关于一道数学高考题的多角度研究[1]

1、关于一道数学高考题的多角度研究 2007年江苏省高考数学试卷第19题考察了抛物线与不定直线的位量关系，第（2）、（3）小问是捆绑式的充要条件的证明问题，在思维灵活性的考察上有一定的要求，主要是用代数和几何相结合的观点解决问题，要求学生具有较强的跨知识点的运用、分析、运算、逻辑推理能力，题目比较新颖，属中档题，学生因为缺乏导数在解析几何中的灵活运用能力，出现比较多的丢分。据查本题满分14分，平均得5.4分，得分率38.6% 。事实上对本题进行适当的延伸拓展、探究,作为一个专题教学，进行数学美的欣赏，不仅可以激发学生的数学兴趣，提高学生变题解答能力，同时对新课改背景下的探究学习和研究性学习也是非常

2、必要的。一、 问题引入原题：如图，在直角平面坐标系xoy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线交于P、Q。（1） 若，求 c的值；（2） 若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3） 试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。 解答：1）由题意直线AB斜率必然存在，设A（），B（），直线AB方程：y=kx+c 则得，由韦达定理得：，解得2）由1）得，点Q（），抛物线在点A 处的切线的斜率，所以所以直线QA就是抛物线的切线。3）逆命题：若QA为抛物线的切线，则P为AB的中点。逆命题成立。设Q（），因为QA为抛物线的切

3、线，所以，即：，所以Q（），又因为所以P点的横坐标为，即P点为AB的中点。二、 延伸与拓展设计延伸1）在上面第(2)小题中，能否同理得到QB也为抛物线的切线？ 无非是第(2)小题的复制，意在加深学生对第(2)小题解答的理解。延伸2）直线AB的斜率与直线QC的斜率的乘积是否为常数？解：延伸3）直线QA与QB的斜率之积呢？解：从原第（2）小题解答易得： 意在强化利用导数求切线的斜率，并且得到两个特殊的定值，为后面的进一步探究作准备。拓展1）把题目改为：在直角平面坐标系xoy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线相交于AB两点，过点A点B分别作抛物线的切线交于点Q，求点Q 的轨迹方程

4、，并证明QP与X轴垂直。（P为线段AB的中点）解：直线的方程：直线的方程：消去,消去。即点Q 的轨迹方程为：，且点P与点Q 的横坐标相等，所以PQX轴。拓展2）把题目改为：抛物线，点C（0， c）,在上取点Q ，过点Q作抛物线的切线QA、QB，切点为A、B。问：1）点A、B、C三点共线吗？2） 解答：设点Q（），点A（），点B（），同理即，所以点A、B、C 三点共线。2）法一）继续把化简得， 法二）设过点Q作抛物线的切线的斜率为，则切线方程为：；与抛物线方程联立方程组消去，。 拓展1）与拓展2）的编排类似于原题，也是捆绑式的互为逆命题，难度上有所增加，解法上继续强调导数的应用和相切关系中的通法

5、运用。有一定的灵活性。师生互动在前面的基础上进一步激发学生对本题进行探究的好奇和兴趣。至此，我们已经把本高考原题作了一个比较深层的发现和挖掘，引导学生进行反思和小结，我们可以发现在数学题海中有许许多多的互为逆命题都是正确的，正面出题和反面出题形散而解题的根本方法相同，而且也有太多的定植问题，近几年的各省高考题中屡见不鲜。在此基础上不防作进一步的探究。三、 探究探究1）在前面的题目中，如果把点C定为抛物线的焦点，会有怎样的结论？探究2）把抛物线的方程改为一般的焦点在y轴的标准方程，情况又如何？变式训练1）已知抛物线C；的焦点为F，是其准线，Q为上一点，自Q点作抛物线C的两条切线QM、QN，且与抛

6、物线C分别相切于M、N两点则当若如果垂直，请给出证明；否则，请说明理由。求证：直线MN过点F。求证：QMQN。解答过程与方法与前面的雷同，可以通过学生的板演，教师点评来总结探究发现。我们有结论：对抛物线，1）如果过点F(0,c)作直线AB与抛物线交于A、B，在A、B点处的切线的交点Q必然在直线上，而且，切点Q与线段AB的中点的连线垂直于x轴。2）如果在直线上取点Q作抛物线的切线QA、QB，则A、B、F必然三点共线，其余结论同1）。3）如果F是抛物线的焦点，AB与QF，QA与QB都是垂直关系。探究3）把抛物线的方程改为一般的焦点在x轴的标准方程，又该怎么做？是否有相似的结论？（要以教师讲解为主了

7、） 可以把直角坐标系顺时针旋转后思考，对抛物线应该有全部相同的结论。请看下面的证明。变式训练2）抛物线，焦点F，过F作直线AB交抛物线于A、B。过A、B分别作抛物线的切线，两切线的交点为Q，1） 求证：点Q必然在准线上。2） 求证：QAQB3） 求证：QFAB证明：设直线AB的方程为： ，A（），B（）联立方程组 化简得，则利用隐函数求导法对进行求导得：，即，所以，；切线QA的方程为：，化简得：同理可得，联立消去y可得第1）问得证 消去x可得，所以ABQF第3）问得证，所以QAQB第2）问得证 本题证明的最大难点是切线斜率的隐函数的求导。从上面的证明可以看出结论的普遍性。结束语：直线与圆锥曲线的位置关系历来是高考中出题和考查的热点和重点，而从上面的解题过程我们可以很清楚的认识到导函数（包括隐函数的求导）的几何意义切线的斜率，在圆锥曲线的切线问题上有独到的妙用。比如在椭圆上的点P（）处的切线，我们也可以用隐函数求导法求得切线斜率：对进行两边对x求导:,所以切线斜率。写出点斜式切线方程，化简整理后得到切线方程为：，我们可以发现它与在