工程电磁场 第七章电磁场的边值问题ppt课件

1、第六章第六章 电磁场的边值问题电磁场的边值问题 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。 常用的方法常用的方法直接法直接法间接法间接法解析法解析法数值法数值法有限差分法有限差分法FDFD）有限元方法有限元方法FEMFEM）矩量法矩量法MoMMoM）静电参数(电容及部分电容)静电能量与力有限差分法镜像法,电轴法分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题边界条件电位基本方程D 的散度的散度基本物理量 E、D基本实验定律库仑定律）E 的旋度的旋度1. 镜像法镜像法 本质本质: :是以

2、一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。程大为简化。 根据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的根据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。置

3、，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。可能确定其镜像电荷。 镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，理， 使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。 使用镜像法时要注意以下三点：使用镜像法时要注意以下三点： （1 1镜像电荷是虚拟电荷镜像电荷是虚拟电荷; ; （2 2镜像电荷置于所求区域

4、之外的附近区域镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; ; （3 3导电体是等位面。导电体是等位面。（1点电荷与无限大的导体平面。点电荷与无限大的导体平面。 介质 导体 q r P 介质 q r P hhrq 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P P 的电位由的电位由 q q 及及 q q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4考虑到无限大导体平面的电位为零，求得考虑到无限大导体平面的电位为零，求得qq 电场线与等位面的分布特性与第二章

5、所述的电偶极子的上半电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。部分完全相同。 由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。电场线等位线 z fqo（2点电荷与导体球。点电荷与导体球。 Padrq 若导体球接地，导体球的电位若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷令镜像点电荷q q 位于球心与点电位于球心与点电荷荷 q q 的连线上。那么，球面上任的连线上。那么，球面上任一点电位为一点电位为 rqrq 4 4可见，为了保证球面上任一

6、点电位为零，必须选择镜像电荷为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 qrrq 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 OPq 与与 OqP 类似，那么类似，那么 常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为rrfarrqfaq镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d d 应为应为 fad2这样，根据这样，根据 q q 及及 q q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。 fq

7、OPadrql（3线电荷与带电的导体圆柱。线电荷与带电的导体圆柱。 Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d d 处，平行放置一根处，平行放置一根镜像电荷镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为。已知无限长线电荷产生的电场强度为 lrlreE 2因此，离线电荷因此，离线电荷r r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 0rrrrElrr0 ln2d 0 若令镜像线电荷若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的产生的电位也取相同的 作为参考点，作为参考点，那么那么 及及 在圆柱面上在圆柱面上 P P 点共同产生的电位为点共同产生的电位为

8、l0rllrrrrllP00ln2ln2rrlln2 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值必须要求比值 为常数。与前同理，可令为常数。与前同理，可令 ，由此得，由此得 rradfarrfad2 （4 4点电荷与无限大的介质平面。点电荷与无限大的介质平面。 E 1 1qr0EtEnEEtEn0rq 2 2q0r nE tE E 1 2qeten=+ 为了求解上半空间的场可用镜像电荷为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q q 等效边界上束缚等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为电荷的作用，将整个空间变为介

9、电常数为1 1 的均匀空间。对的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的于下半空间，可用位于原点电荷处的q q 等效原来的点电荷等效原来的点电荷q q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 2 的均匀空间。的均匀空间。 但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即 2t1t1tEEE n21n1nDDD 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入

10、上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：rrqeE2114rrqeE211)(4rrq eE222)(4qq2121qq2122 qOrRd( , )P r不接地：导体球面电位不为不接地：导体球面电位不为0 0，球面上存在正、负感应电荷球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为（感应电荷总量为0 0）。）。处理方法：电位叠加原理处理方法：电位叠加原理(5)点电荷对不接地球面导体边界的镜像1 1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感应电荷，的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。镜像电荷可采用前面的方法确定。2 2、断开

11、接地。将电量为、断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上，这些电荷必的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。3 3、均匀分布在导体球面上的电荷、均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点可以用位于球心的等量点电荷等效。电荷等效。qqq分析过程分析过程结论：点电荷结论：点电荷q q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：对非接地导体球面的镜像电荷有两个： q qOr rRdd( , )P rq镜像电荷镜像电荷1 1：电量：电量：aqqd 位置：位置：2add镜像电荷镜像电荷2 2：电量：电量：aqqqd 位置：位于球心。位

12、置：位于球心。14qqqRrr球外空间某点电位为：球外空间某点电位为： 点电荷位于不接地导体点电荷位于不接地导体球附近的场图球附近的场图2 2 分离变量法分离变量法 分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。它首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合；其次要求在坐法。它首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合；其次要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离

13、变数仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。量法。 直角坐标系中的平行平面场问题直角坐标系中的平行平面场问题 平行平面场中位函数U(x，y) 在场域内满足拉普拉斯方程 0,22222yUxUyxU设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入方程得 2222dd1dd1yYYxXX在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为 (称为分离常数) ： 0dd22 XxX0dd22 YyY 取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解： =0 时，xAAxX2010)(yBByY2010)(时，02nm)sinh()cosh()(

