】2019学年高中数学人教B版选修2-2同步练习：第1章知能基础测试

1、第一章知能基础测试时间 120 分钟，满分 150 分.一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)1 曲线 y=蒙一 2x 在点 1,3处的切线的倾斜角为()A 1B 45 C 45 D 135 答案D解析y = X 2,所以斜率 k= 1 2= 1，所以倾斜角为 135故选 D.2 .下列求导运算准确的是()f 3、“31A.x+ X=1+孑B 盹町=巫xx2C. (3) = 3 log3eD (xcosx)= 2xsinx答案B解析(x+3(= 1 马，所以 A 不准确；、 xx(3) = 3x|n3,所以 C

2、不准确；(x2cosx) = 2xcosx+ x2 sinx),所以 D 不准确；(log2x)z3如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出1xln2所以 B 对.故选 B.A ” IB. m|A . (0, 1)或(1,0)B. (1,0)或(一 1 , 4)答案A解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增T减T增T减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选 A.4.已知函数 f(x) = |x4 2x3+ 3m,x R，若 f(x) + 9 0 恒成立，贝 U 实数 m 的取值范围是()水面部分的图形面积为S(t)(&0) = 0)，则导函

3、数 y= S (t)的图像大致为答案A解析因为函数 f(x) =1x42X3+3m,所以 f (x)= 2x3- 6x2令f(x) = 0,得 x= 0 或 x= 3.27经检验知 x= 3 是函数的一个最小值点，所以函数的最小值点为f(3) = 3m 2.不等式 f(x) + 9 0恒成立，即 f(x) 9 恒成立，所以 3m9,解得 m|.5.直线 y= 4x 与曲线 y = x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A.22C. 2答案D解析如图所示y1()2第一象限的交点坐标为(2,8)4由定积分的几何意义得S=2(4x x3)dx= (2x2为|2= 8 4= 4.* o46.已知 f(

4、x) = xlnx, 若 f (xo) = 2,贝 U xo=()A2rA . eB . e答案B解析f(x)的定义域为(0,+a), f (x)= lnx+ 1,由 f (x)= 2,得 lnx+ 1= 2,解得 x0= e.7.(2019 会宁县期中)曲线 f(x) = x3+ x 2 的一条切线平行于直线y= 4x 1，则切点 P的C.mw33D . m|A . (0, 1)或(1,0)B. (1,0)或(一 1 , 4)坐标为()C. (- 1 , - 4)或(0, - 2)D . (1,0)或(2,8)答案B解析由 y= x3+ x 2,得 y = 3X2+ 1,由已知得3X2+1=

5、 4,解之得 x= 1.当X=1 时，y = 0;当X=1 时，y= 4.切点 Po的坐标为(1,0)或(1, 4).8 .函数 f(x) =X32X+3 的图象在X= 1 处的切线与圆X2+ y2=A .相切B .相交且过圆心C.相交但不过圆心答案C直线与圆相交但不过圆心.故选C.9.f (x)是 f(x)的导函数，f(X)的图象如图所示，贝 Uf(x)的图象可能是答案D解析由图可知，当 bxa 时，f(X)0，故在 a, b上, f(x)为增函数且又由图知f(X)在区间 a, b上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10.曲线 y= e2X在点(4, e2)处的切

6、线与坐标轴所围三角形的面积为()922A.eB. 4e2 2C. 2eD . eD .相离解析切线方程为y 2 =X1,即卩Xy+ 1 = 0.圆心到直线的距离为=_22|A . (0, 1)或(1,0)B. (1,0)或(一 1 , 4)答案Dx在点(4, e2)处的切线方程为 y = 1e2x e2,令 x= 0 得 y= e2，令 y= 0 得 x= 2, 围成三角形的面积为e2.故选 D.11. (2019 全国I理，7)函数 y= 2x2 e|x)在一 2,2的图象大致为()答案D解析由导函数图象可知，当 x0 时，函数 f(x)递减，排除 A , B;当 0 x0, 函数 f(x)

