高三数学二轮复习 专题辅导（2）分类讨论精品教学案

1、【专题二】分类讨论思想【考情分析】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测2013年高考对本专

2、题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。【知识归纳】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、

3、a0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q1和q1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有，圆锥曲线的统一定义中图形的分类等；（3）由实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题

4、策略来解决的。在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。2分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究；3分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；4分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的

5、突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；5讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；6简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）

6、数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。【考点例析】题型1：集合中分类讨论问题例1（2012高考真题全国卷理2）已知集合A1.3. ，B1，m ,ABA, 则m=（ ）A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 解析：B；因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。例2（2012高考真题新课标理1）已知集合；则中所含元素的个数为（ ） 解析：D；要使,当时，可是1，2，3，4.当时，可是1，2，3.当时，可是1，2.当时

7、，可是1，综上共有10个，选D.点评：把握含参数问题参数的分类标准最为关键，像三角形的分类带来的参数标准的分类是解题的关键。题型2：函数、方程中分类讨论问题例3（2012高考真题四川理5）函数的图象可能是（ ）解析：D；当时单调递增，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，故C不正确 ；D正确.点评：含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。例4（2012高考真题安徽理19）设。（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。解析：（I）设；则，当时，在上是增函数，

8、得：当时，的最小值为。当时，当且仅当时，的最小值为。（II），由题意得：。点评：本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。题型3：解析几何中的分类讨论问题例5（2011山东理22）（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此

9、又因为所以由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （II）解法一： （1）当直线的斜率不存在时，由（I）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |OM|·|PQ|的最大值为 （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得证明：假设存在，由（I）得因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过

10、原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G。点评：处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。例6已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。 解析：如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是：P=M|MN|=|MQ|(其中>0) ，圆半径|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，设点M的坐标为（x，y），则，整理得：，经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。当=1时，

11、方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；当1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。点评：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。题型4：不等式中分类讨论问题例7解不等式>0 (a为常数，a)分析：含参数的不等式，参数a决定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a0、<a<0、a<分别加以讨论。解析：2a1>0时，a>； 4a<6a时，a>0 。所以分以下四种情况讨论：

12、当a>0时，(x4a)(x6a)>0，解得：x<4a或x>6a；当a0时，x>0，解得：x0；当<a<0时，(x4a)(x6a)>0，解得: x<6a或x>4a；当a>时，(x4a)(x6a)<0，解得： 6a<x<4a 。综上所述，当a>0时，x<4a或x>6a；当a0时，x0；当<a<0时，x<6a或x>4a；当a>时，6a<x<4a 。点评：本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的

13、意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。例8 解析： ， ， ，； ， ； ； ； 综上所述，得原不等式的解集为：；。点评：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。题型5：数列中分类讨论问题例9（2012高考真题湖北理18）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（

14、）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和.解析：（）设等差数列的公差为，则，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得，或.故，或。（）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 点评：数列中的含参问题是一个需要牢记的分类推理过程，书写格式相对严格、规范。例10（2010四川理数）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(

15、q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn。解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126，再令m3,n1，可得a52a3a1820。(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得：a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8，即 bn1bn8。所以bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得：an-(n1)2.那么an1an2n12n12n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2·q04&#

16、183;q16·q22n·qn1.两边同乘以q，可得 qSn2·q14·q26·q32n·qn.上述两式相减得:(1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn2·2nqn2·，所以Sn2·综上所述，Sn。点评：等比数列的求和公式只适合于，特别公比中含参数时，需要分类讨论。题型6：三角函数与三角形中分类讨论问题例11解析：， ； ；这与三角形的内角和为180°相矛盾。， ，因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确

17、定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。例12（2012高考真题新课标理9）已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） 解析：A；函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立；则，即，所以，当时，又，所以有，解得，即，选A.点评：含参数的三角函数问题，也需要对参数进行分类讨论。题型7：实际问题中分类讨论问题例13某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如

18、下表所示：月份用水量（m3）水费（元）1892151931315解析：设每月用水量为xm3，支付费用为y元， 则 由题意知0c4，8+c12，故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3，将 分别代入 中，得  再分析1月份用水量是否超过最低限量am3 。不妨设8a，将中得9=8+2（8a）+c，得2a=c+15 ，显然、矛盾，1月份用水量不超过最低限量。 又y=8+c ，9=8+c,c=1，a=10,b=2,c=1。点评：本题为实际应用问题，在解题过程中，隐含着分类讨论：a>8,a=8,a<8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解

19、决【方法技巧】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”。但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。下面结合一些实例，谈谈简化分类讨论的常用策略。消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。 1对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点

20、，考虑是否可以你用合适的公式、法则，能否进行某中变形，可否改变常规的思维方式和解题策略，即能否消除或掩盖“讨论基因”，若能，则可以避免进行繁杂的分类讨论；若不能，可否先作某些等价变换，使讨论推迟得来，这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步。当然，有些问题，你通过了一番试验，仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论，这可能是“不可避免的直接讨论型”问题，这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。2实际应用题（排列组合）中分类讨论往往带有隐蔽性，理解题意，抓住限制条件，准确把握分类对象和标准是解决问题的关键。如果发现多种分类途径，则应加强比较，从中选择最为合理的分类途径。3分类的原则是不重复不遗漏，即将讨论

21、的对象分为若干类时，其并集为全集，两两的交集为空集。4分类对象，即使问题变换不定的变动因素；分类的标准，即使变换不定的问题转化为相对稳定问题的分类界值，分类对象和分类标准的确定，应通过识别问题情景来完成。5应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。【专题训练】一、填空题1不等式(a2)x22(a2)x4<0对于xR恒成立，那么a的取值范围是_2过双曲线2x2y22的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线有_条3设集合Ax|x2x120，集合Bx|kx10，如果ABA，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为_4在ABC中，已知A30°，a8，b8，则SABC_.5设一双曲线的两条渐近线方程为2xy0,2xy0，则双曲线的离心率是_6正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为_7设常数a>0，椭圆x2a2a2y20的长轴长是短轴长的2倍，则a_.8已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3，S3，则a1的值为_9若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_10函数f(x)的定义域为一切实数，则实数