14、21xmAxmAxXnnnn)sin()cos()(21ymBymByYnnnn02nm时，)sin()cos()(21xmAxmAxXnnnn)sinh()cosh()(21ymBymByYnnnn位函数U的一般解可记作： yBBxAAymBymBxmAxmAymBymBxmAxmAyxUnnnnnnnnnnnnnnnnnn201020102112121121 shchsincos sincosshch, 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。离变量法。下面通过例子具体说明该方法。下面通过

15、例子具体说明该方法。例例 求如图所示二维长方形内的电位函数。求如图所示二维长方形内的电位函数。解：根据题意，所求区域的电位函数满足解：根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边界条件为的方程及边界条件为200000,000,xx ayy bxaybUx xa ay yb b0U000? 12sincosxxfxAk xAk x只与只与x x有关有关只与只与y y有关有关在直角坐标系中方程在直角坐标系中方程 可写为可写为2022220 xy（二维问题，与（二维问题，与z z无关）无关） 分离变量法的前提即假设分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的待求函数有分离变量形式的解：解： , x

16、yfx g y 22220d fxd g yg yfxdxdy上式两端同除以上式两端同除以 g y fx 2222110d fxd g yfxdxg ydy因此该式成立的条件：因此该式成立的条件： 22222211xyd fxkfxdxd g ykg ydy且且220 xykk xk为实数为实数yk为虚数为虚数xk为虚数为虚数yk为实数为实数 xk为零为零yk为零为零 xk为实数为实数xk为虚数为虚数xxkjxk为零为零 1fxC xC 1212sinhcoshxxxxxxf xBxBxf xBeB e或或同样的讨论适用于函数同样的讨论适用于函数 。为。为满足满足x=0 x=0和和x=ax=a

17、的边界条件，应选取的边界条件，应选取 g y 12sincosxxfxAk xAk x那那么么 12sinhcoshyyg yByBy由于222200 xyxyyxkkkjk将边界条件将边界条件 000000 xfg yf将边界条件将边界条件 000 x af a g yf a20A 1sin01,2,3.xxAk ankna于是于是 1sinnfxAxaxnka称为边值问题称为边值问题200000,000,xx ayy bxaybU的本征值。它的意义是：在上述边界的本征值。它的意义是：在上述边界条件下，分离常数条件下，分离常数 只有取这些特只有取这些特定值时，方程才有非零解。其解的函定值时，

18、方程才有非零解。其解的函数形式数形式 称为本征函数。称为本征函数。xksinnxa对于对于 12sinhcoshyyg yByBy由于yxnka将边界条件将边界条件 000000yfx gg20B 于是于是 1sinhng yBya得得 11,sinsinhsinsinhx yfx g ynnABxyaannCxyaa由于由于 故故 的一般形式的一般形式 1,2,3.n , x y1,sinsinhnnnnx yCxyaa将边界条件将边界条件0y bU01sinsinhnnnnUCxbaa 这实际上是将一已知函数展为傅里叶级这实际上是将一已知函数展为傅里叶级数。利用傅里叶级数的系数公式得数。利

19、用傅里叶级数的系数公式得000024sinhsin214sinh21annnnUCbUx dxaaanUCnbna原问题的解原问题的解014,sinsinhsinh21nUnnx yxynaabna3 有有 限限 差差 分分 法法 图 3.1 差分网格 3.1 差分表示式差分表示式 二维泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation)Fyx2222（1）二维静电场边值问题 基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组的问题。（2）)(LfL有限差分的网格分割令 h = x

20、- x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 )(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK（3）由式4）+（5）2402222)(0hyyy（7）同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为下 页上 页返 回 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxh（4）（5）2301222)(0hxxx（6）将式(6)、式(7)代入式(1)，得到2043214Fh当场域中00404321)(41243210Fh即)(4143210即五点差分格式下 页上 页返 回)(4143210上式表明，任一点的电位等于

21、它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。 矩形网格剖分若场域离散为矩形网格，差分格式为Fhhhh02221422221212)11()(1)(13.2 边界条件离散化Discrete Boundary Condition)第二类边界条件 hfhnf2100102 ,)()2(4124210Fh第一类边界条件 分界面衔接条件 对称边界条件 , )1212(4143210KKKbaK其中介质分界面10 f对称分界3.3差分方程的数值解法差分方程的数值解法 1. 简单迭代法简单迭代法 图 3.2 节点序号 )(411, 11, 11,njinjinjinjinji 2. 塞德尔(Seidel)迭代法 通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭代法的表达式为 )(4111,1, 11, 11,njinjinjinjinji此式也称为异步迭代法。由于更新值的提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。