7、递增所以，当 x= 0 时，f(x)取得极小值，故选 D.12.(2019 甘肃省会宁一中高二期中)对于任意的两个实数对(a, b)和(c, d)，规定：(a, b) =(c, d)，当且仅当 a = c, b= d;运算？”为：(a, b)?(c, d)= (ac bd, bc+ ad);运算 “$” 为：(a, b) (c, d) = (a + c, b+ d),设 p, q R,若(1,2)?(p, q) = (5,0)，则(1,2) (p, q)=()A (4,0)B (2,0)C. (0,2)D (0, 4)答案B解析由(1,2) (p, q) = (5,0)得p 2q= 5 ? p

8、= 12p+ q=0 q= 2 所以(1,2) (p, q) = (1,2) (1 , 2)= (2,0).二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分.将准确答案填在题中横线上)13. (2019 全国卷川理，15)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x) = Inx3x,则 f (x) =1 3, f (1) = 2，则在点(1,x3)处的切线方程为 y + 3= 2(x 1),即卩 y= 2x 1.ax2114.若函数 f(x) = ax 在(0,)上为增函数，则实数 a 的取值范x围是x故 f (x)=ax丄2x2+答案a 0解析f (x)=1由题意得，a+VA

9、0 对 x (0,+g)恒成立,x1即 a -2, x (0,+g)恒成立. a0.x15.(2019 安徽理，15)设 x3+ ax+ b = 0，其中 a, b 均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_ .(写出所有准确条件的编号)a = 3, b= 3; a= 3, b = 2; a= 3, b2:a= 0, b= 2: a = 1, b = 2.答案解析令 f(x)= x3+ ax+ b,求导得 f (x)= 3x2+ a,当 aA0 时，f (x)A0,所以 f(x)单调 递增，且至少存有一个数使f(x)0,所以 f(x)= x3+ ax+ b 必有一个零点，即方程 x

10、3+ ax+ b = 0 仅有一根，故准确；当 a0 时，若 a= 3,则 f (x) = 3x2 3 =3(x+ 1)(x1)，易知，f(x)在(g,1), (1, +g)上单调递增，在1,1上单调递减，所 以 f(x)极大=f( 1) = 1 + 3+ b = b+ 2, f(x)极小=f(1) = 1 3+ b = b 2，要使方程仅有一根，贝 U f(x)极大=f( 1)= 1+ 3+ b= b+ 20 ,解得 b2, 故准确.所以使得三次方程仅有一个实根的是16. 已知函数 f(x)= x3 3x,若过点 A(1, m)(mz2)可作曲线 y= f(x)的三条切线，则实数 m 的取值

11、范围为_ .答案(3, 2)解析f(x)=3x2 3,设切点为p(x0,y0)，则切线方程为 y (x03x0)= (3x0-3)(xx0), .切线经过点A(1, m), m (x0 3x0) = (3x0 3)(1 x), m= 一 2x3+ 3x2 3 , m = 6xo+ 6x0，当 0X01 时，此函数单调递增，当 X01 时，此函数单调递减，当 X0= 0 时，m =3,当 x0= 1时，m= 2，当一 3m0),1令 f (x)= 0，解得 X1= 1 , X2=- 31(因为 X2=-1不在定义域内，舍去)3当 x (0,1)时，f (x)0,故 f(x )在(1,+)上为增函

12、数.故 f(x)在 x= 1 处取得极小值 f(1) = 3.18.(本题满分 12分)已知函数 f(x)= ax3+ cx+ d(a 0)是 R 上的奇函数，当x= 1 时，f(x)取得极值2. (1)求函数 f(x)的解析式；求函数 f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意 X1、(- 1,1)，不等式|f(X1) f(x2)|4 恒成立.解析(1)Vf(x)是 R 上的奇函数，二f( x)= f(x),即ax cx + d = ax cx d, d = d, d = 0(或由 f(0) = 0 得 d= 0). f(x) = ax3+ cx, f (x) = 3ax2+ c,又当

