一轮复习之导数

1、 第一讲、变化率与导数、导数的计算考点一：导数的运算【例1】求下列函数的导数；（1）（2）变式1 求下列函数的导数；（1）（2）（3） 变式2已知f(x)=_ 考点二：导数的几何意义命题角度一 、求切线方程【例2】已知函数（1）求曲线（2）求经过点。变式1设且命题角度二 求切点坐标【例3】（1）设曲线上点P处的切线垂直，则P的坐标是_（2）若点P是曲线的最小距离为_命题角度三 求参数的值【例4】（1）已知函数（2）已知曲线相切，则第二讲、导数与函数的单调性考点一：利用导数判断（证明）函数的单调性【例1】已知函数讨论函数的单调性；变式1 已知函数（1）确定（2）若考点二、利用导数求函数

2、的单调区间【例2】已知函数处的切线垂直于直线（1）求（2）求函数考点三、利用导数解决函数单调性的应用问题命题角度一、已知函数的单调性求参数的取值范围【例3】已知函数（1）若（2）若（2）若变式1 已知函数则该函数的图像是（）命题角度二、比较大小或解不等式【例4】（1）若A. C .（2）已知函数则不等式变式1 已知的导函数，且总有，则不等式A. 第三讲、导数与函数的极值与最值考点一：运用导数研究函数的极值【例1】设（1）当（2）求函数变式1 若函数A.C.变式2 已知的极小值点，那么函数的极大值为（）考点二：运用导数研究函数的最值【例2】已知函数（1）求（2）求变式1 函数变式2 已知（1）讨

3、论（2）当考点三：函数的极值与最值的综合问题【例3】已知函数当（1）求（2）求变式1 已知函数（1）求（2）若函数与导数核心解答题核心考点一 含参函数的单调性（区间）、极值与最值解法突破：第一步：（定义域）求函数的定义域；第二步：（导函数）求导函数；第三步：（导函数零点）以导函数的零点存在性进行讨论；第四步：（零点大小）当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间端点的位置关系；第五步：（研究主“导”函数）画出主“导”函数的草图，判断符号。第六步：（写出单调区间）根据第五步的草图，确定单调区间；第七步：（综上所述）综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间。方向一、导数的灵魂含参函数的

4、单调性【例6.1】设函数求函数的单调区间。变式1.设函数，讨论函数的单调性。【例6.2】设函数的单调区间。变式1.已知函数，求函数【例6.3】设函数判断函数在区间上的单调性，并求最大值和最小值。变式1.已知函数在点处的切线方程为。（1） 求a,b的值；（2） 求f(x)的单调区间。方向二、求含参函数的极值与最值类型一 含参函数的极值问题解法突破：含参函数的极值问题，核心还是含参函数的单调性。【例6.4】已知，求函数变式1.已知函数的导函数的两个零点为（1） 求（2） 若的极大值。变式2.已知函数。（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；（2） 设函数,讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值

5、。类型二 函数确定、区间含参的最值问题解法突破：求最值的原理是不变的，这里要注意的是需按区间与函数定义域的关系分类讨论。【例6.5】已知函数的定义域为。（1）求函数（2）求函数变式1.已知函数fx=3x2+1,g(x)=x3-9x若函数上的最大值为28，求k的取值范围。类型三 函数含参、区间确定的最值问题解法突破：超越函数（指数函数、对数函数、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的，函数在区间上的最大（小）值，若不是区间端点值就是极大（小）值。【例6.6】已知函数（1） 若上是增函数；（2） 求fx在1,+)上的最小值。变式1.已知函数（1） 若曲线在它们的交点处具有公共切线，

6、求a,b的值；（2） 当求函数并求该函数在区间上的最大值。类型四 函数含参、区间含参的最值问题【例6.7】已知函数（1） 若求曲线在点处的切线方程；（2） 若求类型五 已知最值、求参数的值域或范围问题解法突破：已知函数最值，求其中参变量，扔按求最值的思路与步骤进行，列出有关参数的方程或不等式求其参数值或范围。【例6.8】已知函数（1） 当（2） 若变式1.已知函数（1） 讨论的单调性；（2） 当有最大值，且最大值大于核心考点二 函数的零点问题思路提升：研究函数的零点问题常常与研究相应方程的实根问题相互转化。1、 已知含参函数存在零点（即至少有一个零点），求参数范围问题，一般可化为代数问题求解，

