第6章晶体构造几何理论

1、 十四种空间格子十四种空间格子 晶胞的概念晶胞的概念 晶体的微观对称要素晶体的微观对称要素 空间群空间群 等效点系等效点系 前面章节所叙述的晶体的特性和晶体外形上的各种前面章节所叙述的晶体的特性和晶体外形上的各种几何规律，都是由晶体内部的格子构造所决定的。因此，几何规律，都是由晶体内部的格子构造所决定的。因此，在研究晶体时，还必须进一步研究晶体内部格子构造的在研究晶体时，还必须进一步研究晶体内部格子构造的规律性。规律性。 1 1、单位平行六面体的划分原则、单位平行六面体的划分原则所选取的平行六面体应能反映结点分布所固有所选取的平行六面体应能反映结点分布所固有的对称性；的对称性；在上述前提下，所

2、选取的平行六面体其棱与棱在上述前提下，所选取的平行六面体其棱与棱之间的直角应力求最多；之间的直角应力求最多；在遵循上两个条件的前提下，所选取的平行六在遵循上两个条件的前提下，所选取的平行六面体的体积应最小。面体的体积应最小。v实质上与晶体定向的原则一致，即尽量使实质上与晶体定向的原则一致，即尽量使abc，90。 n例如，下图为具有例如，下图为具有L44P的平面格子。显然，的平面格子。显然，4、5、6与对称不符，与对称不符，3的轮廓虽然符合对称性，但结合其内的轮廓虽然符合对称性，但结合其内部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在1和和2中，则以中，

3、则以1的面积最小，故应选的面积最小，故应选1作为基本单位。作为基本单位。 平行六面体的三根棱长平行六面体的三根棱长a a、b b、c c及其夹角及其夹角、是表示它本身的形状、大小的一组参是表示它本身的形状、大小的一组参数，称为数，称为单位平行六面体参数单位平行六面体参数或或格子常数格子常数。 2 2、单位平行六面体的形状和结点分布、单位平行六面体的形状和结点分布立方格子立方格子四方格子四方格子六方和三方格子六方和三方格子三方菱面体格子三方菱面体格子斜方（正交）格子斜方（正交）格子单斜格子单斜格子三斜格子三斜格子各晶系平行六面体的形状各晶系平行六面体的形状晶晶 系系格子常数特点格子常数特点等轴晶

4、系等轴晶系 a = b=c =90四方晶系四方晶系 a = bc =90六方和三方晶系六方和三方晶系 a = bc =90=120三方晶系三方晶系 a = b=c = 90、60 、109 2816斜方晶系斜方晶系 ab c =90单斜晶系单斜晶系 ab c =90 90三斜晶系三斜晶系 a b c 90各晶系的格子常数特点各晶系的格子常数特点根据平行六面体中结点的分布情况，又可以分为四种格子根据平行六面体中结点的分布情况，又可以分为四种格子类型：类型：原始格子（原始格子（P P）、底心格子（）、底心格子（C C）、体心格子（）、体心格子（I I）和）和面心格子（面心格子（F F）。）。（1）

5、 原始格子原始格子（P）：）：结点分布于平行六面体八个角顶上结点分布于平行六面体八个角顶上 由于顶点上的每一个结点分属于邻近的8个单位平行六面体 因此，每一个原始格子的单位平行六面体内只含有一个结点一个结点（2） 底心格子底心格子：结点分布于平行六面体的角顶及某一对结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。其中又可面的中心。其中又可 细分为细分为三种类型：三种类型： 每一个底心格子的单位平行六面体内只含有二个结点二个结点C心格子（C）：平行（001）一对面的中心有结点；A心格子（A）：平行（100）一对面的中心有结点； B心格子（B）：平行（010）一对面的中心有结点。（3） 体心格子体心格

6、子（I）：）：结点分布于平行六面体的角顶和结点分布于平行六面体的角顶和体中心。体中心。 每一个体心格子的单位平行六面体内只含有二个结点二个结点 （4） 面心格子面心格子（F）：）：结点分布于平行六面体的角顶结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。和三对面的中心。 每一个面心格子的单位平行六面体内只含有四个结点四个结点3 3、十四种空间格子、十四种空间格子 综合考虑平行六面体的形状和结点的分布，空间格子综合考虑平行六面体的形状和结点的分布，空间格子共有十四种，最初是由布拉维推导出来的，所以称为共有十四种，最初是由布拉维推导出来的，所以称为十四十四种布拉维格子种布拉维格子。而不是。而不是2828

