在有界闭区域D 上连续，则f (x,y 在D 上的二重积分必存在(即f (x,y 在D 上必可积.3.2若有界函数f (x,y 在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y 在D 可积.4二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质. 假设下面各性质中所涉及的函数f (x , y

7、，g(x,y在区域 D 上都是可积的.性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即(, (, d(, d (, d . D D Df x y g x y f x y g x y ±=±性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即(, d (, d (. D Dkf x y k f x y k =为常数性质3 若D 可以分为两个区域D 1, D 2，它们除边界外无公共点，则12(, d (, d (, d . D D D f x y f x y f x y =+性质4 若在积分区域D 上有f (x , y =1，且用S (D 表示

8、区域D 的面积，则d (. DS D =性质5 若在D 上处处有f (x , y g (x , y ，则有(, d (, d . D Df x y g x y 推论 (, d (, d . D Df x y f x y 性质6(估值定理 若在D 上处处有m f (x , y M ，且S (D 为区域D 的面积，则( (, d (. DmS D f x y MS D 性质7(二重积分中值定理 设f (x , y 在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(, , 使(, d (, (. Df x y f S D =【基本问题导引】根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：12d Da xdy =

9、，其中222(, |D x y x y a =+2设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则21( , D I x y d =+32( DI x y d =+的大小关系是 .【巩固拓展提高】1若f (x , y 在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有*(, d 0D f x y =，试证明在D 内恒有f (x , y 02估计22(y d DI x xy x xdy =+-的值，其中(, |02,01.D x y x y =3设f (x , y 是有界闭区域D ：222x y a +上的连续函数，则201lim (, a D f x y dxdy a 的值为多

10、少？【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。9.2 在直角坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似12( ( x y x a x b或12( (y x y c y d 的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质12(, d (, d (, d .DD D f

11、 x y f x y f x y =+对右端各式进行计算。(2交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分 形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x 积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：确定D 的边界曲线，画出D 的草图；求出D 边界曲线的交点坐标；将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； 考虑是否

12、要将D 分成几块； 用x , y 的不等式表示D .注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：( 保证各层积分的原函数能够求出；( 若D 为X 型(Y 型, 先对x (y 积分；( 若D 既为X 型又为Y 型，且满足( 时，要使对D 的分块最少。(3 利用对称性等公式简化计算 设f (x , y 在区域D 上连续，则 当区域D 关于x 轴对称若(, (, f x y f x y -=-，则(, d Df x y 0；若(, (, f x y f x y -=，则(, d Df x y 21(, d D f x y ，其中D 1为D 在x 轴上方部分。当区域D 关于y 轴对称若(, (,

13、f x y f x y -=-，则(, d Df x y 0；若(, (, f x y f x y -=，则(, d Df x y 22(, d D f x y ，其中D 2为D 在y 轴右侧部分。当区域D 关于x 轴和y 轴都对称若(, (, f x y f x y -=-或(, (, f x y f x y -=-，则(, d Df x y 0；若(, (, (, f x y f x y f x y -=-=，则(, d Df x y 41(, d D f x y ，其中D 1为D 在第一象限部分。轮换对称式设D 关于直线y x =对称，则(, d Df x y (, d Df y x .

14、【基本问题导引】一判断题1dxdy=Dxy 4122221dxdy, :4; :4, 0, 0D xy D x y D x y x y + ( 2. 若f 为连续函数，则21221012(, (, (, x xydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx-+= ( 【主要概念梳理】直角坐标系中二重积分计算当被积函数f (x , y 0且在D 上连续时, 若D 为 X - 型区域 12( (:x y x D a x b 则21(, d d d (, d bx Dax f x y x y x f x y y =若D 为Y 型区域12( ( :y x y D c y d

15、,则21(, d d d (, d dy D c y f x y x y y f x y x =说明:若积分区域既是X 型区域又是Y 2211(, d d d (, d d (, d bx dy Dax cy f x y x y x f x y y y f x y x=【巩固拓展提高】 1.(1992计算112111224. y y xxy I dy dx dy dx =+2. 设1( x xyf x e dy =，计算10( f x dx .9.3 在极坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1 一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为22

16、(, f x y +(, y f x ( xf y等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。 【基本问题导引】1. 若二重积分的积分区域D 是2214, x y +则Ddxdy 。2设222:, 0,(0. D x y a x a +>将二重积分(, d D I f x y =化为极坐标形式的二次积分，则=I 3设2222:,0. D a x y b a b +<<将二重积分(, d D I f x y =化为极坐标形式的二次积分，则=I .【主要概念梳理】利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆r =常数及射线 =常数, 分划区域D 为(1,2, , k k

17、 n = 。则(, d (cos , sin d d DDf x y f r r r r = 特别地 若12( (:, r D 则有21( (cos , sin d d d (cos , sin d D f r r r r f r r r=若0( :r D 则有(cos , sin d d d (cos , sin D f r r r r f r r =若0( :02r D 则有2(00(cos , sin d d d (cos , sin d D f r r r r f r r r r =【巩固拓展提高】1计算二重积分：22|1|d , Dx y -其中22:4. D x y +2设22:1, 0, 0. D x y x y +计算二重积分：22ln(1d . Dx y +9.4 二重积分的应用【学习方法导引】二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。【主要概念梳理】(1 空间立体的体积V设空间立体由曲面1:(, z f x y =与2:(, z g x y =所围成， 在xoy 面投影为平面区域D ，并且(, (, f x y g x y . 则(, (,