7、即对进行参变分离，得到的形式，则所求a的范围就是的值域。2、 当研究函数的零点个数问题，即方程的实根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形几何（几何法）思想求解。方向一、方程解（函数零点）的个数问题类型一 函数零点的个数问题的处理理论解法突破：函数零点的个数问题考查的核心是函数零点的存在唯一性定理：函数在区间上具有单调性，且满足，则函数在区间上具有唯一的零点。【例6.9】设函数且（1） 求（2） 求函数（3） 若函数有3个不同的零点，求实数b的取值范围。变式1.已知.(1) 求实数b的值。(2) 求函数(3) 当是否同时存在实数与曲线都有公共点，若存在，求出最小的实数m和最大

8、的实数M；若不存在，请说明理由。变式2.已知函数，是否存在实数m,使得的图像与有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。类型二 验证零点存在性的赋值理论【例6.10】设函数（1） 当点处的切线方程；（2） 求（3） 若函数变式1.讨论的导函数的零点个数。变式2.已知函数。（1） 讨论了(2) 若有两个零点，求实数a的取值范围。类型三 可转化成研究函数零点个数的问题1、含参函数在区间上不单调，求参数范围【例6.11】设函数，其中若函数（0,3）上不单调，求k的取值范围。变式1.已知函数（1） 设（2） 在（1）的条件下，若函数(其中)在区间(1,3)上不是单调函数，

9、求实数m的取值范围。3、 函数的极值点个数【例6.12】设常数（1） 当（2） 求证：变式1.已知函数在区间（e是自然对数的底数）上有且只有一个极值点，求实数的取值范围。方向二、函数中的隐零点问题解法突破：解决函数零点问题时，常分显零点（可以求出具体的零点）、隐零点（零点不可求，可通过图像了解零点个数，可通过方程了解零点范围及对零点进行应用）。【例6.13】已知函数的图像在点A（1，f(1)）处的切线与直线平行，求证：函数变式1.当恒成立，求整数k的最大值。方向三、函数零点问题中有关双零点关系的研究类型一 两零点是二次函数零点解法突破：当研究的两零点是二次函数的零点时，此时可认为两零点的关系是

10、明确的，可根据根与系数的关系得到两根满足的要求，消元后进一步求解。【例6.14】已知函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围。变式1.已知函数若函数，且所有极值之和小于求实数的取值范围。变式2.已知函数处的切线(1) 求实数(2) 设是函数的两个极值点，若类型二 两零点关系不明确解法突破：当两零点关系不明确时，要利用降元思想，将双元不等式转为单元不等式，即通过人为或者利用函数的性质构建关系解决，具体途径有二： 设函数零点为主元，将建立关于t的函数，用函数思想建立数量关系，借助导数这一工具证明不等式； 利用转化思想，将函数不等式转为函数单调性求解，即将含的形式归到同一个单调区间上，由建立桥梁，转

11、化为单元不等式证明。【例6.15】已知函数，求证：.变式1 已知函数.求证：变式2 已知函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由。变式3 已知函数有两个零点核心考点三 不等式恒成立与存在性问题方向一、函数中的恒成立问题解法突破：我们所研究的函数中的恒成立问题即在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题。核心思想是转化，即将恒成立问题转化为最值问题求解。转化途径有：1.分离自变量与参变量；2.不分离自变量与参变量。对于是否分离自变量与参变量的标准在于区间端点值代入验证，看不等式是否取等号。若区间端点值代入，不等式取等号，则不分离自变量与参变量；若区间端点值代入，不等式不能取等号，则可以分离自

12、变量与参变量。分离自变量与参变量的作用在于有效地避免对参数的讨论。若不分离自变量与参变量，接下来可有以下三种方法来求解。解法一：整体分析法，即构造函数分析单调性，求最值。解法二：从充分条件入手，找到目标成立的一个充分条件，得到参数范围A，再验证对于不等式不恒成立，从而得到参数范围。如对含参数恒成立，求a的取值范围，可以大胆假设目标成立的充分条件是单调递增，即，得出参数a的范围，再证明其范围的补集不能使恒成立，即找到一个反例即可，这样综合求得参数范围。解法三：从必要条件入手，即找到目标成立的必要条件，其目的是缩小参数范围，有效地避免复杂的讨论，得出范围A，再证明充分性（即在此范围内，目标成立），