13、x= 1 时，f(x)取得极值一 2,f1=2,If 0 尸0, f(x) = x3 3x.(2)f (x) = 3x2 3 = 3(x+ 1)(x 1),令 f (x)= 0，得 x= 1, 当一 1x1 时，f (x)0,函数113 3x - 2x- 1f (x)一 x-27+2=27a= 1,c= 3.3a + c= 0,f(x)单调递减；当 x1 时，f (x)0，函数 f(x)单调递增；函数 f(x)的递增区间是(-8,1)和(1 , +m)；递减区间为(一 1,1).所以，f(x)在 x=- 1 处取得极大值，且极大值为f( 1) = 2.(3)由知，函数 f(x)在区间一 1,1

14、上单调递减，且 f(x)在区间一 1,1上的最大值为 M = f(1) = 2最小值为 m= f(1) = 2.对任意 X1、( 1,1),|f(X1) f(X2)|M m= 4 成立.即对任意( 1,1),不等式|偸)伽|4 恒成立.19.(本题满分 12 分)计算定积分|x+ 3|dx.G -4x 3, x 3,解析因为 f(x) = x+ 3|= 0)，借款的利率为 4.8%.又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款利率为 x, x (0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率 x 之间的关系式；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？解析

15、(1)由题意，存款量 g(x)= kx2银行应支付的利息 h(x) = xg(x)= kx3.23(2)设银行可获得收益为y,则 y = 0.048kx kx . y = 0.096kx 3kx2.令 y = 0，得 x= 0(舍去)或 x= 0.032。当 x (0,0.032)时,y 0 ; 当 x (0.032,0.048)时，y 0.当 x= 0.032 时，y 取得最大值.即当存款利率为 3.2%时，银行可获最大收益.21.(本题满分 12 分)设函数 f(x)= 2x3 3(a+ 1)x2+ 6ax+ 8,其中 a R. (1)若 f(x)在 x= 3 处取得极值，求常数 a 的值

16、；若 f(x)在(a,0)上为增函数，求 a 的取值范围.解析(1)f (x)= 6x2 6(a+ 1)x+ 6a = 6(x a)(x 1).因 f(x)在 x= 3 处取得极值，所以 f (3) = 6(3 a)(3 1) = 0，解得 a= 3.经检验知当 a = 3 时，x= 3 为 f(x)的极值点.令 f (x) =6(x a)(x 1) = 0 得 xi= a, X2= 1. 当 a0,所以 f(x)在(8,1)和(a, +8)上为增函数，从而 f(x)在(8, 0)上为增函数.综上可知，当 a0 时，f(x)在(8,0)上为增函数.x 222.(本题满分 14 分)(2019

17、全国卷H理，21)(I)讨论函数 f(x)=ex的单调性，并证明xI2当 x0 时，(x 2)ex+ x+ 20 ;xe ax a(n)证明：当 a 0,1)时，函数 g(x) =x(x0)有最小值，设 g(x)的最小值为 h(a),求 X函数 h(a)的值域.导学号 05300393解析(I)f(x)的定义域为(8,2)U(2,+ 8).f (X) =X-3 x+2eXx-2eX=车0,T(x)(x+ 22(x+ 2),且仅当 x= 0 时，f (x) = 0,所以 f(x)在(8,2), ( 2, +8)上单调递增.所以当 x (0, +)时，f(x)f(0)= 1.所以(x 2)ex (x+ 2), (x 2)ex+ x + 20. (n)g(x)=X-4 eJa X+2=宁伦)+a).由(I)知，f (x) + a 单调递增.对任意的a 0,1), f (0) + a = a 10, f(2) + a = a0.所以,存有唯一冷 (0,2，使得 f(Xa) + a= 0，即 g (Xa)= 0.当 0 xXa时，f(x) + a0, g (x)xa时，f(x) + a0 ,