7、种，因为有些类型的格子是彼此种，因为有些类型的格子是彼此重复的，还有一些格子不符合某些晶系的对称而在该晶系重复的，还有一些格子不符合某些晶系的对称而在该晶系中不能存在。中不能存在。 三斜原始格子三斜原始格子单斜原始格子单斜原始格子单斜底心格子单斜底心格子斜方原始格子斜方原始格子斜方底心格子斜方底心格子斜方体心格子斜方体心格子斜方面心格子斜方面心格子CP IP FPIC FC三斜晶系三斜晶系单斜晶系单斜晶系斜方晶系斜方晶系表：十四种布拉维格子表：十四种布拉维格子原始格子（原始格子（P） 底心格子（底心格子（C） 体心格子（体心格子（I） 面心格子（面心格子（F）四方原始格子四方原始格子四方体心格

8、子四方体心格子立方原始格子立方原始格子立方体心格子立方体心格子三方菱面体格子三方菱面体格子(标记为标记为R)六方和三方原始格子六方和三方原始格子立方面心格子立方面心格子CPFI与本晶系与本晶系对称不符对称不符IR FR不符合六不符合六方对称方对称与空间格子与空间格子条件不符条件不符与空间格子与空间格子条件不符条件不符与本晶系与本晶系对称不符对称不符四方晶系四方晶系三方晶系三方晶系三、六方晶系三、六方晶系等轴晶系等轴晶系续表：十四种布拉维格子续表：十四种布拉维格子晶胞：晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的空间格子中的平行六面其形状大小与对应的空

9、间格子中的平行六面体一致。体一致。晶胞与平行六面体的区别：晶胞与平行六面体的区别：空间格子由晶体空间格子由晶体结构抽象而得，空间格子中的平行六面体是结构抽象而得，空间格子中的平行六面体是由不具有任何物理、化学特性的几何点构成；由不具有任何物理、化学特性的几何点构成；而晶体结构中的晶胞则由实在的具体质点所而晶体结构中的晶胞则由实在的具体质点所组成。组成。若晶体结构中划分晶胞的平行六面体单位若晶体结构中划分晶胞的平行六面体单位是对应空间格子中的单位平行六面体时，这是对应空间格子中的单位平行六面体时，这样的晶胞称为样的晶胞称为单位晶胞单位晶胞。单位晶胞可用单位晶胞可用晶胞参数晶胞参数来表征，其数值等

10、来表征，其数值等同于对应的单位平行六面体参数。同于对应的单位平行六面体参数。一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。Cl-Na+ClNa例如：例如：NaClNaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子，晶体的晶胞，对应的是立方面心格子，a=b=c=0.5628nma=b=c=0.5628nm，=90=90。许许多多该晶胞在。许许多多该晶胞在三维空间无间隙的排列就构成了三维空间无间隙的排列就构成了NaClNaCl晶体。（晶体。（一个晶一个晶胞含有胞含有4 4个个NaClNaCl分子分子） 大晶胞大晶胞是相对于单位晶胞而言的是相对于单位晶胞而言的例：六方原始格子形式的晶

11、胞就是常见的大晶胞 （由3个菱方柱拼成）v晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称，晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称，不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造的对称，而且是宏观的有限图形的对称。的对称，而且是宏观的有限图形的对称。晶体的微观对称的主要特点如下：晶体的微观对称的主要特点如下：在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多的和它相同的对称要素。的和它相同的对称要素。在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的对称操作对称操作平移操作。

12、平移操作。 在晶体内部构造中除有其外形上可能出现的那些在晶体内部构造中除有其外形上可能出现的那些对称要素之外，还出现了一些特有对称要素：对称要素之外，还出现了一些特有对称要素：平移轴：平移轴：图形沿一直线方向移动一定距离后，图形沿一直线方向移动一定距离后，可使相同部分重复。任何一行列都是平移轴，有可使相同部分重复。任何一行列都是平移轴，有无穷多个，因此，一般不用平移轴描述晶体的微无穷多个，因此，一般不用平移轴描述晶体的微观对称。观对称。滑移面（像移面）：滑移面（像移面）：是一个假想平面，当图形是一个假想平面，当图形对此平面反映，并平行此平面的某一方向移动一对此平面反映，并平行此平面的某一方向移

13、动一定距离，可使图形的相同部分重复；也可以先平定距离，可使图形的相同部分重复；也可以先平移后反映，效果相同。移后反映，效果相同。 滑移面可按其平移方向与距离的不同分为滑移面可按其平移方向与距离的不同分为轴向轴向滑移、对角线滑移和金刚石型滑移，共滑移、对角线滑移和金刚石型滑移，共5 5种滑移种滑移面。面。见下表。见下表。0螺旋轴：螺旋轴：为一条假想的直线，当图形围绕此直线旋转一为一条假想的直线，当图形围绕此直线旋转一定角度，并沿此直线方向平移一定距离后，可使图形复原。定角度，并沿此直线方向平移一定距离后，可使图形复原。也可以先平移后旋转。也可以先平移后旋转。n螺旋轴的国际符号一般写成螺旋轴的国际