13、综合求得参数范围。如对于含参数a的函数恒成立，求a的范围，则可先得出a所要满足的必要条件，即,得出参数a的取值范围，再证明在此范围内，不等式恒成立。类型一 恒成立问题处理理论【例6.16】（1）若对任意恒成立，求a的范围；（2）若对任意恒成立，求a的范围；变式1.若恒成立，求a的取值范围。变式2.若恒成立，求a的范围。变式3.设函数（1） 讨论的单调性；（2） 当，求a的取值范围。类型二 可转化为不等式恒成立类型的问题解法突破：很多的问题可以通过数学语言进行转化，将问题转化为恒成立问题解决。【例6.17】已知函数在其定义域上为增函数，求a的取值范围。变式1.已知函数（1） 当（2） 若上是单调

14、函数，求a的取值范围。变式2.已知函数。（1） 讨论（2） 若对任意恒成立，求实数a的取值范围。方向二、函数中的存在性问题解法突破：我们所研究的函数中的存在性问题即在不等式有解的条件下，求参数的取值范围问题。（1） 若函数和最大值则对不等式有解问题有以下结论：不等式不等式不等式不等式（2） 若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为（m,n）则不等式有解问题有以下结论：不等式不等式类型一 存在性问题处理理论【例6.18】已知函数。若存在成立，求a的取值范围。变式1.已知函数若在区间使得求实数a的取值范围。变式2.已知函数曲线处的切线斜率为0.（1）求b；（2）若存在的取值范围。类型二 可转化

15、为存在性类型的问题【例6.19】已知函数（1）若函数上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当，函数上的最小值为，求函数变式1.已知函数且函数上存在单调递增区间，求实数m的取值范围。方向三、函数中恒成立与存在性的综合问题解法突破：对于任意的，使对于任意的，使对于任意的，使存在，使【例6.20】已知函数（1）求函数（2）求证：当成立。变式1.已知函数求证：对任意【例6.21】已知函数设若对任意的，求实数b的取值范围。变式1.已知函数（1）求的单调区间；（2）设求a的取值范围。核心考点四 函数不等式的证明思路提示：构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，

16、而构造辅助函数是导数证明不等式的关键，构造辅助函数的一般方法及解题程序如下：1、移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式的一端为0，另一端即为所作的辅助函数2、求在指定区间上的增减性；3、求出区间端点的函数值（最值），作比较即得所证。 方向一 函数不等式的证明理论【例6.22】证明不等式：变式1.证明不等式：变式2.证明不等式：方向二 函数不等式证明中的变形原理解法突破：不等式证明过程中通常涉及两类问题，即不含参函数与含参函数，常见的表达式主要是的单项式或多项式的混合形式，下面梳理了几种常见的形式进行讲解：类型一 涉及“幂函数”与“lnx”的积商形式解法突破：对于这类函数，一般来说，每次求导

17、，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含“lnx”的式子，如，需两次求导，才能化成不含“lnx”的式子，如将“lnx”分离出来，只需一次求导，即可化成不含“lnx”的式子，所以我们在解决这类问题时，要尽可能把“alnx(a是非零常数)”分离出来。【例6.23】已知变式1.已知函数 变式2.已知函数（1）求a,b的值；（2）如果当类型二 涉及“” 与“lnx”的和差形式解法突破：对于原函数中含有的混合形式，可通过隐零点（导函数的零点不能具体算出时，设为它满足方程）所在的方程，将转化为幂的形式处理，简化不等式。【例6.24】设函数（1）讨论（2）求证：当变式1.已知函数 （1）设是（2）当类型三 涉及“幂函数”“” 与“lnx”的混合形式解法突破：对于同时含有幂函数、的形式，一般的处理方法或思路是将，以及将与幂函数形式的代数式进行配对。【例6.25】设函数（1）求（2）设变式1.证明不等式：变式2.已知。求证：方向三 借助铺设条件证明不等式【例6.26】已知函数（1）求（2）若【例6.27】已知函数 （1）讨论函数（2）设变式