三理科数学小综合专题练习立体几何

1、高三理科数学小综合专题练习立体几何一、选择题1已知直线 、，平面、，且，则是的.充要条件 .充分不必要条件 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件2如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为A.PADBCB.C.D.43如右图所示，ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC则点M在正方形ABCD内的轨迹为 ABCDABCDABCDCDAB A B C D4已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面，有下列命题若若若其

2、中真命题的个数是A4B3C2D15如图，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为， 的中点.将沿，折成三棱锥以后，与所成角的度数为 A90° B60° C45° D0°二、填空题6已知ABC的斜二测直观图是边长为2的等边，那么原ABC的面积为 7已知三棱锥的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为 8如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 。9 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与

3、平面所成角的正弦值为_10设是边长为的正内的一点，点到三边的距离分别为，则；类比到空间，设是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和= 三、解答题11. 一个多面体的直观图和三视图如下(其中分别是中点)：(1)求证:平面;(2)求多面体的体积.12如图，四边形中（图1），是的中点，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.13如图，多面体中，是梯形，是矩形，面 面，求证：平面；若是棱上一点，平面，求；求二面角的平面角的余弦值14如图，已知直角梯形的上底，平面平面，是边长为的等边三角形。（1）证明：；（2）求

4、二面角的大小。（3）求三棱锥的体积。15如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，又DC面ABC，四边形ACDE为梯形，DE/AC，且AC2DE，CD2，二面角BDEC的大小为，。（1）证明：面ABE面ACDE；（2）求四棱锥BACDE的体积。16. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，P为A1C1的中点，AB=BC=kPA。 （1）当k=1时，求证PAB1C； （2）当k为何值时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为，并求此时二面角APCB的余弦值。17一个多面体的直观图和三视图如图所示，点是的中点，点是的中点（1）求证：平面平面；（2）求多面

5、体的体积；（3）在上探求一点，使得平面主视图俯视图左视图 EFCDGAMB参考答案一、选择题15：BADCA二、填空题6. 7. 18 8. 9. 10.三、解答题11.解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=2 ，CBF= （1）证明：取BF的中点G，连接MG、NG，由M，N分别为AF，BC的中点可得，NGCF，MGEF，平面MNG平面CDEF，又MN平面MNG，MN平面CDEF（2）取DE的中点HAD=AE，AHDE，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE平面CDEF，平面ADE平面CDEF=DEAH平面CDEF多面体A-C

6、DEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在ADE中，AH= S矩形CDEF=DEEF=4 ，棱锥A-CDEF的体积为V= S矩形CDEFAH= ×4 × = 12如图取BD中点M，连接AM，ME。因因 ， 满足：, 所以是BC为斜边的直角三角形，, 因是的中点,所以ME为的中位线 ， , 是二面角的平面角= ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线平面AEM 因,为等腰直角三角形，（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，,D,C设异面直线与所成角为,则由可知满足，是平面ACD的一个法向量,记点

7、到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则，所以d。（2），(3)解法二：取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN/AB,又ME/CD所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，即或其补角中较小之一。，N为在斜边中点所以有NE=,MN=,ME=,=(3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积,又由（1）知AE是A-BCD的高、E为BC中点，AEBC 又, , 到平面的距离 解法三：(1) 因 ， 满足：,。如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c) (由图知a>0,

8、b>0,c>0) 得平面BCD的法向量可取,，所以平面ABD的一个法向量为则锐二面角的余弦值从而有,所以平面 (2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)， 设异面直线与所成角为,则 (3)由可知满足，是平面ACD的一个法向量,记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则 13分 所以d13证明与求解： 面，从而。又因为面，面面，所以平面。 连接，记，在梯形中，因为，所以，从而，又因为，所以。连接，由平面得，因为是矩形，所以。 以为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则有，即，解得。同理可得平面的一个法向量为，

9、观察知二面角 的平面角为锐角，所以其余弦值为。14解：（1）在直角梯形中，因为，所以。因为，平面平面，平面平面，所以平面，因此在中，。因为所以平面，所以在中，。所以在中，所以。 （2）设线段的中点为，连接，因为是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，所有平面，因此，由（1）知，所以平面，所以，因此就是二面角的平面角，在中，所以。 （3）15解：（1）BC是直径，BACA 又DC面ABC，BADC ACDCC，AC，DC面ACDEBA面ACDE 且BA面ABE面ABE面ACDE （2）延长DE到F，使DFAC，连结AF，BFDCAC，故四边形ACDE为矩形，DFAF 由（1）BADF，AFB

10、AA，DF面BAF，BFDFAFB为二面角BDEC的平面角，即AFB在RTBAF中，得BACA，由（1）知，四棱锥BACDE的高为BA16.（1）连接B1P，因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，P为A1C1的中点，AB=BC，所以B1P面A1C。所以B1PAP。又因为当k=1时，AB=BC=PA=PC，APPC。AP平面B1PC，PAB1C。 （2）取线段AC中点M，线段BC中点N，连接MN、MC1、NC1，则MN/AB，AB平面B1C，MN平面B1C，是直线PA与平面BB1C1C所成的角，设AB=a，即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为此时，过点M作MH，垂足为H，连接BH，由

11、三垂线定理得BHPC，所以是二面角APCB的平面角。设AB=2，则BC=2，PA=-4，在直角三角形中AA1P中，连接MP，在直角三角形中由，又由，在直角三角形中BMH中，解得，在直角三角形BMH中所以二面角APCB的余弦值是另解：以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz， （1）设AB=2，则AB=BC=PA=2根据题意得：所以 （2）设AB=2，则，根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0）又因为所以，所以由题意得即即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为的法向量设平面BPC的一个法向量为由，得，所以此时二面角APCB的余弦值是17证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=DCEFCDGAMBS (1)连接DB，则ACDB 又FDAD FDCD，FD面AB