14、符号一般写成ns，n为轴次。为轴次。s为小于为小于n的的自然数。与对称轴一样，自然数。与对称轴一样，n只能为只能为1，2，3，4，6；相应；相应的基转角的基转角360、180 、120 、90 、60 。n若沿螺旋轴方向的结点间距标记为若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则，则质点平移距离质点平移距离t应为（应为（s/n）T。如。如21，2为轴次，基转角为为轴次，基转角为180 ，平，平移距离移距离t1/2T。n螺旋轴据其轴次和平移距离可分为螺旋轴据其轴次和平移距离可分为2 21 1、3 31 1、3 32 2、4 41 1、4 42 2、4 43 3、6 61 1、6 62 2、6 63 3、

15、6 64 4、6 65 5共共1111种种。一次螺旋轴因。一次螺旋轴因s s值无意义而不能值无意义而不能成立。成立。n螺旋轴据其旋转方向可有螺旋轴据其旋转方向可有左旋（顺时针旋转）、右旋（逆左旋（顺时针旋转）、右旋（逆时针旋转）和中性（顺、逆时针旋转均可）时针旋转）和中性（顺、逆时针旋转均可）螺旋轴螺旋轴。n一般规定：当一般规定：当0 0s sn/2n/2时属右旋时属右旋(3(31 1 、 4 41 1 、 6 61 1 、 6 62 2) )；当当n/2n/2s sn n时属左旋时属左旋(3(32 2 、 4 43 3 、 6 64 4 、 6 65 5) )；s sn/2n/2时时属中性螺

16、旋轴属中性螺旋轴(2(21 1、4 42 2、6 63 3）。）。n上述上述1111种螺旋轴，其旋转方向和平移距离都是以右旋方式为标准的。种螺旋轴，其旋转方向和平移距离都是以右旋方式为标准的。若以左旋为标准，其平移距离应为（若以左旋为标准，其平移距离应为（1-s/n)T1-s/n)T。分左、右旋只是为便于。分左、右旋只是为便于研究和表达。研究和表达。晶体结构晶体结构中所能出中所能出现的螺旋现的螺旋轴示意图轴示意图空间群：晶体内部结构的对称要素的组合。空间空间群：晶体内部结构的对称要素的组合。空间群共有群共有230230种。种。晶体结构中可能出现的对称要素晶体结构中可能出现的对称要素类类 型型名

17、名 称称国国 际际 符符 号号平移轴平移轴平移格子平移格子P、C、I、F轴对称要素轴对称要素对称轴对称轴1、2、3、4、6倒转轴倒转轴1(C)、2(m)、3(3C)、4、6(3m)螺旋轴螺旋轴21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65面对称要素面对称要素对称面对称面m像移面像移面a、b、c、n、dn空间群的国际符号包括两个组成部分。空间群的国际符号包括两个组成部分。前面的大写字母前面的大写字母代表格子类型（代表格子类型（P P、C C、I I、F F）。）。后一部分与对称型国际符后一部分与对称型国际符号基本相同，只是将宏观对称要素符号换成相应的内部结号基本相同，只是将宏观

18、对称要素符号换成相应的内部结构对称要素的符号。构对称要素的符号。n例如，例如，I I4 41 1/amd/amd空间群空间群。此晶体空间格子属于四方体心格。此晶体空间格子属于四方体心格子；它对应的对称型为子；它对应的对称型为4/mmm4/mmm，即，即L L4 44L4L2 25PC5PC；平行；平行Z Z轴方向轴方向为螺旋轴为螺旋轴4 41 1，垂直，垂直Z Z轴为滑移面轴为滑移面a a，垂直，垂直X X轴为对称面轴为对称面m m，垂，垂直直X X轴与轴与Y Y轴角平分线则为滑移面轴角平分线则为滑移面d d。空间群的国际符号空间群的国际符号n在其对称型符号的右上角加上序号即可。在其对称型符号的右上角加上序号即可。n例：例：对称型对称型L4，圣佛利斯符号，圣佛利斯符号C4，对应的六个空，对应的六个空间群的圣佛利斯符号为间群的圣佛利斯符号为C41、 C42、 C4 3、 C44、 C45、 C46。空间群的圣佛利斯符号空间群的圣佛利斯符号u表示空